1、- 1 -江苏省启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校 2019 届高三数学阶段测试试题（四）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题:本大题共
2、 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1.已知集合 ，若 ，则 .3,21aBA1BABA2.函数 的定义域为 .)lg()xxf3.已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数zi z的模为 .4.右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 .k5.已知函数 ，则 .0,log2)(xxf )2(f6.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则1|a实数 的取值范围为 .7.已知函数 的图象与直线 相切，则实数 的值为 .axyln1xya8.已知函数 在 时取得最大值，则 的值是 .)2)(2si69.在平面直角坐标系 中，已知角 的终边经过点 ,将角 的终边绕
3、原点按逆时xOy)21(A针方向旋转 与角 的终边重合 ,则 的值为 .2sin(10.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的取值范围nanS156,31Sa12a（第 4 题）结束 kk+1 +1N输出 k Y开始k1240- 2 -（第 11 题）（第 12 题）是 .11.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右顶点分别为 、xOy)0(12bayx A，右焦点为 ，上顶点为 ，线段 的中点为 ，直线 与椭圆的另一个交点为BFCBMA，且 垂直于 轴，则椭圆离心率 的值为 .Dxe12.如图，在 中， a、 b、 c 分别是角 所对的边， 是 上的两个三等AAC、 、 FE,B分点
4、， 是 上的两个三等分点， ，则 的最小HG, 910)()(BHGCbcos值为 .13.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 ，过直线 上点xOy1:2yxaxyl:l作圆 的切线 ，切点分别为 ，若存在点 使得 ，则实数PPBA, BA,PPOBA23的取值范围是 .a14.已知函数 （ 是自然对数的底数）恰有三个不同的零点 ，1,2|)(2xaxef e则实数 的取值范围是 .a二、解答题:本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)已知向量 ， 且a1,cos2()sin2,(b),0(（1）若 ，求 的值；b/（2）若
5、，求 的值.5|- 3 -（第 17 题）16. (本小题满分 14 分)已知函数 是定义在 的奇函数（其中 是自然对数的底数）.xemxf21,e（1）求实数 的值；（2）若 ，求实数 的取值范围. 2(1)()0fafa17. (本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右准线方程xOy:C)0(12bayx，离心率 ，左右顶点分别为 ，右焦点为 ，点 在椭圆上，且位于4:xl21eBA,FP轴上方.（1）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的最小值；PA1kP2k21（2）点 在右准线 上，且 ，直线 交 负半轴于点 ，QlQFxM若 ，求点 坐标.6MF18.
6、 (本小题满分 16 分)如图，港珠澳大桥连接珠海（ A 点） 、澳门（ B 点） 、香港（ C 点） 线段 长度为 ，AB)(10km线段 长度为 ，且 .澳门（ B 点）与香港（ C 点）之间有一段海底隧BC)(40km60C- 4 -道，连接人工岛 和人工岛 ，海底隧道是以 为圆心，半径 的一段圆EFO)(310kmR弧 ，从珠海点 到人工岛 所在的直线 与圆 相切，切点为点 ， 记FAAEE.)2,6,AB（1）用 表示 、 及弧长 ；EFAE（2）记路程 、弧长 及 四段长总和为 ，当 取何值时， 取得最小值？、BCll19. (本小题满分 16 分)已知函数 （ 是自然对数的底数）
