1、1湛江一中 2017-2018 学年度第二学期期中考试高二级 数学科试卷（理）考试时间：120 分钟 满分：150 分 第卷（选择题 共 60 分）注意事项：1、答第卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。2、每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 。 如 需 改 动 ， 用橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 他 答 案 标 号 ， 不 能 答 在 试 卷 上 。3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四
2、个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1正弦函数是奇函数， 是正弦函数，因此 是奇函)1sin()2xf )1sin()2xf数，以上推理( )A结论正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D全不正确2. “ 1a”是“函数 cosfxax在 ,上单调递增”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3下列计算错误的是（ ）A. sin0xd B. C. D.1204xd102dx11220xdx4已知三个方程： (都是以 t 为参数)那么表2tyt2anty2sin示同一曲线的方程是( )A B C D5.已知定义在 R 上的函数 满足 ， 为 的导函数
3、，且导)(xf 1)5(3ff )(xff函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是( )(xfyx)A(3，0) B (3，5) 2C(0，5) D (，3)(5，)6 已知结论：“在正三角形 中，若 是 的中点， 是三角形 的重心，ABCDGABC则 ”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 中，2GA D若 的中心为 ，四面体内部一点 到四面体各面的距离都相等，则 等于( )BMOOMA1 B2 C3 D47. 在极坐系中点 与圆 的圆心之间的距离为( )cos2A. 2 B. C. D. 8已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是( )32()(6)3fxaxaA B.
4、 C. D.,6,6,36,9 用数学归纳法证明不等式 的过程中，*12.21Nnnn从 到 时左边需增加的代数式是 ( )kn1A B C D2kk12k10.正方形的四个顶点 分别在抛物线 和(1,)(,A1,)(,)D2yx上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴2yx影区域的概率是 ( )A. B. 33C. D.612111设函数 ， 以下结论一定错误的是( )()xfeA B若 ，则 的取值范围是 .2f21)fxex3,2C 函数 在 上单调递增 D函数 有零点()yfx,)(f9429123,312已知函数 fx是定义在 R上的偶函数，当 0x时
5、， fxf，若20f，则不等式 0f的解集为（ ）A |x或 2xB |2x或 xC |20或 D |或 0第卷（非选择题 共 90 分）二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13观察下列等式: 23(1)213()5照此规律, 第 n 个等式可为 . 14.已知直线参数方程为 (t 为参数)，直线与圆 交于 B、C 两点,则线tyx5435段 中点直角坐标_.BC15.已知函数 ,若函数 在点 处的223)(abxxf ()singxfx2(0,)g切线平行于 x 轴，则实数 b 的值是_ _16若函数 320hacd图象的对称中心为 0,Mh，记函数的导函数为 g
6、，则有 x，设函数 32fx,则143207172ffff _三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）4平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，圆 C 的参数方xoyl3,2xty程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐2cs,iny x标系()求直线 和圆 的极坐标方程；（5 分）lC()设直线 和圆 相交于 两点，求弦 AB 与其所对劣弧所围成的图形面积 （5 分）,AB18. (本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和 na*1()nnSaN（1）计算 ， ， ， ；（4 分）123（2）猜想
7、 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 （ 8 分）na19 .（本小题满分 12 分）（1）若 x， y都是正实数，且 2xy，求证： 12xy与 y中至少有一个成立 （6 分）（2）求证： *1nnnN（6 分）20 （本小题满分 12 分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本 20 元，并且每公斤蘑菇的加工费为元（ 为常数，且 ，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 元（t )52t x） ，根据市场调查，销售量 与 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为4025xqxe30 元时，日销售量为 100 公斤（）求该工厂的每日利润 元与每公斤蘑菇的出厂价 元的函数关系式；（6 分）y（）若 ，当每
