1、12018-2019 上学期高二第三次考试数学（理）试题说 明：1.考试时间 120 分钟，满分 150 分。2.考试范围：高一占 20%，必修 2、选修 2-1 占 80%。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1 已知集合 A0,1,2，则集合 B x y|x A， y A中元素的个数是( )。A1 B3 C5 D92已知命题 ，其中正确的是（ ） 。tan1pxR： ， 使A B. ： ， 使 tan1pxRx： ， 使C. D. t： ， 使 ： ， 使3已知方程 1 表示椭圆，则 m 的取值范围为( )
2、。x25 m y2m 3A(3,5) B(3,1)C(1,5) D(3,1)(1,5)4. 直线 xsin y10 的倾斜角的变化范围是( )。A. B(0，)(0， 2)C. D. 4， 4 0， 4 34， )5.已知 ABC 的平面直观图 A 1B1C1是边长为 1 的正三角形，那么原 ABC 的面积为（ ） 。A B C D326234686. 若圆 O： x2 y24 与圆 C： x2 y24 x4 y40 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是( )。A x y20 B x y0C x y0 D x y20 7在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的中心在原点，焦点在 y 轴上，一
3、条渐近线方程为x2 y0，则它的离心率为( )。A. B. C. D2552 38已知直线 a 和平面 ， ， l， a ， a ，且 a 在 ， 内的射影分别2AB为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )。A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面9. 如图，三棱锥 V ABC 的底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且 VA VC，已知其正视图的面积为 ，则其侧视图的面积为( )。23A. B.32 33C. D.34 3610. 椭圆 的两焦点分别为 和 ，点 在21xy1F2P椭圆上，若线段 的中点在 轴上，那么 是 的（ ） 。 1Py1|2|FA
4、7 倍 B5 倍 C4 倍 D3 倍11. 已知高为 3 的正三棱柱 ABCA1B1C1的每个顶点都在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为21，则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为（ ） 。A B. C. D. 24432312. 某几何体中的一条线段长为 ，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为7的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线6段，则 a+b 的最大值为（ ） 。A. B. 223C4 D. 5二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分)13. 两直线 间的距离为 3，则 。:123060lxylxbycbc14. 若 ，则
5、x= _。48og2715.如图，二面角 的大小是 60，线段 .lAB， 与 所成的角为 30.则 与平面 所BlA成的角的正弦值是 。16. 设椭圆 E: 的右顶点为 A，右焦点为 F，B 为椭圆 E 上在第二象21,(0)xyab3限内的点，直线 BO 交椭圆 E 于点 C，若直线 BF 平分线段 AC，则 E 的离心率为 。三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 ）17 （本小题满分 10 分）设 ：方程 有两个不等的负根， ：方程 无p210xmq24()10xmx实根，若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求 的取值范围。m18.（本小题满分 12
6、分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1， O 是底面 ABCD 对角线的交点。求证：（） C1O平面 AB1D1; （） A1C平面 AB1D1。19.（本小题满分 12 分）为数列 的前 项和.已知 ，nSna0na243nnaS（）求 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和。1nbanb20. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，cos 2C2 cos C20。2（）求角 C 的大小；D1ODBAC1B1A1C4（）若 b a， ABC 的面积为 sin Asin B，求 sin A 及 c 的值22221.（本小题满分 12 分