7、.xaxegxaxf )2()(,ln2 e（1）若 ，求函数 的单调增区间；)(f（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；x0x（3）若函数 在 处取得极大值，求实数 的取值范围.)()(gfh1a20. (本小题满分 16 分)已知数列 、 、 ，对于给定的正整数 ，记 ， （nabnckknnabknac）.若对任意的正整数 满足： ，且 是等差数列，则称数列 为“N1nbc)(310kmR)(10km（第 18 题）- 5 -” 数列.)(kH（1）若数列 的前 项和为 ，证明： 为 数列；na2nSna)(kH（2）若数列 为 数列，且 ，求数列 的通项公式；)1( 5,
8、1,21cbana（3）若数列 为 数列，证明： 是等差数列.n2Hn- 6 -高三年级阶段测试四数学附加题 2018.12.21（满分 40 分，时间 30 分钟）注意：请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21(本小题满分 10 分)已知矩阵 的逆矩阵 ，设曲线 在矩阵 对应的变换作用下得372aAabA721 FA到曲线 ，求曲线 的方程.xyF22(本小题满分 10 分)已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴latyx x建立极坐标系， 圆 的极坐标方程为 ，直线 与圆C)0(2)4sin(2l相交于 、 两点.若弦长 ，求实
9、数 的值.CABAa- 7 -23. (本小题满分 10 分)已知点 是抛物线 上的一点，过点 作两条直线 与 ，分别与抛物线相交于 、Pxy2P1l2 A两点.B（1）已知点 且 ，求证：直线 恒过定点；)0,(21lAB（2）已知点 ，直线 所在直线方程为 ，且 的垂心 在 轴上，求PbxyPABHx实数 的值.b24. (本小题满分 10 分)已知数列 满足 .na121nna（1） ，求 ，并猜想数列 通项公式；23,（2）若 ，用数学归纳法证明1 na .4221 nn- 8 -高三数学阶段测试四数学试卷（I）答案 2018.12.21一、填空题:1、1,2,3 2、 3、 4、 5
10、 5、-2 6、 ),()1,(21a7、2 8、 9、 10、 11、 12、165,413、 14、2,)1,2(e二、解答题:15、解（1）因为 ，所以 ，所以 3 分ba/cosin421sin又因为 ，所以 ，所以 或 ，所以 或 7),0()2,0(6525分（漏 1 解扣 2 分）（2）因为 ，所以 ，所以 10 分5ba52sinco251sinco所以 14 分170)i()1s(| 2（忘记开根号扣 2 分）16、解（1）因为 是定义在 的奇函数，所以 ，所以xemxf2)(1, 0)(fm=14 分当 m=1 时， ，所以 6 分fx1)( )(2)(xfefx（2） 2
11、xe，所以 ，当且仅当 x=0 时 ，所以 在 单调递1xe0)(f 0)(xf)(xf1,增10 分所以 ，所以 14 分21a210a（忘记定义域扣 2 分）- 9 -17、解（1） 2 分1342yx设点 P ，则 6 分),(021k02000 34yxyx因为 ，所以，当 时 的最小值为 7 分3,y31k（用结论 不证明扣 2 分）21abk（2）设点 P ，则 QF： ，所以点 Q 9 分),(0yx)1(0xy)1(3,40yx因为点 P、Q、M 三点共线，所以 ，所以 11 分QMPk)5(302y又因为 ，所以 或 ，因为 ，所以 P 1413420yx40x5,0x)57
12、3,(分18.解（1）在 中，由正弦定理可知： 2 分ABE sinsin160iAE在 中， 4 分OF32sinR6 分AE320（2） 8 分26,sin4sin5 l 2322 sin)4cos74co(5sin3)coco( l10 分即 12 分2 si)4cs)(1c2(5l由 ，则 14 分3,0(ost 042ot当 时， ；当 时，6ll在 上单调递减 ，在 上单调递增l)3,( )2,3(答：当 时， 取得最小值.16 分l- 10 -19. 解（1）当 时，1a xxfxxf )1(21)(ln)(2 因为 ，所有 时， ； 时，0x0)(f0)(f则 在 上单调递增。
