1、1操作探究一.填空题1.（2018辽宁大连3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E 为 AD 上一点，且ABE=30，将ABE 沿 BE 翻折，得到ABE，连接 CA并延长，与 AD 相交于点 F，则DF 的长为 解：如图作 AHBC 于 HABC=90，ABE=EBA=30，ABH=30，AH= BA=1，BH= AH=， CH=3 CDFAHC， = ， = ，DF=62 故答案为：62 二.解答题1. （2018湖北江汉10 分）问题：如图，在 RtABC 中，AB=AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到
2、AE，连接 EC，则线段BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；探索：如图，在 RtABC 与 RtADE 中，AB=AC，AD=AE，将ADE 绕点 A 旋转，使点 D落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图，在四边形 ABCD 中，ABC=ACB=ADC=45若 BD=9，CD=3，求 AD 的长2【分析】 （1）证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接 CE，根据全等三角形的性质得到 BD=CE，ACE=B，得到DCE=90，根据勾股定理计算即可；（3）作 AEAD，使 AE=AD，连接 CE，DE
3、，证明BADCAE，得到 BD=CE=9，根据勾股定理计算即可【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：BAC=DAE=90，BACDAC=DAEDAC，即BAD=CAE，在BAD 和CAE 中，BADCAE，BD=CE，BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD 2+CD2=2AD2，理由如下：连接 CE，由（1）得，BADCAE，BD=CE，ACE=B，DCE=90，CE 2+CD2=ED2，在 RtADE 中，AD 2+AE2=ED2，又 AD=AE，BD 2+CD2=2AD2；（3）作 AEAD，使 AE=AD，连接 CE，DE，BAC+CAD=DAE+C
4、AD，即BAD=CAD，在BAD 与CAE 中，BADCAE（SAS） ，BD=CE=9，ADC=45，EDA=45，EDC=90，3DE= =6 ，DAE=90，AD=AE= DE=62 （2018辽宁省阜新市）如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC 于点 D（1）如图 1，点 E，F 在 AB，AC 上，且EDF=90求证：BE=AF；（2）点 M，N 分别在直线 AD，AC 上，且BMN=90如图 2，当点 M 在 AD 的延长线上时，求证：AB+AN= AM；当点 M 在点 A，D 之间，且AMN=30时，已知 AB=2，直接写出线段 AM 的长【解答】解：（1）BAC
5、=90，AB=AC ，B=C=45ADBC，BD=CD，BAD=CAD=45，CAD=B，AD=BDEDF=ADC=90，BDE=ADF，BDEADF（ASA ） ，DE=DF；（2）如图 1，过点 M 作 MPAM，交 AB 的延长线于点 P，AMP=90PAM=45，P=PAM=45，AM=PMBMN=AMP=90，BMP=AMNDAC=P=45，AMNPMB（ASA） ，AN=PB，AP=AB+BP=AB+AN在 RtAMP 中，4AMP=90，AM=MP， AP= AM，AB+AN= AM；在 RtABD 中，AD=BD= AB= BMN=90，AMN=30，BMD=9030=60在
6、RtBDM 中，DM= =，AM=ADDM= 3. （2018广安10 分）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交 x轴于 C.D 两点，连接 AC.BC，已知 A（0，3） ，C（3，0） （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 （1）根据待定系
7、数法，可得函数解析式；（2）根据对称性，可得 MC=MD，根据解方程组，可得 B 点坐标，根据两边之差小于第三边，可得 B，C，M 共线，根据勾股定理，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的判定，可得BCE，ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于 x 的方程，根据解方程，可得 x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【解答】解：（1）将 A（0，3） ，C（3，0）代入函数解析式，得，5解得 ，抛物线的解析式是 y= x2+ x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点 D 与点 C 关于对称轴对称，对 l 上任意一点有 MD=MC，联立方程组 ，解得 （不符合题意，舍） ， ，B（4，1）
8、，当点 B，C，M 共线时，|MBMD|取最大值，即为 BC 的长，过点 B 作 BEx 轴于点 E ，在 RtBEC 中，由勾股定理，得BC= = ，|MBMD|取最大值为 ；（3）存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似，在 RtBEC 中，BE=CE=1，BCE=45，在 RtACO 中，AO=CO=3，ACO=45，ACB=1804545=90，过点 P 作 PQy 轴于 Q 点，PQA=90，设 P 点坐标为（x， x2+ x+3） （x0）当PAQ=BAC 时，PAQCAB，PGA=ACB=90，PAQ=CAB，6PGABCA， = ，即 = = ， = ，解得
