1、12018-2019 学年山东省蒙阴县实验中学高三第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知复数 z 满足（1i）z=i（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ）A B C i D i2已知平面向量 =（1，3） ， =（4，2） ，若 与 垂直，则 等于（ ）A2 B2 C1 D13集合 A=x|log2x2，B=x|x 22x30，则 AB 等于（ ）A （，1）（3，4） B （，3）（1，4）C （1，4） D （3，4）4对于一组数据 1，2，3，4，5，如果将它们改变为 11，12，13，14，15，则下列结论正确的是（ ）A平均数
2、不变，方差变B平均数与方差均发生变化C平均数与方差均不变D平均数变，方差保持不变5 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学 “更相减损术”便是九章算术中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的 a、b 分别为 96、36，则输出的 i 为（ ）A4 B5 C6 D76下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为：“若 x2=1，则 x1”2B “x=1”是“x 25x6=0”的必要不充分条件C命题“ xR ，使得 x2+x+10”的否定是
3、：“xR，均有 x2+x+10”D命题“若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题为真命题7设 a=20.3，b=0.3 2，c=log x（x 2+0.3） （x1） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bbac Ccba Dbca8已知定义在 R 上的函数 f（x）在1，+）上单调递减，且 f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）f（x1）对任意的 x1，0恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A3，1 B4，2C （，31，+） D （，4）2，+）9一个陀螺模型的三视图如图所示，则其表面积是（ ）A B C6 D10若不等式组 所表示的平面区域存在点（x 0，y 0）使
4、ax0+y0+20 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da111函数 在 上的图象为（ ）A3BCD12设 A，B 为双曲线 同一条渐近线上的两个不同的点，若向量， 且 ，则双曲线的离心率为（ ）A2 或 B3 或 C D3二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设函数 f（x）= ，则函数 f（log 26）的值为 14在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，若 sin= ，则 cos（+）= 15已知在平面直角坐标系中，曲线 f（x）=alnx+x 在 x=a 处的切线过原点，则 a= 16设等
5、差数列a n的前 n 项和为 Sn，在数列b n中，b n=a3n2 +a3n1 +a3n，且 b1=6，b 2=9，则 的最小值为 三、解答题17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （）求 cosB 的值；（）若 a+c=1，求 b 的取值范围18 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，AA 1=AB，ABC=90，侧面 A1ABB1底面4ABC（1）求证：AB 1平面 A1BC；（2）若 AC=5，BC=3，A 1AB=60，求三棱柱 ABCA 1B1C1的体积19 （12 分）在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分
6、的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差 x（单位：分）与物理偏差 y（单位：分）之间的关系进行偏差分析，决定从全班 40 位同学中随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8数学偏差 x 20 15 13 3 2 5 10 18物理偏差 y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 0.5 2.5 3.5（1）已知 x 与 y 之间具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）若这次考试该班数学平均分为 120 分，物理平均分为 92 分，试预测数学成绩 126 分的同学的物理成绩参考公式：
