1、1南康中学 20182019 学年度第一学期高三第五次大考数 学（理科）试 卷一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)1.已知集合 ， ，则 （ ）|1Ax3sin1,ByxABA. B. C. D.1,2,)(,20,12.已知复数 （ 为虚数单位） ，则 的虚部为（ ）3izzA. B. C. D. 23232i32i3.设 ， ， ，则 的大小关系是（ 018log9a019log8b109c,abc）A. B. C. D.bcaca4.设函数 ，若角 的终边经过点 ，则 的值540()3xf(3,4)P(c
2、os)f为（ ）A.1 B.3 C.4 D.95已知函数 ，则下列结论不正确的是（ ）sin23cos,fxxRA.最大值为 2 B.最小正周期为 C.把函数 的图象向右平移 个单位长度就得到 的图像siy fxD.单调递增区间是 ，5k,12kZ6. 已知抛物线 与双曲线 有相同的焦点，点 在抛物线2ymx213y0(2,)Py上，则点 到该抛物线的准线的距离为（ ） PA.1 B.2 C.3 D.4 7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春2分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,
3、前九个节气日影长之和为 85.5 尺,则小满日影长为( )A. 1.5 尺 B.2.5 尺 C.3.5 尺 D. 4.5 尺8.正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）A. B. C. D.1343329. 椭圆 （ ）的中心在原点， 分别为左右焦点， 分别是椭圆21xyab01,F,AB的上顶点和右顶点， 是椭圆上一点，且 轴， ，则此椭圆的离心率PPx2为（ ）A B C. D13122510已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆2(0,)xyab12,F1的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线22xyaM1245方程为（ ）A B C D x3yx
4、yx2yx11.函数 的定义域为 ，且 其中 ， 为常数，若()yfR()()fa0a对任意 都有 ，则函数 的图象可以是（ ）12,x120xyfx12.已知函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，21()()fxaxe(xgeyx则实数 的取值范围是（ ）aA. B.C. D. 1,e1,e1,e1,e二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 . , abr(2)(6abrr|2,|1abrarb314.2018 年 8 月 31 日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得
5、税法自 1980 年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000 元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去 5000 元后的余额级数 全月应纳税所得额 税率1 不超过 3000 元的部分 3%2 超过 3000 元至 12000 元的部分 10%3 超过 12000 元至 25000 元的部分 20% 某企业员工今年 10 月份的月工资为 15000 元，则应缴纳的个人所得税为_元15.已知 ， 是圆 ： （ 为圆心）上一动点，线段1,0ABF2210xyF的垂直平分线交 于点 ，则动点 的轨迹方程为
6、P16.将直角三角形 沿斜边上的高 折成 的二面角，已知直角边CAD，那么下面说法正确的是 3,6AB（1） 平面 平面 （2）四面体 的体积是DABC6（3）二面角 的正切值是 （4） 与平面 所成角的正弦值BCD3是 214三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本题满分 10 分)在 中，已知点 在边 上，且 ， ，ABCDBC0AD2cos3AB.32（1）若 ，求 的值；43sin4（2）若 ，求 边上的中线 的长. 2ACBAE18. （本小题满分 12 分）已知数列 中， ，其前 项和 满足 .na12,3annS121(,
7、)nSnN（1）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 项和 .3nbanbnT19.（本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 都是边长为ACDBACDB的等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的22BE60E射影落在 的平分线上AC（1）求证： 平面 ；/DABC5（2）求二面角 的余弦值.ABCE20.（本大题满分 12 分）已知抛物线 ，过 且斜率为 1 的直线 与抛物线交于不同的20ypx,Mal两点 ,AB（1）求 的取值范围；a（2）若线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 面积的最大值。xNAB21. （本
8、大题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的210xyabF28yx离心率为 ，过 轴正半轴一点 且斜率为 的直线 交椭圆于 两点.63,m3l,AB（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数 使以线段 为直径的圆经过点 ，若存在，求出实数 的值；ABFm若不存在说明理由.622. （本大题满分 12 分）已知函数 ， ， （其中 aR， e为自然2()1xfea32()1gxax对数的底数， 2.78e）.（1）当 时，求函数 的极值；a()f（2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围；()gx1,a（3）若 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.e)()f
9、xga南康中学 20182019 学年度第一学期高三第五次大考数学（理科）参考答案一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C B C D C B D A A D二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13、 14、790 15、 16、 （3） （4）23213xy三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(1) 2sinsi(90)cos3BACDAB由 条 件 得.