9、 x1=1，x 2=0（舍去） ，P 点的纵坐标为 12+ 1+3=6，P（1，6） ，当PAQ=ABC 时，PAQCBA，PGA=ACB=90，PAQ=ABC，PGAACB， = ，即 = =3， =3，解得 x1= （舍去） ，x 2=0（舍去）此时无符合条件的点 P，综上所述，存在点 P（1，6） 【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出 M，B，C 共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于 x 的方程，要分类讨论，以防遗漏4.（2018湖北咸宁10 分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这
10、个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等） ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解：（1）如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出 3 个即可） ；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC=80，ADC=140，对角线 BD 平分ABC求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ；（3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFCH 的“相似对角线” ，EFH=HFG=30，连接 EG，若7EFG 的面积为 2 ，求 FH 的长【答案】
11、（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2 【解析】 【分析】 （1）先求出 AB，BC，AC，再分情况求出 CD 或 AD，即可画出图形；（2）先判断出A+ADB=140=ADC，即可得出结论；（3）先判断出FEHFHG，得出 FH2=FEFG，再判断出 EQ= FE，继而求出FGFE=8，即可得出结论【详解】 （1）由图 1 知，AB= ，BC=2 ，ABC=90，AC=5，四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形，当ACD=90时，ACDABC 或ACDCBA， 或 ，CD=10 或 CD=2.5同理：当CAD=90时，AD=2.5 或 AD=10，（2）ABC=80，
12、BD 平分ABC，ABD=DBC=40，A+ADB=140ADC=140，BDC+ADB=140，A=BDC，ABDBDC，BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ；（3）如图 3，FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFG 与HFG 相似，EFH=HFG，FEHFHG， ，FH 2=FEFG，8过点 E 作 EQFG 于 Q，EQ=FEsin60= FE， FGEQ=2 ， FG FE=2 ，FGFE=8，FH 2=FEFG=8，FH=2 【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.5.
13、（2018江苏镇江9 分）（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使 BC 落在对角线 BD 上，折痕为 BE，点 C 落在点 C处，若ADB=46，则DBE 的度数为 23 （2）小明手中有一张矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=9【画一画】如图 2，点 E 在这张矩形纸片的边 AD 上，将纸片折叠，使 AB 落在 CE 所在直线上，折痕设为 MN（点 M，N 分别在边 AD，BC 上） ，利用直尺和圆规画出折痕 MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚） ；【算一算】如图 3，点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD 上，折痕为 GF，点 A
14、，B 分别落在点 A，B处，若 AG= ，求 BD 的长；【验一验】如图 4，点 K 在这张矩形纸片的边 AD 上，DK=3，将纸片折叠，使 AB 落在 CK 所在直线上，折痕为 HI，点 A，B 分别落在点 A，B处，小明认为 BI 所在直线恰好经过点 D，他的判断是否正确，请说明理由9【解答】解：（1）如图 1 中，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ADB=DBC=46，由翻折不变性可知，DBE=EBC= DBC=23，故答案为 23（2） 【画一画】 ，如图 2 中，【算一算】如图 3 中，AG= ，AD=9，GD=9 = ，10四边形 ABCD 是矩形，ADBC，DGF=BFG，由翻
15、折不变性可知，BFG=DFG，DFG=DGF，DF=DG= ，CD=AB=4，C=90，在 RtCDF 中，CF= = ，BF=BCCF= ，由翻折不变性可知，FB=FB= ，DB=DFFB= =3【验一验】如图 4 中，小明的判断不正确理由：连接 ID，在 RtCDK 中，DK=3，CD=4，CK= =5，ADBC，DKC=ICK，由折叠可知，ABI=B=90，IBC=90=D，CDKIBC， = = ，即 = = ，设 CB=3k，IB=4k，IC=5k，由折叠可知，IB=IB=4k，11BC=BI+IC=4k+5k=9，k=1，IC=5，IB=4，BC=3，在 RtICB中，tanBIC= = ，连接 ID，在 RtICD 中，tanDIC= = ，tanBICtanDIC，BI 所在的直线不经过点 D
