1、- 1 -20182019 学年度上学期第二次阶段测试高二数学科（理科）试卷答题时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.1、命题“存在 R， 0”的否定是 0x02xA.不存在 R, 0 B.存在 R, 0 0x2xC.对任意的 , 0 D.对任意的 , 00x R2、若 ， ，则下列命题成立的个数为abdc ； ； ； 。caddb)()(cdbaA1 B2 C3 D43、已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（ ）nanS1627SA13 B35 C49 D634、在空间直角坐标系中点 关于平面 对称点 的坐标是（ ）)6,5
2、1(PxoyQA （1，5，6） B （1，5，6） C （1，5，6） D （1，5，6）5、已知左、右焦点分别为 的双曲线 上一点 ，且 ，21F、 1342P17F则 （ ） A1 或 33 B1 C33 D1 或 112PF6、若 ，则 的最小值为（ ）,0babab2A B C D733-317、椭圆 的一个焦点是 ，那么实数 的值为（ ）25xky(0,)kA. B. C. D.258、有如下 3 个命题；双曲线 上任意一点 到两条渐近线的距离乘积是定值；)0,(12bayxP双曲线 的离心率分别是 ，则 是定值；)0,(122bayx与 21e、 21- 2 -过抛物线 的顶点任
3、作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是 ，)0(2pyx BA、则直线 过定点；其中正确的命题有（ ）ABA3 个 B2 个 C1 个 D0 个9、两个等差数列 和 ,其前 项和分别为,且 则 等于 （ ）nabn,327nTS1572baA. B. C. D. 48371494910、已知正方体 ，过顶点 作平面 ，使得直线 和 与平面 所1DCBAAAC1B成的角都为 ，这样的平面 可以有（ ）50A4 个 B3 个 C2 个 D1 个11、边长为 的正方形 ，将 沿对角线 折起，使 为正三角形，则直1线 和平面 所成的角的大小为（ ）BDCA B C D9060453012、已知 是椭
4、圆 的左焦点，经过原点的直线 与椭圆 交于F)(1:2bayxE lE两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）QP、 QF20PEA B C D321312二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13、等比数列 中，前 项和 ，则 等于 naxSn314、直线 经过抛物线 的焦点 ，且抛物线交于 两点，若 ，则直lxy2FBA、 FB4线 的斜率为 15、在平行六面体 中，已知 ，1DCBA 6011D， = 5,3,41AD16、已知实数若 满足 ，则 的最小值是 yx、 20yx且 yx34三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.- 3 -17、(本小题满分
5、10 分)已知命题 ：方程 的曲线是焦点在 轴上的双曲p122myxy线；命题 ：方程 无实根若 或 为真， 为真，求实数q01)(42mxpq的取值范围m18、(本小题满分 12 分)（1）已知 ，且 ，），（、 0cba1cba求证： ；8(cba（2）解关于 的不等式： x)(2xx19、(本小题满分 12 分)设正项等比数列 的首项 ，前 项和为 ， na21nnS0)12(120301S（）求 的通项；（）求 的前 项和 nSnT20、(本小题满分 12 分)已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，)0(2:pxyC)0,1(FO是抛物线 上异于 的两点 （ I）求抛物线 的方程；BA
6、、 OC（）若直线 的斜率之积为 ，求证：直线 过定点、 1-AB21、(本小题满分 12 分)如图 1，在直角 中， ，32,4,90AB分别为 中点，连接 并延长交 于点 ，将 沿 折起，使ED、 BDAC、 AEBCFD平面 如图 2 所示 （1）求证： ；平 面平 面 （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值F- 4 -22(本小题满分 12 分)已知椭圆 ，倾斜角为 的直线与椭圆相)0(1:2bayxE45交于 两点，且线段 的中点为 过椭圆 内一点 的两条直线分NM、 N)3,E)21,(P别与椭圆交于点 ，且满足 ，其中 为实数当直DBCA、和、 DBPCA,线 平行于 轴时，
7、对应的 （）求椭圆 的方程；Px51（）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由ABk- 5 -20182019 学年度上学期第二次阶段测试高二数学科（理科）答案一、选择题1、D 2、C 3、C4、B5、C6、D7、D 8、A 9、D 10、C 11、C 12、A二、填空题13、 -1 14、 4/3 15、 16、 三、解答题17、(本小题满分 10 分)解：若方程 + =1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线，则满足 ，即 ，得 m2，即 p：m2，若方程 4x2+4（m2）x+1=0 无实根，则判别式=16（m2） 2160，即（m2） 21，得1m21，即 1m3
