1、12018-2019 学年度第一学期高二年级期中考试题数 学注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），试卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考号用黑色的钢笔或签字笔填写在答题卷密封线内相应的位置；3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效，考试结束后，只交答题卷，务必用黑色的钢笔或签字笔填写在各题指定答题处。第卷（共 60 分）1、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD
2、的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2.抛物线 y=4x2的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D. 23已知命题 p：x0，总有 (x1)e x1，则命题 p 的否定为 ( )Ax 00 ，使得 (x01)ex 01 B x00，使得(x 01)ex 01Cx0，总有(x1)e x1 D x0，使得(x 1)ex14.已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，都有 ，则OCBAM31的值是( )xA. 1 B. 0 C. 3 D. 5.与向量 平行的一个向量的坐标是( )2,aA. B. (-1,-3,2) C. D. ,3(
3、 )1,23()2,3(6.已知双曲线 C: ( )的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点的12byax0,ba距离为 1,则双曲线 C 的方程为( )2A. B. C. D. 132yx132yx132yx192yx7.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若 ，ACB则 等于( )A. 28 B. 28 C. 14 D. 148.已知 A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线 AB 和直线 CD 所成角的余弦值为( )A. B. - C. D. -9、双曲线 的左右焦点分别为 ， 为右支上一点，且
4、 ，21yxb12,FP1|8PF，则双曲线的渐近线方程是（ ）120PFA B C Dyx26yx5yx34yx10.若平面 的一个法向量为 ,平面 的一个法向量是 ,则平面)10(n )1(2n 与 所成的角等于( )A. 30 B. 45 C. 60 D. 9011. 如图，三棱锥 ABCD 中，AB底面 BCD，BCCD，且 AB=BC=1，CD=2，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为( )A. B. C. D. 12.已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 相交于A， B 两点， F 为 C 的焦点，若| FA|2| FB|，则 k 的值为( )A. B
5、 C. D.13 23 2 23 23第卷（共 90 分）3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题卡上）13.已知 A(1,2,0)， B(0,1，1)， P 是 x 轴上的动点，当取最小值时，点 P 的坐标为_P14.在正四面体 OABC 中， ， D 为 BCcOCbBaA,的中点， E 为 AD 的中点，则 _(用 表Eba,示)15.已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是_.)0,2(Q24xy(,)PxyPQ16.已知斜率为 的直线 L 交椭圆 C： 1(ab0)于 A，B 两点，若点 P(2，1)是 AB12 x2a2 y2b2的中点，则 C 的离心率等于
6、 .三、解答题（本大题共 6 小题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）如图,直棱柱 ABC-A1B1C1的底面ABC 中,CA=CB=1,ACB=90,棱 AA1=2,如图,以 C 为原点,分别以 CA,CB,CC1为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.(1)求平面 A1B1C 的法向量;(2)求直线 AC 与平面 A1B1C 夹角的正弦值.18 （本小题满分 12 分）如图，已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，点 A 到抛物线准线的距离等于5，过点 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂
7、足为点 B， OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程；(2)过点 M 作 MN FA，垂足为 N，求点 N 的坐标. 19. （本小题满分 12 分）如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，已知 AB2， AA15，E、 F 分别为 D1D、 B1B 上的点，且 DE B1F1.(1)求证： BE平面 ACF；(2)求点 E 到平面 ACF 的距离20.如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE平面4ABCD,AFDE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60.(1)求二面角 F-BE-D 的余弦值;(2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得