7、 ， ，参考数据： ， 20 （12 分）已知 A（2，0） ，B（2，0）为椭圆 C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆 C 上异于 A，B 的动点，且APB 面积的最大值为 2 （）求椭圆 C 的方程及离心率；5（）直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D，当点 P 在椭圆上运动时，求证：以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切21 （12 分）已知函数 f（x）= lnx，m，nR（1）若函数 f（x）在（2，f（2） ）处的切线与直线 xy=0 平行，求实数 n 的值；（2）试讨论函数 f（x）在区间1，+）上最大值；（3）若 n=1 时，函数 f（x）恰有两个零点 x1，
8、x 2（0x 1x 2） ，求证：x 1+x22选考题：22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数）以 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆 C 的普通方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C 的交点为O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长6数学试卷（文科）答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1解：由（1i）z=i，得 z= ，z 的虚部为 故选：B2解：平面向量 =（1，3） ， =（4，2） ， =（4，3+2） ，又 与 垂直，（ ） =0，（4）3（3+2）=0，解得 =1故选：D
9、3解：集合 A=x|log2x2=x|0x4，B=x|x22x30=x|x1 或 x3，AB=x|3x4=（3，4） 故选：D4解：对于一组数据 1，2，3，4，5，平均数 = （1+2+3+4+5）=3，方差 S2= （13） 2+（23） 2+（33） 2+（43） 2+（53） 2=2，将它们改变为 11，12，13，14，15，平均数变为：10+ =13，方差没变，还是 2故选：D5解：由程序框图可知：当 a=96，b=36 时，满足 ab，则 a=9636=60，i=1由 ab，则 a=6036=24，i=2由 ab，则 b=3624=12，i=3由 ab，则 a=2412=12，i
10、=4由 a=b=12，输出 i=4故选：A6解：对于 A：命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为：“若 x2=1，则 x1” 因为否命题应为“若 x21，则 x1” ，故错误对于 B：“x=1”是“x 25x6=0”的必要不充分条件因为 x=1x 25x6=0，应为充分条件，故错误7对于 C：命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是：“xR，均有 x2+x+10” 因为命题的否定应为xR，均有 x2+x+10故错误由排除法得到 D 正确故选：D7解：a=2 0.32 1=2 且 a=20.32 0=1，1a2，又b=0.3 20.3 0=1，x1，c=log x（x 2+0.3）log
11、xx2=2，cab故选：B8解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则 f（x+1）=f（x+1） ，所以 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，又由函数 f（x）在1，+）上单调递减，由 f（m+2）f（x1）可得|（m+2）1|（x1）1|，即|m+1|x2|恒成立，又由 x1，0，则 2|x2|3，则有：|m+1|2，解可得3m1；即 m 的取值范围为3，1；故选：A9解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，其中圆柱的底面半径为 1，高为 2，圆锥的底面半径为 1，高为 1，故圆锥的母线长为 ，所以几何体的表面积 S=1 2+22+1 =（5+ ）故选：D10解：由题意作平面区域如下，易知直线
12、 ax+y+2=0 恒过点 C（0，2） ，化简可得 y=ax2，结合图象可求得 B（5，3） ，8故直线 BC 的斜率 k= =1，故a1，故 a1，故选：B11解：函数的解析式满足 f（x）=f（x） ，则函数为奇函数，排除 C、D 选项，由 可知：|f（x）|1，排除 A 选项故选：B12解： ，则 在 y 轴上的射影长为1而|AB|=3，因此 A、B 点所在的渐近线与 y 轴的夹角的余弦值为 ，正切值为 2 渐近线的斜率 k= ，故当 0 时 ，e= 当 0 时， ，e= 故选：B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13解：函数 f（x）= ，函数 f（log
