1、- 1 -泉港一中 2018-2019 学年上学期第二次月考高二理科数学试卷（考试时间：120 分钟 总分：150 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知曲线 在点 处的切线斜率 ，则点 的坐标为( )2()yfxP2kPA B C D(2,81,)(,1)1(,82. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 在不超过 15 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是( )A. B. C. D. 150
2、1523.“ ”是方程 表示椭圆的 条件A. 必要但不充分 B. 充分但不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要4在棱长为 1 的正方体 中， 和 分别为 和 的中点，那么直1ABCDMN1AB1线 与 所成角的余弦值是 （ ）AMNA B C D52525305下列条件中，使点 M 与点 A、B、C 一定共面的为（ ）A、 =2 - - B、 = + +OurruOur1ABr12OCuC、 + + = D、 + + + =06已知线性相关的两个变量之间的几组数据如下表：变量 x 2.7 2.9 3 3.2 4.2变量 y 46 49 m 53 55且回归方程为 ，经预测 时， 的值为 6
3、0，则 m=( )5k5xyA.53 B.52 C.51 D.507若点 A 的坐标为（3，2） ， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则Fx2P取得最小值时点 的坐标是（ ） PFPA （0，0） B （1，1） C （2，2） D )1,2(8.如图所示，在长方体 中， ，点 E 是棱 AB 的中点，则 E 点到平面 的距离为( )A. B. C.D. 1621239. 下列说法正确的是 A. 命题“若方程 x2 x m=0 有实根，则 m0”的逆命题为真命题- 2 -B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”C. “ ”是“直线 与直线 垂直”的充要条件D. 命题“若 ，则 ”的否命
4、题为“若 ，则 ”10.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=12x 相交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ，则 的值为( )3abA B C D2105311.如图，正方体 的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 ，点 P 是平面ABCD 上的动点，且动点 P 到直线 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则动点 P 的轨迹是 A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆12.已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 ，线段的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值为 ) 12eA. 6 B. 3 C
5、. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、如图，函数 yf(x)的图像在点 P(2，y)处的切线是 l，则 f(2)f(2)等于_.14.已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，若焦点到渐近线21(0,)xab3yx的距离为 ，则双曲线方程为 15在 60的二面角的棱上有 A，B 两点，线段 AC，BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于 AB，已知 AB=4，AC=6，BD=8，则 CD 的长度为 .16.图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为 在样本中记月收入在 ， ，- 3 -， ， ，
6、的人数依次为 、 、 图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的 _ 用数字作答三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （本小题满分 10 分） 已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别是 D1D、 BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG = CD41（）求证： EF B1C； （）求 EF 与 G C1所成角的余弦值；18. （本小题满分 12 分）已知双曲线 C： 的离心率为 ，虚轴长)0,(12bayx 5为 4，（1） 求双曲线 C 的标准方程； （2） 若过点（0，1） ，倾斜
7、角为 的直线 与双曲线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求045l的面积.AOB19. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线 C:y2=2px 上横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点的距离为 5。（1）求抛物线 C 的标准方程；（2）过点 M（1，0）作直线 交抛物线 C 于 A、B 两点，求证： + 恒为定值。l 1|AM|B20.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点（）证明 PA/平面 BDE；（）求二面角 BDEC 的平面角的余弦值；（）在棱 PB 上是否存在点