8、 AM平面 BEF,并证明你的结论.21（本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线 的283xy焦点（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知 P（2，3）、Q（2，3）是椭圆上的两点，A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点，若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值； 1222 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 1（ a b0）经过点 M(2，1)，离心率为 过点 M 作倾斜角x2a2 y2b2 22互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）试判断直线 PQ 的斜率是
9、否为定值，证明你的结论5儋州一中 2020 届高二年级第一学期期中数学试题参考答案一、选择题（每题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A B D C A D A B D B C二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13、( ，0,0) 14、 15、2 16、32三、解答题（共 70 分）17、 【详解】(1)由题意可知 C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),故 =(1,0,2), =(0,1,2),设 v=(x0,y0,z0)为平面 A1B1C 的法向量,则v =(x0,y0,z0)(1,0,2)=x0+2z0=0
10、v =(x0,y0,z0)(0,1,2)=y0+2z0=0,即 令 z0=1,则 v=(-2,-2,1).(2)设直线 AC 与平面 A1B1C 夹角为 ,而 =(1,0,0),所以直线 AC 与平面 A1B1C 夹角的正弦值 sin= .18、解 (1)抛物线 y22 px 的准线方程为 x ，p2于是 4 5， p2，p2所以抛物线的方程为 y24 x.(2)由题意得 A(4,4)， B(0,4)， M(0,2)又 F(1,0)，所以 kAF ，则 FA 的方程为 y (x1)43 43因为 MN FA，所以 kMN ，34则 MN 的方程为 y x2.34解方程组Error!，得Err
11、or! ，所以 N .(85， 45)619、(1)证明：以 D 为原点， DA、 DC、 DD1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 D(0,0,0)、 A(2,0,0)、 B(2,2,0)、 C(0,2,0)、 D1(0,0,5)、 E(0,0,1)、F(2,2,4) (2,2,0)、 (0,2,4)、 (2，2,1)、 (2，0,1) 0， 0， BE AC， BE AF，且 AC AF A. BE平面 ACF.(2)由(1)知， 为平面 ACF 的一个法向量，点 E 到平面 ACF 的距离 d .故点 E 到平面 ACF 的距离为 .20、 （1）因为 DA
12、DC,DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系 D-xyz 如图所示.因为 DE平面 ABCD,所以 BE 与平面 ABCD 所成角为DBE，故DBE =60,所以 .由 AD=3 可知 DE=3 ,AF= .7则 A(3,0,0),F(3,0, ),E(0,0,3 ),B(3,3,0),C(0,3,0),所以 =(0,-3, ), =(3,0,-2 ),设平面 BEF 的法向量为 ,则令 z= ,则 .同理得平面 BDE 的法向量为 ,(也可证 AC平面 BDE,得 即为法向量).所以 cos= .由图形得二面角 F-BE-D 为锐角,所以二面角 F-BE-D 的余弦值为 .(2)点 M 是
13、线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0).则 =(t-3,t,0),因为 AM平面 BEF,所以 ，解得 t=2.此时,点 M 坐标为(2,2,0),BM= BD,符合题意.所以当 BM= BD 时，满足 AM平面 BEF21、解：（1）设 C 方程为 ，则 由 ，得 a=4 椭圆 C 的方程为 4 分（2）解：设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线 AB 的方程为 ，代入 ，得 x2+tx+t212=0 由0，解得4t4由韦达定理得 x1+x2=t，x 1x2=t212 6 分 = = 8由此可得：四边形 APBQ 的面积当 t=0 时， 8 分22、解：（1）由题设，得
14、1， 4a2 1b2且 ， a2 b2a 22由、解得 a26， b23， 椭圆 C 的方程为 1 x26 y23（2）记 P(x1， y1)、 Q(x2， y2)由题意知，直线 MP、 MQ 的斜率存在设直线 MP 的方程为 y1 k(x2)，与椭圆 C 的方程联立，得(12 k2)x2(8 k24 k)x8 k28 k40，2， x1是该方程的两根，则2 x1 ， x1 8k2 8k 41 2k2 4k2 4k 21 2k2设直线 MQ 的方程为 y1 k(x2)，同理得 x2 4k2 4k 21 2k2因 y11 k(x12)， y21 k(x22)，故 kPQ 1，y1 y2x1 x2 k(x1 2) k(x2 2)x1 x2 k(x1 x2 4)x1 x28k1 2k28k1 2k2因此直线 PQ 的斜率为定值
