1、1山东省烟台二中 2018-2019 学年高二数学上学期冬学竞赛试题时间：120 分钟 分值：150 分一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分 , 共 60 分) 1.命题甲：动点 P 到两定点 A， B 的距离之和| PA| PB|2 a(a0，常数)；命题乙： P 点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件2.“mn0；命题 q： y ax是 R 上的增函数，则 p 是 q 成立的( ) a 1aA必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4椭圆 1( ab0)的离心率为 ，若直线 y kx
2、与其一个交点的横坐标为 b，则 kx2a2 y2b2 33的值为( )A1 B C D 5.233 3直线 y kx k1 与椭圆 1 的位置关系为( )x29 y24A相切 B相交 C相离 D不确定6.与椭圆 y21 共焦点且过点 Q(2,1)的双曲线方程是( )x24A. y21 B. y21 C. 1 D x2x22 x24 x23 y231y227.已知 分别是椭圆 C: 的左、右焦点，是以 为直径的圆与该椭圆2F， 12byax21FC 的一个交点，且 , 则这个椭圆 C 的离心率为 21FPA. B. C. D. 133232328.如图, 是椭圆 与双曲线 的公共焦点, 分别是
3、在第二、四12,F21:4xCy2C,AB12,C象限的公共点。若四边形 为矩形,则双曲线 的渐近线方程是 ( )2AFBA. B. C. D. xy2xyxy3xy269.设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程)0,(12ba为（ ）A y x B y2 x C y x 222D y x1210.已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF x 轴，x2a2 y2b2直线 AB 交 y 轴于点 P.若 2 ，则椭圆的离心率是( )AP PB A. B. C. D.32 22 13 1211. 设双曲线 的左、右焦点分别为 若在双曲线 的右
4、支21(0,)xCab： 12,FC上存在点 ，使得 的内切圆半径为 ，圆心记为 ，记 的重心为 ，P2F aM1P G满足 ，则双曲线 的离心率为（ ）12MGA B C D32512.过椭圆 C： 1 左焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，x24 y23 等于( )1|AF| 1|BF|A. B. C. D.43 34 35 532、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若方程 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数 m 的取值范围是x25 m y2m2 2m 3_14.已知各个命题 A、 B、 C、 D，若 A 是 B 的充分不
5、必要条件， C 是 B 的必要不充分条件， D是 C 的充分必要条件，试问 D 是 A 的_条件(填：“充分不必要” “必要不充分” “充3分必要” “既不充分也不必要”)15.已知方程 1 表示的曲线为 C.给出以下四个判断：x24 t y2t 1当 1 t4 时，曲线 C 表示椭圆； 当 t4 或 t1 时，曲线 C 表示双曲线；若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1 t ； 若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双52曲线，则 t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)16. 如图所示，将椭圆 1 的长轴(线段 AB)分成 8 等份，过每个x225 y216分点作 x 轴的垂线，
6、分别交椭圆于 P1， P2， P3， P7七个点， F 是椭圆的一个焦点，则| P1F| P2F| P7F|_.三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分 10 分）(1)是否存在实数 p，使“4 x p0”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；(2)是否存在实数 p，使“4 x p0”的必要条件？如果存在，求出 p 的取值范围18 （本小题满分 12 分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .319 （本小题满
7、分 12 分）4已知椭圆 C： 1( a b0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 .直线 y k(x1)与x2a2 y2b2 22椭圆 C 交于不同的两点 M， N.(1)求椭圆 C 的方程(2)当 AMN 的面积为 时，求 k 的值10320（本小题满分 12 分）设函数 ，若函数 在 处与直线 相切.xbaxfln)(2)(xf12y（1）求实数 a,b 的值.（2）求实数 在 上的最大值.)(xfe,121.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ，若四边形 的面积为 ，且恰与圆 相切 （1）求椭圆 的方程；（2）已知直线 与圆 相切，交椭圆 于
8、点 ， ，且点 ， 在直线 的两侧设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围22.（本小题满分 12 分）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. 1F22154xy+=（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； 21PF（）是否存在过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、 D，使得 |F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 56冬学竞赛数学答案一、选择题BBACB AABCD CA二、填空题13. 14.必要不充分 15. 16.35，5三、解答题17.（1） （2）不存在，418.（1） 或1yx1462x（2） 或929220.
9、解：(1)由已知得： ，且 ，即()2bfxax(1)20f120ab 1,3ab(2)由(1)得： 2()3lnfxx()123()21fx 令 得：0fx；(,1)()xfe时 ， (1,)()0efx时 ，7即 时， 单调递减； 时， 单调递增1(,)xe()fx(1,)xe()fx又 ，234f234f ()e 的最大值为fx2()fe21、 根据题意，可得：解得 ， 椭圆 的方程为 设 ， ，直线 与圆 相切，得 ，即 ，从而 又 ， ， 将直线 的方程与椭圆方程联立得 ，设 ， ，得 ， ，当 时， ，当 时， ，且 ，8综上， 的取值范围是 22、解：易知 ，设 P（x，y），)
10、0,1(,(,12,52Fcba则 ， )()1(221 yxyxPF 351422，,x，即点 P 为椭圆短轴端点时， 有最小值 3；0当 21PF当 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， 有最大值 4 5x（）假设存在满足条件的直线 l 易知点 A（5，0）在椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k，直线 l 的方程为 )5(xky由方程组22221(54)015054()xykxkk， 得依题意 当 时，设交点 C2016805k， 得 5k，CD 的中点为 R ，则),(),(21yxD、 ),(0yx452,450121 kkx又|F 2C|=|F2D|.0)()( 220 y 122RFkl20k 2=20k24，而 20k2=20k24 不成10451222 kkkRF立， 所以不存在直线 ，使得 |F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线 l，使得|F 2C|=|F2D| l
