1、1课时训练(二十四) 矩形、菱形、正方形(限时:45 分钟)|夯实基础 |1.2017益阳 下列性质中菱形不一定具有的性质是 ( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2.2018滨州 下列命题,其中是真命题的为( )A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.2017兰州 如图 K24-1,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O, ADB=30,AB=4,则 OC= ( )图 K24-1A.5 B.4 C.3.5 D.34.2018湘
2、潭 如图 K24-2,已知点 E,F,G,H分别是菱形 ABCD各边的中点,则四边形 EFGH是( )2图 K24-2A.正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四边形5.2018日照 如图 K24-3,在四边形 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点 O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形 ABCD是菱形的是 ( )图 K24-3A.AB=AD B.AC=BDC.AC BD D. ABO= CBO6.2018宿迁 如图 K24-4,菱形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,点 E为 CD的中点,若菱形 ABCD的周长为16, BAD=60,则 OCE的面积是 ( )图 K2
3、4-4A. B.2 C.2 D.43 37.2018天津 如图 K24-5,在正方形 ABCD中, E,F分别为 AD,BC的中点, P为对角线 BD上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP最小值的是 ( )图 K24-5A.AB B.DE C.BD D.AF8.2018徐州 若菱形的两条对角线的长分别为 6 cm和 8 cm,则其面积为 cm2. 39.2018乐山 如图 K24-6,四边形 ABCD是正方形,延长 AB到点 E,使 AE=AC,连接 CE,则 BCE的度数是 . 图 K24-610.2018株洲 如图 K24-7,矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O,AC=
4、10,P,Q分别为 AO,AD的中点,则 PQ的长度为 . 图 K24-711.2018锦州 如图 K24-8,菱形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,过点 A作 AH BC于点 H,连接 OH,若 OB=4,S 菱形ABCD=24,则 OH的长为 . 图 K24-812.2017常德 如图 K24-9,正方形 EFGH的顶点在边长为 2的正方形的边上,若设 AE=x,正方形 EFGH的面积为 y,则y与 x的函数关系为 . 图 K24-913.2017义乌 如图 K24-10为某城市部分街道示意图,四边形 ABCD为正方形,点 G在对角线 BD上,GE CD,GF BC,AD=150
5、0 m,小敏行走的路线为 B A G E,小聪行走的路线为 B A D E F,若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为 m. 4图 K24-1014.2018吉林 如图 K24-11,在正方形 ABCD中,点 E,F分别在边 BC,CD上,且 BE=CF,求证: ABE BCF.图 K24-1115.2018湘西州 如图 K24-12,在矩形 ABCD中, E是 AB的中点,连接 DE,CE.(1)求证: ADE BCE;(2)若 AB=6,AD=4,求 CDE的周长 .图 K24-125|拓展提升 |16.2018绍兴 小敏思考解决如下问题:原题:如图 K24-13,点 P,Q分
6、别在菱形 ABCD的边 BC,CD上, PAQ= B,求证: AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点 P,Q的位置特殊化:把 PAQ绕点 A旋转得到 EAF,使 AE BC,点 E,F分别在边 BC,CD上,如图,此时她证明了 AE=AF.请你证明 .(2)受(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图,作 AE BC,AF CD,垂足分别为 E,F.请你继续完成原题的证明 .(3)如果在原题中添加条件: AB=4, B=60,如图 .请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案 .图 K24-136参考答案1.C 解析 菱形的对角线互相平分、垂直,且每一条对角线平分一组对角,菱形是轴对称
7、图形又是中心对称图形,菱形的对角线不一定相等 .因此选 C.2.D3.B 解析 由题意可知,四边形 ABCD为矩形,则 AC=BD,OC= AC.因为 ADB=30,所以在直角三角形 ABD中, BD=2AB=8,所12以 AC=BD=8,OC= AC=4,故选 B.124.B5.B 解析 AO=CO,BO=DO,四边形 ABCD是平行四边形 .当 AB=AD时,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形 ABCD是菱形;当 AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形 ABCD是菱形;当 AC BD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形 ABCD是菱形
8、;四边形 ABCD是平行四边形, AD BC, ADB= DBC. ABO= CBO, ABO= ADO, AB=AD,四边形 ABCD是菱形 .故选 B.6.A 解析 过点 E作 AC的垂线,垂足为 F.菱形 ABCD的周长为 16, AD=CD=4, OE=CE=2. BAD=60, COE= OCE=30, EF=1,CF= , OC=2 . OCE的面积是 2 1= .故选 A.3 312 3 37.D 解析 取 CD的中点 E,连接 AE,PE,由正方形的轴对称的性质可知 EP=EP,AF=AE, AP+EP=AP+EP, AP+EP的最小值是 AE,即 AP+EP的最小值是 AF.