7、）如图 1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点,ABC906BCDEACB, 为 的中点.将 沿 折起,得到如图 2 所示的四棱锥2CDBEOE,其中 。A3() 证明: 平面 ;D() 求二面角 的平面角的余弦值。CB22.（本小题满分 12 分）已知椭圆 : 的两个焦点分别为 ,且椭圆C21,(0)xyab12(,0)(F经过点 。4(,)3P()求椭圆 的离心率;()设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点,点 是线段 上的点,且(0,2)AlCMNQMN,求点 的轨迹方程。221|QMNQ.C O BD EA C D O BEA图 1 图 25高二年级第三次月考数学（理科）参
8、考答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C D D B A A D B A B C二、填空题：13. -12 或 48 14 64 15. 16. 1/334三、解答题： 17. 解：若方程 有两个不等的负根，则 ， 2210xm2140mx分所以 ，即 3 分2:2p若方程 无实根，则4()10xx， 4 分216m即 ， 所以 5 分3:3pm因为 为真，则 至少一个为真，又 为假，pq,qpq则 至少一个为假所以 一真一假，, ,即“ 真 假”或“ 假 真” 6 分p所以 或 8 分213m或 213m所以 或 故实数 的取值范围为 10 分
9、(,2,)18. 证明：（）连结 ，设1AC11BDO连结 ， 是正方体 是平行四边形1OB1AC A1C1 AC 且 2 分1又 分别是 的中点， O1C1 AO 且,A1是平行四边形 4 分1O6面 ， 面11,COA1BDCO1AB C1O面 6 分（） 面 111!又 ， ABDAC面9 分11C即同理可证 ， 又 11DBA面 12 分 C19. 解：（）由 ，可知 243nnaS21143nnaS可得 ，即11n2112nnn由于 ，可得 4 分0na1a又 ，2143解得 （舍去） ， 5 分1所以 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，na通项公式为 6 分（）由 可知，21n
10、8 分1 1()323nban设数列 的前 项和为 ，则nnT1211135723(2)nn nTb n 12 分20. 解：（）cos 2 C2 cos C20，27CD OxEA向量法图yzB2cos 2C2 cos C10， 2 分2即( cos C1) 20，cos C .4 分222又 C(0，)， C . 5 分34（） c2 a2 b22 abcos C3 a22 a25 a2， c a，7 分5即 sin C sin A，sin A sin C .8 分515 1010 S ABC absin C，且 S ABC sin Asin B，12 22 absin C sin Asi
11、n B，12 22 sin C ，由正弦定理得： 2sin C ，absin Asin B 2 ( csin C) 2解得 c1. 12 分 21. () 在图 1 中,易得 3,OADCDO BEH连结 ,在 中,由余弦定理可得 EC2cos45OOD由翻折不变性可知 , 2A所以 ,所以 , 2 同理可证 , 又 ,所以 平面 . 6 分EAOBCDE() 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 , OHCDH因为 平面 ,所以 , AB所以 为二面角 的平面角. A结合图 1 可知, 为 中点,故 ,328从而 230AHOA所以 ,15cos所以二面角 的平面角的余弦值为 . ACDB
12、15向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示, OOxyz则 , , 03012,所以 , CA3DA设 为平面 的法向量,则 ,nxyzC,即 ,0A302zy解得 ,令 ,得 3yxz1,3n由() 知, 为平面 的一个法向量, 0,OCDB所以 ,315cos,nA 即二面角 的平面角的余弦值为 . 12 分CDB522. 解:221241412 233aPF所以, . 又由已知, c, 所以椭圆 C 的离心率 12ea 4 分由 知椭圆 C 的方程为2xy. 设点 Q 的坐标为(x,y). (1)当直线 l与 x轴垂直时,直线 l与椭圆 C交于 0,1两点,9此时 Q点坐标为
13、 350,2 5 分(2) 当直线 l与 x轴不垂直时,设直线 l的方程为 2ykx. 因 为 ,MN在 直 线 上 ,可 设 点 ,MN的 坐 标 分 别 为 12(,),()kx,则22221(),()AkxAkx. 又 2 2(1.AQy 由 222Q,得 22211kxkx,即 122221xxx 7 分将 yk代入 2y中,得 21860x 由 241,k得 23k. 8 分由可知 12226,1kxx 代入中并化简,得 8103 9 分因为点 Q在直线 ykx上,所以 ykx,代入中并化简,得 21038. 10 分由及 2k,可知 230x,即 6,0,2. 又 350,满足 2118y,故 6,2x. 由题意, ,Qx在椭圆 C内部,所以 y, 又由 221083yx有 29,54且 1y,则 135,2. 所以点 Q的轨迹方程是 208x,10其中, 6,2x, 135,2y 12 分
