1、1广东省汕头市金山中学2019届高三数学上学期9月月考试题 理一、选择题（12小题，每题5分，共60分）1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）= =|1|0)的图象，只需将 的图象 y=cos(x + 6) y=f(x) ( )A 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位 3 3C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 6 68.已知数列 an满足 a11， anlog n(n1)( n2， n N*)定义：使乘积 a1a2a3ak为正整数的 k(k N*)叫做“和谐数”，则在区间1，2018内所有的“和谐数”的和为 ( )A 2036 B 2048 C 4083 D 409629. 定义在
2、上的函数 满足 ； ；在 上的表达式为Rfx20fxf20fxfx1,，则函数 与函数 的图象在区间 上的交点个数为( 21,0xff 12,logx3,)A5 B6 C7 D810. 已知函数 ，且 ，则 的值（ ）24,0xf0,0abcafafbfcA恒为负 B恒为0 C恒为正 D无法确定11. 已知 是锐角三角形 的外接圆的圆心，且 ，若 ，则 （ =+=2 =）A B C D 不能确定 12. 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，若对于任意实数 有 ，则下列不等式一 () () ()+()1定成立的是（ ）A. B. C. D. (0)+1(1) (0)+(1)二、填空题（4小题
3、，每题5分，共20分）13. 已知函数 .若 ，则 ()=log2(2+) (3)=1 =_.14. 已知 ，则 _=2 2+2=15. 如图，在边长为 （ 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积是_. 16.已知函数 ，若对于任意的实数 均存在以 为三边长的三角421xkf123,x123,fxfx形，则实数 的取值范围是_k3三、解答题（5小题，每题14分，共70分）17. 在 中，角 的对边分别是 ，且ABC， ， abc， ， 3os23cos.aCbA（1）求角 的大小；（2）若 ，求 面积的最大值.a18.已知数列 的前 项和为 ， （ ）nanS11 2naSa， n*N（
4、1）求 的通项公式；（2）设 ，求 的前 项和 (21)nnbanbnT19. 在四棱锥 中， 为等边三角形，底面 为等腰梯形，满足 ， / ，且平面 平面 12 2 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值 420.设函数 2()(41)3xfxaae(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行， 求 ；y,f a(2)若 在 处取得极小值，求 的取值范围()fx221.已知函数 0,1,xfabab（1）设 ， 若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值；21xR26fxmf m（2）若 ， ，函数 有且只有1 个零点，求 的值0abgfab5汕头市金山中学理科数学月考参考答案112
5、 CDACD DCABC A A 1316 -7, 1, ， 2e1,417.解：（1）由正弦定理可得： 3sincosin3sicoCBCA从而可得： 3sin()2CB由 知 ，所以 ABsinA3sin2icos又 是三角形内角，所以 所以i0， co=A，又 是三角形内角，所以 =.6（2）由余弦定理： 得22cosab243(2),bcbc所以 当且仅当 时取等号4(3),bc所以 面积的最大值为 1sin2,ABCSABC.18.解（1） 11 naSa， 212,.naSa即 即 又 1210,nnS21,n2,n21,故数列 是以1为首项，以 为公比的等比数列，所以 na.na
6、（2） 1(+)2()nnnb1231nnTbb ，12 -35()7()()()nT ，1231111()()()2()2()2 nnn 6 ，1211 132()()()2()nnnT整理得 ，1()()222nnn 132()()2nn15()2n所以 110(5)(nnT19. 解：（1）在梯形 中，取 中点 ，连结 ，则 ，且 / 故 ，即点 在以 为直径的圆上，所以 =12 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （2）取 中点 ，连接 ，则 ，连接 ，则 ， /以 为原点，分别以 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得 ， ， =12=3，则 ， ，
7、 ， ，(1， 0， 0)( 1， 0， 0)(0,3,0) (0,0, 3)， =(1,3,0)=(1,03)取平面 的一个法向量为 ， (0， 1， 0)设平面 的一个法向量为 ， (， ， )由 ， 得： 令 ，得 0 0 +3=0+3=0 1 =( 3,1,1)，所以 ，,=|=55因为二面角 的平面角为钝角，所以二面角 的余弦值为 - 5520解(1)因为 ，2()(41)3xfxaae所以 = 2()()4x xfe 2(1)2xae1e7由题设知 ，即 ，解得 (1)0f()0ae1a此时 所以 的值为13e(2)由(1)得 2()()2()2xxfxee若 ，则当 时， ；当
8、时， 12a,a0f,()0f所以 在 处取得极小值()0fx2若 ，则当 时， ， ，所以 (,)x12ax ()fx所以2不是 的极小值点)fx综上可知， 的取值范围是 a1(,)221.【解析】（1）由条件知 .222()()xxf fx因为 对于 恒成立，且 ，(2)(6fxmfR0f所以 对于 恒成立.24()fx而 ，且 ，2( 42()()fxffxx2(0)4f所以 ，故实数 的最大值为4.4m（2）因为函数 只有1个零点，而 ，()gf0(0)2gfab所以0是函数 的唯一零点.x因为 ，又由 知 ，()lnlxab0,1abln,l0所以 有唯一解 .0gx0lnog()b
9、a令 ，则 ，()h 22()ll(ln)(l)xxxxhab从而对任意 ， ，所以 是 上的单调增函数，xR0()gh,于是当 ， ；当 时， .0(,)(gx0()x0()gx因而函数 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数.x ,8下证 .0x若 ，则 ，0()g又 ，且函数 在以 和 为端点的闭区间上的lo2lglog2(l 0aaaab()gx0log2a图象不间断，所以在 和 之间存在 的零点，记为 . 0xla()x1因为 ，所以 ，又 ，01og20所以 与“0 是函数 的唯一零点”矛盾.1x()x若 ，同理可得，在 和 之间存在 的非0的零点，矛盾.00lb()gx因此， .于是 ，故 ，所以 xln1aln1ab