9、故选 D.8.2479.22.5 解析 四边形 ABCD是正方形, CAB= BCA=45.在 ACE中, AC=AE, ACE= AEC= (180-12 CAB)=67.5, BCE= ACE- ACB=22.5.10.2.5 解析 四边形 ABCD是矩形, AC=BD=10,BO=DO= BD, OD= BD=5.点 P,Q分别是 AO,AD的中点, PQ是12 12AOD的中位线, PQ= DO=2.5.1211.312.y=2x2-4x+4(0x2) 解析 由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形,设 AE=x,则 DE=2-x,AF=DE=2-x,在 Rt AEF中,由勾股
10、定理可得 EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形 EFGH的面积 y=2x2-4x+4(0x2).13.4600 解析 连接 GC,由四边形 ABCD为正方形可得 ADG CDG,所以 GC=AG,由四边形 GECF为矩形可得 GC=EF,所以 EF=AG.因为 BDC=45,EG CD,所以 GE=DE.小敏行走的路线为 B A G E,所以 BA+AG+GE=3100(m).小聪行走的路线为 B A D E F,所以 BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(m).14.证明:四边形 ABCD是正方形, AB=BC, ABC= C=9
11、0.在 ABE和 BCF中, AB=BC, ABC= C,BE=FC, ABE BCF(SAS).15.解:(1)证明:在矩形 ABCD中, AD=BC, A= B. E是 AB的中点, AE=BE.在 ADE与 BCE中, AD=BC, A= B,AE=BE, ADE BCE(SAS).(2) AB=6,E是 AB的中点, AE=BE=3.在 Rt ADE中, AD=4,AE=3,根据勾股定理可得,DE= = =5.AD2+AE2 42+328 ADE BCE, DE=CE=5.又 CD=AB=6, DE+CE+CD=5+5+6=16,即 CDE的周长为 16.16.解析 (1)首先求出 A
12、FC= AFD=90,然后证明 AEB AFD即可 .(2)先求出 EAP= FAQ,再证明 AEP AFQ即可 .(3)可以分三个不同的层次:直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长;可求 PC+CQ,BP+QD, APC+ AQC的值;可求四边形 APCQ的面积、 ABP与 AQD的面积和、四边形 APCQ周长的最小值等 .解:(1)证明:如图,在菱形 ABCD中, B+ C=180, B= D,AB=AD. EAF= B, C+ EAF=180, AEC+ AFC=180. AE BC, AEB= AEC=90, AFC=90, AFD=90, AEB AFD, AE=A
13、F.(2)证明:如图,9 PAQ= EAF= B, EAP= EAF- PAF= PAQ- PAF= FAQ. AE BC,AF CD, AEP= AFQ=90. AE=AF, AEP AFQ, AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次 1:求 D的度数 .答案: D=60.分别求 BAD, BCD的度数 .答案: BAD= BCD=120.求菱形 ABCD的周长 .答案:16 .分别求 BC,CD,AD的长 .答案:4,4,4 .层次 2:求 PC+CQ的值 .答案:4 .求 BP+QD的值 .答案:4 .求 APC+ AQC的值 .答案:180 .层次 3:求四边形 APCQ的面积 .答案:4 .3求 ABP与 AQD的面积和 .答案:4 .3求四边形 APCQ周长的最小值 .答案:4 +4 .310