8、，即 q：1m3，若q 为真，则 q 为假，同时若 p 或 q 为真，则 p 为真命题，即 ，得 m3，即实数 m 的取值范围是3，+） 18、解：（1） = = = a，b，c（0，+） ， （当且仅当 时，等号成立） （2）原不等式可化为 ax2+（a2）x20，化简为（x+1） （ax2）0a0， 1当2a0 时， ；2当 a=2 时，x=1；3当 a2 时， 综上所述，当2a0 时，解集为 ；- 6 -当 a=2 时，解集为x|x=1；当 a2 时，解集为 19、(本小题满分 12 分)解：（）若 q=1 时，2 1030a1（2 10+1）20a 1+10a1=0a 1=0 与已知矛
9、盾，q1，则由 210S30（2 10+1）S 20+S10=0可得 ，即 210（S 30S 20）=S 20S 10， ，q1，S 20S 100，2 10q10=1，即 ，q= ，又a n0，q0 且 q1q= ， （） ，即 ，nS n的前 n 项和 Tn=（1+2+n）（ ）= （） ，两式相减得 = =，T n= 19、(本小题满分 12 分)解：（）因为抛物线 y2=2px（p0）的焦点坐标为（1，0） ，所以 =1，所以 p=2所以抛物线 C 的方程为 y2=4x（4 分）（）证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 A（ ，t） ，B（ ，t） ，- 7 -因为直线 OA，OB
10、 的斜率之积为 ，所以 = ，化简得 t2=32所以 A（8，t） ，B（8，t） ，此时直线 AB 的方程为 x=8（7 分）当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y=kx+b，A（x A，y A） ，B（x B，y B） ，联立得 化简得 ky24y+4b=0（8 分）根据根与系数的关系得 yAyB= ，因为直线 OA，OB 的斜率之积为 ，所以 = ，即 xAxB+2yAyB=0即 +2yAyB=0，解得 yAyB=0（舍去）或 yAyB=32所以 yAyB= =32，即 b=8k，所以 y=kx8k，即 y=k（x8） 综上所述，直线 AB 过 x 轴上一定点（8，0） （12 分）
11、21、(本小题满分 12 分)如图 1，在直角ABC 中，ABC=90，AC=4 ，AB=2 ，D，E 分别为 AC，BD 中点，连接 AE 并延长交 BC 于点 F，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面BCD 如图 2 所示（1）求证：AECD；（2）求平面 AEF 与平面 ADC 所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：由条件可知 AB=AD，E 为 BD 的中点，所以 AEBD，- 8 -又面 ABD面 BDC，面 ABD面 BCD=BD，且 AE面 ABD，所以 AE面 BCD，又因为 CD平面 BCD，所以 AECD（2）以 E 为坐标原点 O，EF，ED，EA 所在直线
12、为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，在直角三角形 ABF 中，可得 BF=2 tan30=2，可得 EF=2cos60=1，可得 E（0，0，0） ，A（0，0，3） ，D（0， ，0） ，C（3，2 ，0） ，B（0， ，0） ，由 BE平面 AEF，可得平面 AEF 的法向量为 =（0， ，0） ，=（0， ，3） ， =（3，2 ，3） ，设平面 ADC 的法向量为 =（x，y，z） ，由 ，令 y= ，可取 =（1， ，1） ，可得 cos ， = = = ，则平面 AEF 与平面 ADC 所成锐二面角的余弦值为 22(本小题满分 12 分)解：（）设 M（m 1，n 1） 、N（
13、m 2，n 2） ，则 ，两式相减 ，故 a2=3b2（2 分）- 9 -当直线 AP 平行于 x 轴时，设|AC|=2d， ， ，则 ，解得 ，故点 A（或 C）的坐标为 代入椭圆方程 ，得 4 分a2=3，b 2=1，所以方程为 （6 分）（）设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） 、C（x 3，y 3） 、D（x 4，y 4）由于 ，可得 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） 、C（x 3，y 3） 、D（x 4，y 4） ，同理 可得 （8 分）由得： 将点 A、B 的坐标代入椭圆方程得 ，两式相减得（x 1+x2） （x 1x 2）+3（y 1+y2） （y 1y 2）=0，于是 3（y 1+y2）k AB=（x 1+x2）同理可得：3（y 3+y4）k CD=（x 3+x4） ，（10 分）于是 3（y 3+y4）k AB=（x 3+x4） （ABCD，k AB=kCD）所以 3（y 3+y4）k AB=（x 3+x4）由两式相加得到：3y 1+y2+（y 3+y4）k AB=（x 1+x2）+（x 3+x4）把代入上式得 3（1+）k AB=2（1+） ，解得： ，当 变化时，k AB为定值， （12 分）- 10 -
