1、1湛江一中 2018-2019 学年度第一学期第一次大考高二级理科数学试卷(B)考试时间：120 分钟 满分：150 分 第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.下列命题是真命题的是（ ）命题“ ， ”的否定是“ ， ”； 命题“ ，xRsinx0xR00sinx0xR”的否定是“ ， ”； 命题3201321“ ”是真命题；命题“ ， ”是真命题.si,02200ico1A. B. C. D.2. 已知数列 na为等比数列， 47a， 568a，则 10a（ ）A7 B5 C5 D73.“ ”是“ 是椭圆方
2、程”的（ ）9k172kyxA.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件4. 在 中， ，则 边上的高为（ ）ABCoBC45,2,5CA. B. C. D. 2365. 已知 ，则下列命题正确的是（ ）Rcba,A. 若 则 B. 若 ，则 2 cbaC. 若 且 ，则 D. 若 且 ，则 ,20ba1,30ba16.设变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ）,xy,02,xy2zxyA. 0 B. 2 C. 4 D. 627设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与抛物线 C 交于 M23， N 两点，则 =FM
3、A5 B6 C7 D88. 已知 ， ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ 0ab21mabm）A. 10 B. 9 C. 8 D. 79. 椭圆 的左右焦点分别为 ，点 P 在椭圆上，且 ，21()xya12,F1290oFP则 的面积 S 等于( )12FPA B C D以上都不对28510. 已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为na )(12cos)(1Nnnann，则 （ ）nS60A. -30 B. -60 C. 90 D. 12011. 设集合 ，对 的任意非空子集 A，定义 为集合 A 中NnPn,32,1 nP)(M的最大元素.当 A 取遍 的所有非空子集时，对应的 的和
4、为 .则 （ )(nS1）A. B. C. D.n2)1(12)(n21n212.椭圆 的左、右顶点分别为 ,点 在椭圆 上且直线 的斜率:43xyC1APCPA的取值范围是 ,那么直线 斜率的取值范围是 （ ）1PA B C D8， 12， ， 34，第 II 卷二填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20分 3A BPCDFE13.在 中， D 是 AB 边上的点，且满足ABC ,2,3BCDABAD，则 = .2cos14.已知 ， ，则 的最小值 ,xyzR230xyz2yxz15.已知双曲线 C： （ a0， b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心， b 为半径作圆21abA
5、，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、 N 两点若 MAN=60，则双曲线 C 的离心率为_ 16.有穷数列 前 项和为 .若把 称为数列 的“优美和” ，nanSnSn321 na现有一个共有 2017 项的数列 ： .若其“优美和”为 2018，则有a2017321,a2018 项数列：1， 的“优美和”为 .207321,三.解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17 （本题满分 10 分）已知数列 的前 项和为 ，nanS.14,0,11nnSaa（1）证明：数列 为等差数列，并求其通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 项和为 .1n
6、bnbnT18. （本题满分 12 分）在 中，内角 的对边分别为 ，ABC, cba,且 .bcbaos2（1）求 的值；C（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.AB2aABC19. （本题满分 12 分）如图，在矩形 中， 分别为,2,A的中点，以 为折痕把 折起，点 到达点BCAD,FCD的位置，使 .1PE4（1）证明：平面 平面 ；PEFABD（2）求二面角 的正弦值.20.（本题满分 12 分）已知 是抛物线 ： 的焦点， 过点 作抛物线 G 的两条切FG24xy1,aP)0(线 ,其中 为切点 .PAC,(1)证明：直线 经过抛物线 G 的焦点 F；(2)设 B 为抛物线 G 上
7、异于原点的点，且满足 ,延长 BF 交抛物线 G 于点 D，问0BA当 为何值时，四边形 ABCD 面积最小，并求其最小值.a21. （本题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为)0(1:2bayaxC，点 和点 都在椭圆 上， 是等腰直角三角形，直21,F),0(P)0(,mnA21FP线 交 轴于点 .AxM（1）求椭圆 的方程；C（2）设 为原点，点 B 与点 A 关于 轴对称，直线 PB 交 轴于点 N，证明：在 y 轴上存Oxx在点 Q，使 .NQ22. （本题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离xOy)0(12bayax心率为 ，过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的