13、 3 分)(f),1（2） （法 1：不分参，分类讨论） )0(12)( xaxf 若 时， ，则 在 上单调递减，0a0)(ff,由 与 恒成立矛盾，所以 不合题意；5 分1)(f x0a（不举反例扣 1 分） 若 时，令 ，则0a0)(xf a481所以 当 时， ；当 时，0f0x0)(f则 在 单调递减，在 单调递增 7 分)(xf), ),(0所以 的最小值为 （*） ，02ln)xaxf又 带入（*）得： ，)1(012020xa 0021ln)(xf由 恒成立，所以 ，记)(f 2l0xxf xm又 ，则 在 单调递减，020 xm001ln)(m),(又 ，所以 )1(1010
14、 分20xa),0所以实数 的取值范围是 ,1附：（法 2：分参）对 恒成立，0lnxa2lnxa- 11 -令5 分)0(ln)(2xxm3 ln21)(xm设 ， ， 在 单调递减，Fl10 FxFln21)(),0(又 7 分0)(当 时， ，即 ；当 时， ，即1x0)(xF0)(xm10)(xF0)(xm在 上递增，在 上递减 )(m,1)(ma综上，实数 的取值范围是 10 分a)（3） ，2)( xexh0)1(h设 ，0,1)eG2 xeG则 在 上单调递减，(x),0 当 时，即12a， ，则x)(G0)(xh在 单调递减与“ 在 处取得极大值”矛盾)(h,01不合题意；12
15、 分21ea 当 时，即)(G2ea则 0)(21211aeaee由 ， ，使得 14 分0)(0),(0x0)(xG当 时， ，则1x)(xG12) eah当 时， ，则 )( xx在 单调递增，在 单调递减，则 在 处取得极大值)(xh,0),1(h1综上 符合题意。 16 分21ea20. 解（1）当 时， 2 分n2)(21nnSan- 12 -当 时， 符合上式， 则1n1Sa )1(2nan24,2kckbn则 1n对任意的正整数 满足 ，且 是公差为 4 的等差数列， 为 数列.1nbncna)(kH4 分（3） 2,1aa由数列 为 数列，则 是等差数列，且 n)(Hnc5,3
16、21c12n即 6 分21aann)(则 是常数列 9 分 na01验证： ， 对任意正整数 都成立 101nnbnbna分附： 21an 321an- 得： nkkkk )1(,)(212 na（3）由数列 为 数列可知： 是等差数列，记公差为 na2Hncdbac nn 2)()(242 dbn231则 0)(31dbbnn又 13 分1数列 为常数列，则n 12bann12bac由 16 分2)(11 ddnnn是等差数列.a- 13 -高三年级阶段测试数学附加题 2018.12.21（满分 40 分，时间 30 分钟）注意：请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、21(本小题满分 10 分)解：3 分10723aba134027ab，则 5 分,535A设曲线 上任一点 变换为 则F),(yxP),(yx，7 分xy3725代入曲线 得曲线 的方程 10 分xy3（不设任意点 变换为 扣 1 分）),(yxP),(22(本小题满分 10 分)解：解：直线 ，圆 ，4 分al: 4)()(:22yxC由弦长 6 分AB2dr所以圆心 C（1，-1）到直线 的距离 ， 10 分l21a40或（漏解扣 2 分）25. (本小题满分 10 分)解（1）由题可知直线 、 的斜率都存在，设 ，1l2 kxyl:1 xkyl1:22 分kxy2),(2kA同理可得
18、,B则直线 所在的直线方程为 1),(12kxy- 14 -当 时，直线 所在的直线方程为1kAB1x综上，直线 恒过定点 5 分)0,1(（不讨论 值扣 1 分）（2）由 可知垂心ABPH),2(设点 ),(),(21yx由 得： yb2 0)1(22bx04122bx由 0)()1(221 yxPBHA即 7 分)(21bbx将 带入 得： ，又042410 分（忘记 扣 1 分）026. (本小题满分 10 分)解（1） ，猜得 1 分4,3,21aa1n（3）证明 ：（i）当 时， ，命题成立；1n3（ii）假设 命题成立，即),(Nk2ka则 时，1kn 31)(21 akk时，命题也成立综合（i） （ii）可知 对一切正整数 都成立。4 分nNn（忘记 扣 1 分）),(Nk 先用数学归纳法证明 2na（i）当 时， ，命题成立；n31（ii）假设 命题成立，即),(Nk12ka- 15 -则 时，1kn 12)1(21)(1 kkkkk aa时，命题也成立综合（i） （ii）可知 对一切正整数 都成立。8 分21n Nn10 分42)1()()(3221 nakn（不用数学归纳法，用放缩扣 3 分）