13、 26）=f（log 26+1）=62=12故答案为：1214解：角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，且 sin= ，sin= ，若 为第一象限角，则 cos= ，cos= ，此时 cos（+）=coscossinsin= ；若 为第二象限角，则 cos= ，cos= ，此时 cos（+）=coscossinsin= 9cos（+）= 故答案为： 15解：根据题意，f（x）=alnx+x，则 f（a）=alna+a，又由 f（x）=alnx+x，则 f（x）= +1，则有 f（a）= +1=2，则曲线 f（x）=alnx+x 在 x=a 处的切线为 y（alna+a）=2（x
14、a） ，又由曲线 f（x）=alnx+x 在 x=a 处的切线过原点，则有alnaa=2a，解得 a=e故答案为：e16解：设等差数列a n的公差为 d，b n=a3n2 +a3n1 +a3n，b 1=a1+a2+a3=6，b 2=a4+a5+a6=9，b 2b 1=3d+3d+3d=96，解得 d= ，a 1+a1+ +a1+ =6，解得 a1= ，S n=na1+ d= n+ n（n1）= ，b n=a3n2 +a3n1 +a3n= +（3n21） + +（3n11） + +（3n1） =3n+3=3（n+1） ， = = = = （n+ +10） （10+2 ）=8，当且仅当 n=3 时
15、取等号，故答案为：8三、17解：（）由已知得 ，即有 ，因为 sinA0， 又 cosB0， 又 0B，10 ， （）由余弦定理，有 b2=a2+c22acosB因为 ，有 又 0a1，于是有 ，即有 18 （1）证明：在平行四边形 AA1B1B 中，AA 1=AB，四边形 A1ABB1是菱形，AB 1A 1B，平面 A1ABB1平面 ABC，平面 A1ABB1平面 ABC=AB，ABBC，BC平面 ABB1A1，又 AB1平面 ABB1A1，BCAB 1，又 A1BBC=B，AB 1平面 A 1BC（2）解：在 RtABC 中，BC=3，AC=5，AB=4又 AA1=AB=4，A 1AB=6
16、0，A 1AB 是边长为 4 的等边三角形，取 AB 的中点 D，连接 A1D，则 A1DAB，A 1D=2 又平面 A1ABB1平面 ABC，平面 A1ABB1平面 ABC=AB，A 1D平面 ABC，三棱柱 ABCA 1B1C1 的体积 SABC A1D= =12 1119解：（1）由题意计算得， ，所以 = ，所以线性回归方程为 ；（2）由题意，设该同学的物理成绩为 ，则物理偏差为 92，而数学偏差为 126120=6，则由（1）的结论可得 ，解得 =94，所以可以预测这位同学的物理成绩为 94 分20解：（）由题意可设椭圆 C 的方程为 + =1 （ab0） ，F（c，0） ；由题意知
17、 ，解得 b= ，c=1；所以椭圆 C 的方程为 + =1，离心率为 e= = ；（）证明：由题意可设直线 AP 的方程为 y=k（x+2） （k0） ，则点 D 坐标为（2，4k） ，BD 中点 E 的坐标为（2，2k） ；由 ，得（3+4k 2）x 2+16k2x+16k212=0；设点 P 的坐标为（x 0，y 0） ，则2x 0= ，12所以 x0= ，y 0=k（x 0+2）= ；因为点 F 坐标为（1，0） ，当 k= 时，点 P 的坐标为（1， ） ，直线 PFx 轴，点 D 的坐标为（2，2） ，此时以 BD 为直径的圆（x2） 2+（y1） 2=1 与直线 PF 相切；当 k
18、 时，则直线 PF 的斜率为 kPF= = ，所以直线 PF 的方程为 y= （x1） ，点 E 到直线 PF 的距离为d= = =2|k|；又因为|BD|=4|k|，所以 d= |BD|，故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切；综上，当点 P 在椭圆上运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切21解：（1）由 f（x）= ， ，由于函数 f（x）在（2，f（2） ）处的切线与直线 xy=0 平行，故 ，解得 n=6（2 分）（2）f（x）= ， （x0） ，由 f（x）0 时，xn；f（x）0 时，xn，所以当 n1 时，f（x）在1，+）上单调递减，故 f（x）在1，+）上的最大值
19、为 f（1）=mn；当 n1，f（x）在1，n）上单调递增，在（n，+）上单调递减，故 f（x）在 1，+）上的最大值为 f（n）=m1lnn；（3）证明：n=1 时，f（x）恰有两个零点 x1，x 2， （0x 1x 2） ，13由 ，f（x 2）= ，得 ， ，设 t= 1，lnt= ，x 1= ，故 x1+x2=x1（t+1）= ， ，记函数 ，因 ，h（t）在（1，+）递增，t1，h（t）h（1）=0，又 lnt0，故 x1+x22 成立（12 分）22解：（1）圆 C 的参数方程为 （ 为参数）圆 C 的普通方程为 x2+（y3） 2=9；（2）化圆 C 的普通方程为极坐标方程得 =6sin，设 P（ 1， 1） ，则由 ，解得 ，设 Q（ 2， 2） ，则由 ，解得 ，|PQ|= 2 1=1