8、弦 与 CD，当直线 AB 的斜率为 0 时，21 AB.7CDAB5（1）求椭圆的方程；（2）求 的取值范围.CDAB湛江一中 2018-2019 学年度第一学期第一次大考高二级理科数学（B）参考答案一.选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C C D C D B A D A A二. 填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20分13. 0; 14. 3; 15. ; 16.2018 .32三解答题：17. （1）证明：由 及)1(41nn
9、Sa )2(1421nnSa(2)-(1)得 ，21 4()(n， ，Nan0n2 分由 得 ,14,1nnS314121aSa数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， ，2a 1)2()(2 nn数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列，n由此得 4 分 N， 数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，其通项公式是21nana.5 分n（2） ，7 分 12121 nnabn6ABPCDFE HO 127153121321 nbbTnn .10 分18.解：(1)由正弦定理及 得，bBcCbaos22 分BAinsicosin2si CACsincoi)()(5 分,sicsi3 3
10、1cos,0si（2）由（1） ，则 ，31o2in2C的面积为 ， ，又 ，ABC23,siababb解得， .9 分1,ba由余弦定理得 11 分.2,8cos22Cc所以 的周长为 .12 分ABC419.（1）证明： E、 F 分别为 的中点， 且BAD,ABEF/3D在矩形 中， ，1 分D由翻折的不变性， ， ，3,2CP7又 ，有 即 3 分1PEE,D,EA又 ， 平面 ， 平面 ，4 分F,FF平面 ， 平面 平面 .5 分ADBPB（2）过点 P 作 交 EF 于 H，由平面垂直性质定理得E 平面 ，过点 P 作 交 DF 于 O，连结 OH，则 ，FF7为二面角 的平面角
11、. 8 分POHEDF， ，由等面积法容易求得 .22EoP90721,3POH在直角 POH 中， ，即二面角 的正弦值为 .47sinOHEDFP412 分20.解：(1) 设抛物线 的切点 A 的坐标为 ,其中 ，G1yx124yx则切线 的方程是 （ 为切线 PA 的斜率） ，P)(1kyk联立方程组 ，消去 y 且将 代入并整理得x421 21041112kx为抛物线 G 的切线， 方程 的判别式= ，PA02142112 xkxk得 ，12xk所以切线 的方程为 ,即 ,PA12xy211xyy即 2 分1120xy设抛物线 的切点 C 的坐标为 ,其中 ，G2yx24yx同理可得
12、切线 的方程为 3 分P0因为切线 均过点 ,所以 , 4 分,A1a1xy20axy所以直线 经过 两点.20axy2,CA所以直线 的方程为 .Cxy 直线 经过抛物线 G 的焦点 6 分01 (01)F，(2) 由(1)知， 直线 的方程为 20axy8点 的坐标满足方程组 消去 x ，整理得 ，AC， 204axy 01)2(yay由根与系数的关系得 21y由抛物线的定义得8 分222114aCFA因为 ，所以 的斜率为 ，BD同理可求得 9 分224114a11 分222216(8)32ABCDS 当 时，等号成立所以四边形 面积的最小值为 12 分aABCD21.解（1）由于点 在
13、椭圆 上且 是等腰直角三角形，所以有)1,0(P1:2byax21FP又 ，解得， .,2,2acb22c,所以椭圆 的方程是 .4 分C12yx（2）在 y 轴上存在点 Q，其坐标为 ，使 .5 分,0ONQM证明如下：点 B 与点 A 关于 轴对称，xnmB,直线 的方程是 ，令 ，得 ， ，P1ny0ynx10,1nm同理得 .7 分0,1mN设 ，则),(0yQ9，001tanynmyOQMmynyONQ001ta， ， 即 ，NMtnt 01yn010 分,1220nmy点 在椭圆 上， ，得 ， 则),(AC12nm2n,20y20所以在 y 轴上存在点 Q，其坐标为 ，使 .12
14、 分,0ONQM22.解：（1）由题意知， ，23,2cbace当直线 AB 的斜率为 0 时，直线 CD 过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直，则.2,abCDAB，将 代人7,7223,cba解得 ，3,21bac椭圆的方程是 .4 分142yx（2）当两条直线中有一条斜率为 0 时，另一条直线的斜率不存在，由题意可知5 分.7CDAB当两条直线斜率都存在且不为 0 时，由（1）知 .)0,1(F设 ，直线 AB 的方程为 ，),(),(21yxxky则直线 CD 的方程为 ，)(k10将直线 AB 的方程代人椭圆的方程并整理得 7 分012484322kxk其判别式= 8 分,0)1(42k22121 3,x，同理得 ，221212 43kxAB 412kCD+ = ，CD243k182令 ，则 ，12tkt 34,tkt设 ，9211)(22 ttttf， .49,)(,10,tftt7,48)(tfCDAB综合可知， 的取值范围是 .12 分CDAB7,8