10、3243,insiA在 中 则 ，7（2） 2sin3BAC由 (1) BAC为 钝 角 1cosBA3C1E=+E=+42由 得 （ ） （ ） （ ）又 ，所以 2,18.（1）由已知， （ ， ） ， 即 （ ， ） ，且 数列 是以 为首项，公差为 1 的等差数列（2）由（）知 它的前 项和为，.19.解： （1）由题意知， ， 都是边长为 2 的等边三角形，取 中点 ，ABCDACO连接 ，则 ， ，DOB,O又平面 平面 ， 平面 ，ABC作 平面 ，那么 ，根据题意，点 落在 上，EFEF/F ，易求得 ，603四边形 是平行四边形，DO ， 平面/ABC（2）解法一：作 ，垂足
11、为 ，连接 ，FGEG 平面 ， ，又 ，EEF 平面 ， ，BC 就是二面角 的平面角ABC中， ， ， FGRt2130sin 321EG8 即二面角 的余弦值为 .13cosEGFABCE13解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，xyzO可知平面 的一个法向量为 设平面 的一个法向量为ABC)1,0(1nBCE),(2zyxn则， 可求得 02E),3(2n所以 ，1|,cos211n又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角 的余弦值为 ABCE1320.解：(1) 设直线 与抛物线两交点的坐标分别为l 12,AxyB直线 的方程为 ,将 代入抛物线方程 ,得lyxa2p, 22
12、0xp2124()0pax211|()48()0|,ABxpapa(2)设 的垂直平分线交 于点 Q，令其坐标为 则AB3,xy, pax213.2)()(113 paxy所以|QM| 2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又MNQ 为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|= ，P所以 NABs 22|2|21 pABpQN9即NAB 面积的最大值为 2。P21.解：（1） 抛物线 的焦点是28yx,0， ，又 椭圆的离心率为 ，即2,0F c 63ca， ，则6a 222bac故椭圆的方程为 .1xy（2）由题意得直线 的方程为l30xm由 消去 得 .2163xymy226x由 ，解
13、得 .又 ， .248603m023m设 ， ，则 ， .1,Axy2,By12x216x.212121213333mx， ，1,FAxy2,FBxy2121212146433mmxx若存在 使以线段 为直径的圆经过点 ，则必有 ，即mABF0AFB，230解得 .又 ， .,23m即存在 使以线段 为直径的圆经过点.3mAB22.解：（1）当 时， ，ea2()1xef10，()()xxfee当 或 时， ，函数 在区间 ， 上单调递增；当100f()fx(,0)(1,)时， ，函数 在区间 上单调递减. 0x()fx(),1所以当 时，取得极大值 ；当 时，取得极小值 .fx()2ef（2） ，令 ，2()341gxax2()34a函数 在区间 上单调递增，即 在区间 上恒成立. , 10x,当 时，显然成立；0当 时， 在 上单调递增， ，即 ，所以a()x1,2()34a1a.1当 时， 在 上单调递减，只须 ，即 ，所0(),(2)1804以 .4a综上， .即 的取值范围为 .1a,4（3） ，即 ，()fxg()0fxg令 = ，3211heax2()1)xea因为 ，所以只须 ，()0,xx令 ， ， ，2ea()2e()2xe因为 ，所以 ，所以 ，即 单调递增，0x又 ，即 单调递增，()12xe()所以 ，所以 ，a1ae又 ，所以 .2a