8、公斤蘑菇的出厂价 为多少元时，该工厂的利润 最大，并求最5t xy大值 （6 分）21.（本小题满分 12 分）5已知函数 )0(2)1ln()kxxf（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（5 分）2kfy1,f（）求 的单调区间 （7 分）f22.（本小题满分 12 分）已知函数 .1()(cos)(xfeaR()若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；（5 分）a()若 ，证明： ，总有 .（7 分）0a1,2x(1)2(cos1)0fxfx湛江一中 2017-2018 学年度第二学期期中考试高二级 理科数学试卷 参考答案及评分标准1、选择题：（每题 5 分，满分 60 分）题号
9、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A C B B C D B B A B C二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分）13.n(n1)2(n3)()2135(2n1) 14. 15. -2 16.053,416.【解析】由题意得， 2360gxfx， 60gx解得 1x，10f，因为 3232110xfxx，即函数f的图象关于点 ,0对称，则 124032314032071727ffffff 43608121fffff，故答案为 017.解：（）求直线 l 的普通方程为 3yx （1）（1分）将 sin,coyx代入（1）得 02sinco化简得直线 l 的方程
10、为 )3co( （3 分）圆 C 的极坐标方程为 2 （5 分）（） 13cos解之得：A(2,0) , B(2, 32) （6 分）32AOB, 3421r2AOBS扇 形 （8 分）3sin1S AOBSS扇 形（10 分）18. 解：（1）由已知得 当 时，有 ；1a1112当 时，有 ； 同理可得 n2622as ,a34120（说明： ， ， ， 一个 1 分） 4 分 1a34（2）猜想： 5 分(*)nN证明：当 时，由（1）得 ，等式成立 6 分a12假设当 时， 成立 7 分(*)nk()nk则 当 时，有9 分kkaS1()()kka1()kka110 分kka12)()1
11、即 当 时，等式也成立 11 分n综合可知 对一切 都成立 12 分()1*nN19. 证明：（1）假设 xy2 和 y2 都不成立，即 1xy 2 和 y 2 同时成立 x0 且 y0， x ，且 1x 两式相加得 22y ， 2这与已知条件 2xy矛盾， 1xy2 和 2 中至少有一个成立（6 分）（2）原式子等价于 2 *12nnN，两边平方得到41212212nnnn恒成立，得证（12 分）20解：（）设日销量 （2 分）3030,1,xkqkee则日销量 （6 分）301x(2)(54)xetyx（）当 时， （7 分）5txe)5(30（8 分）301(26)xey，由 得 0y由
12、 得 26（10 分）256y在 ， 上 单 调 递 增 ， 在 ， 4上 单 调 递 减 .（11 分）4max10,eyx时当当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时，该工厂的利润最大，最大值为 元 （12 分）410e21解（I）当 k2 时， f(x)ln(1 x) x x2， f( x) 12 x. （2 分）11 x由于 f(1)ln 2， f(1) ，（4 分）32所以曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 yln 2 (x1)，32即 3x2 y2ln 230. （5 分）（II） f( x) ， x(1，)（6 分）x kx k 11 x当 k0 时， f( x) .
13、x1 x所以，在区间(1,0)上， f( x)0；在区间(0，)上， f( x)0.x kx k 11 x 1 kk所以，在区间(1,0)和( ，)上， f( x)0；在区间(0， )上， f( x)1 kk 1 kk1 时， 由 f( x) 0，得 x1 (1,0)， x20.x kx k 11 x 1 kk所以，在区间(1， )和(0，)上， f( x)0；在区间( ，0)上， f( x)0.1 kk 1 kk故 f(x)的单调递增区间是(1， )和(0，)，单调递减区间是( ，0)（12 分）1 kk 1 kk22解：()由题意得 ，（1 分）1()sinco)xfea若函数 存在单调减
14、区间，则 （2()f 1()(is)0xf x 分）即 存在取值区间，即 存在取值区间（4sinco0ax2i分）所以 .（5 分）2()当 时，11()cos,()(sinco)xxfefe（6 分）2(1)s4fx 由 有 ，从而 ，,230,2xcos(1)0x要证原不等式成立，只要证 对 恒成立（7 分）1in4xxe21,首先令 ，由 ，可知，)()(12exg 2)(1eg当 时 单调递增，当 时 单调递减，,),(xg所以 ，有 （9 分）0)2()()(12x 12x构造函数 ， ，)4sin()(xh ,因为 ，)4cos(2)(xxh )4cos(2(x可见，在 时， ，即 在 上是减函数，0,10h)h0,1在 时， ，即 在 上是增函数，,)(,所以,在 上， ，所以 .2, )minx)(xg所以， ，等号成立当且仅当 时， （112)4si(0分）综 上 ： ， 由 于 取 等 条 件 不 同 ，21sin()4xex故 ，所以原不等式成立. （12 分）si()0