8、F，使 PB平面 DEF？证明你的结论21（本小题满分 12 分）.某大学为调研学生在 A， B 两家餐厅用餐的满意度，从在 A， B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60- 4 -分 整理评分数据，将分数以 10 为组距分成 6 组： ， ， ， ， ，得到 A 餐厅分数的频率分布直方图，和 B 餐厅分数的频数分布表：B 餐厅分数频数分布表分数区间 频数235154035( 在抽样的 100 人中，求对 A 餐厅评分低于 30 的人数； 从对 B 餐厅评分在 范围内的人中随机选出 2 人，求 2 人中恰有 1 人评分在范围内的概率； 如
9、果从 A， B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由22. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的焦距为 2，左右焦点分别为， ，以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的半短轴长为半径的圆与直线 相切 求椭圆 C 的方程； 设不过原点的直线 l： 与椭圆 C 交于 A， B 两点若直线 与 的斜率分别为 ， ，且 ，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标；若直线 l 的斜率是直线 OA， OB 斜率的等比中项，求 面积的取值范围泉港一中 2018-2019 学年上学期第二次月考质量检测高二数学(理科)参考答案一、选择题：(每题 5 分，共 60 分)题号 1 2 3 4 5 6
10、7 8 9 10 11 12- 5 -答案 C D A B C B C D A B B A二、填空题(每题 5 分，共 20 分)13、1 14、 15、 16、6000172三、解答题。(本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤17. 解：如图建立空间直角坐标系 Oxyz，设正方体的棱长为 4，则 E (0，0，2)， F (2，2，0)，C (0，4，0)， B (4，4，0)， C1(0，4，4)， B1(4，4，4)， G (0，3，0) （2 分（） ) ,( ,)2,(EF， 0(201 CB EF B1C 6 分（） )4,0(1G， 64)2(
11、GEF 又 ，327 175 ,cos1CEF （11 分）因为， EF 与 GC1所成角的范围为（0， 所以， EF 与 GC1所成角的余弦值为 217512 分18 解： 依题意可得 ，解得 ，双曲线的标准方程为 直线 l 的方程为 ，设 、 ，由 可得 ，由韦达定理可得 ， ，即 ，原点到直线 l 的距离为 ，于是 ，- 6 -的面积为 19. 解：（1）依题意得： +4=5 P=2 2P抛物线 C 标准方程为 y2=4x （4 分）（2）当 l 斜率不存在时， + = + =1 （6 分）1|AM|B12当 l 斜率存在时，设 l 直线方程为：y=k(x-1)（k0）代入 y2=4x得
12、 k2x2-（2k 2+4）x+k 2=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）则 x1+x2= ， x 1x2=14k + = + = =1 （10 分）|M|12122综上得 + 恒为定值 1。 （12 分）|A|B19. 解：（）以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 PD=DC=2，则 A（2，0，0） ，P（0，0，2） ，E（0，1，1） ，B（2，2，0） ，),(),(),(A设 1(,)nxyz是平面 BDE 的一个法向量，则由 1 10,(,).20nDEyzynxB 得 取 得 1 1, ,/.PA
13、PABDEPA， 又 平 面 平 面（）由（）知 1(,)n是平面 BDE 的一个法向量，又 2(,0)nDA是平面 DEC 的一个法向量设二面角 BDEC 的平面角为 ，由图可知 12n1212 3cos,|n故二面角 BDEC 的余弦值为 3（） ),0(),(DEPB .,02DEPDEP假设棱 PB 上存在点 F，使 PB平面 DEF，设 )1(F，- 7 -则 )2,(),2,( PFDPF ，由 0)240 得D PBF31,0(31， 此 时即在棱 PB 上存在点 F， 31PB，使得 PB平面 DEF21【答案】解： 由 A 餐厅分数的频率分布直方图，得：对 A 餐厅评分低于
14、30 分的频率为， 分所以，对 A 餐厅评分低于 30 的人数为 ； 分 对 B 餐厅评分在 范围内的有 2 人，设为 、 ；对 B 餐厅评分在 范围内的有 3 人，设为 、 、 ；从这 5 人中随机选出 2 人的选法为：， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种 分其中，恰有 1 人评分在 范围内的选法为： ， ， ， ， 共 6 种； 分故 2 人中恰有 1 人评分在 范围内的概率为 ； 分 从两个餐厅得分低于 30 分的人数所占的比例来看：由 得，抽样的 100 人中，A 餐厅评分低于 30 的人数为 20，所以， A 餐厅得分低于 30 分的人数所占的比例为 ；B 餐厅评分低于 30 的人数为 ，所以， B 餐厅得分低于 30 分的人数所占的比例为 ；所以会选择 B 餐厅用餐 分22【答案】解： 由题意可得 ，即 ，由直线 与圆相切，可得 ，解得 ，即有椭圆的方程为 ；- 8 - 证明：设 ， ，将直线 代入椭圆 ，可得 ，即有 ， ，由 ，即有 ，代入韦达定理，可得 ，化简可得 ，则直线的方程为 ，即 ，故直线 l 恒过定点 ；由直线 l 的斜率是直线 OA， OB 斜率的等比中项，即有 ，即为，可得 ，解得 ，代入 ，可得 ，且 由 O 到直线的距离为 ，弦长 AB 为 ，则 面积为 ，当且仅当 ，即 时，取得最大值则 面积的取值范围为
