1、12018 年重庆一中高 2019 级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（文科） 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
2、题目要求的一项）1.已知集合 则 （ ）,10,21BZxxABAA. B. C. D.,0 ,2,102.等比数列 中，若 ，则 （ ）na3,1a5aA.6 B. C.12 D.1863.计算 的结果是（ ）75si1iA. B. C. D.2414264264.下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D.23)(xfxf2)( xfsin)(xf3ln)(5.已知非零向量 的夹角为 ，且 则 （ ）ba,0,3,1baba2A. B. C. D.32 26.已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）yx,012xyyxz2A. B. C. D.125 17.圆 半径为 ，圆心在
3、轴的正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为（ C2x043yxC）2A B C D0322xy 042xy 042xyx8.过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 ，若)(2pxyF3A，则 （ ）4AFA.2 B.1 C. D. 49.已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 ， 的顶点 恰为 的两焦点，)4,3(Mxy32ABC,顶点 在 上且 ，则 （ ）CBCAsinsiACBA B. C. D. 22727210.若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）xaxfln)(aA B C D1,e(,)e(0,)e1(0,)e11.已知数列 的前 项和为
4、，首项 ，且 ，则 （ ）nnS1232nnS2018SA B. C. D. 201928097086712.已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐近2:1,xyCabAC线交于两点 .若 ,且 （其中 为原点），则双曲线 的离心率为（ ） ,PQ60A3OQPA B C D7277237第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题.（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.函数 在点 处的切线方程为 ；)2ln()xf )1(,fP14.若 ，且 ，则 的最小值为 ；Ryx,yyx15.已知 是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一
5、点且满足 ，则21,F21(3)9xaP120PF的值为 ；P3图2图1 FEDFEDAB C CBA图 2图 116.已知函数 满足 ，且对任意 恒有 ，则)(xf21)(f Ryx, )()2()(2yfxyfxf ；20918(f三、解答题.（共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .ABC, ,abcosc1ABb（）证明： 成等比数列；,acb（）若 ，且 ，求 的周长.32sincos+1ABC18 （本小题满分 12 分）如图 1，在直角 中， ， 分别32,4,90B ED,为 的中点，连结 并延长
6、交 于点 ，将 沿 折起，使平面 平面 ，BDAC,EBCFBC如图 2 所示（）求证： ；（）求四棱锥 的体积F19 （本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，数列 满足na)(212Nnan nb，且 .)(*1Nnabn ,5,731b（）求 及 ；n（）令 ，求数列 的前 项和 *,bacnncnS20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 为抛21:(0)xyCab12,F物线 的焦点， 的准线被椭圆 和圆 截得的弦长分别为 和 .2:(0)Cypx2122xya4（）求 和 的方程；12（）已知直线 与抛物线 相切，且 与椭圆 相交于 两点，若椭圆 上存在点
7、 ，使得l2Cl1CNM,1CQ4，求实数 的取值范围.)0(OQNM21 （本小题满分 12 分）已知函数 .(ln1xf=-（）求 的单调区间；()fx（）证明： （其中 是自然对数的底数， ）.xe1 7182.e注意：请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方Ox C程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），点 的极坐标为24cos10l 321tytA，设直线 与曲线 相交于 两点(3,)6lC,PQ（）写
8、出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；l（）求 的值APQO23.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲已知函数 12)(xxf（）解不等式 ；（）记函数 的最大值为 ，若 ，证明： )(fm)0,(3cbamba 1cab52018 年重庆一中高 2019 级高三上期半期考试数学参考答案（文科）一、选择题：D A B D B C B A C D A C二、填空题：13 题： ； 14 题：8； 15 题：36; 16 题： 1xy 23三、解答题17.（1）证明：由正弦定理得： 2 分cos1Babcosc1inisinABC，4 分sin()1siABC2ininA所以 成
9、等比数列6 分2,cab,c（2）由 81)62sin(2cossi31os2sin3 C,3分由余弦定理得： ，9 分22cscab又 ，所以 103c9分于是得： 11 分229()3()7abab6ab所以 的周长为 .12 分ABC9c18.（1）证明：由条件可知 ，而 为 的中点， ，2 分ABDEB AEBD又面 面 ，面 面 ，且 ， 平面 5DC面 C分又因为 平面 ， 6 分CB E（2）由题给数据知 ， 为等边三角形，而 为 中点，6ADEBD因此 中， ， ，AFRt 360cos,30sin B130tanEF因此 10 分251261BEFCDCESS由（1）知 ，所
10、以 12 分A面 23533AESVCDFCDEFA19.解：（1）由题可得 等差， 等比，设 的公差为 ，则 2nanbnaddbn1分6由题有 5 分121210256713 nadaad于是 ，而 ，61nb11nb分，（2）由题有： ，由错位相减法，得：12)(nnac7 分1210 )()3(523 nnnS8 分n2)(232 两式相减，得：10 分nnnnnS )1()4(12)()2(11 11 分)3于是： 12 分)(*Nnn20.（1）由题得 ，故 424ba2,=24bpc221:,:884xyCx分（2）由题知 存在斜率且不为 0， 5 分l ),0(:mnyxl )
11、,(),(),(021yxQNyxM联立 ，因为 与 相切，故 6xynm82 82yl2C0nm分联立 ，2yx 82)(22nmy两根 ， 7 分21, ,2121 n，又 ，因此 8 分),4(8402mn 02n)0,4(法一： 由 ，由韦达定理易得 9 分OQNM021yx)2(02mnyx7而 ，因此 10 分820yx )0,4(,28)2()2(162 nmnmnn令 ，则 12),4(nt ),0(,4,08t分21. 解：（1）定义域 ， 2),1()0x 2)1(lnxf分令 ，则 ，所以 在 ，xuln)(2)(xu )(u),0故 时， ，也即 ，3 分),1(001
12、xf因此， 在 上单调递减；在 上也单调递减；4 分f ),(（2）即证明 ,1lnxex 先证明 时的情况：),(此时 ，令 50ln2xe xxxegexg 232)(,1ln)(分令 ，6)1(046)(,43)(,2)( 23 hhxh xx 分故 在 ，故 在 7 分)(),1 )(0)1(e ),1于是 在 ，02ehx xgx,因此， 时 ，即 8 分),1()1(g0ln2xe下面证明 时的情况（相对更难一点）：,0x法一：（切线放缩）令 ，故 在 ，01)(,1)( xxegeg )(xg1,0于是 时 ，10 分,0x令 ，故 在,ln)(hxh)(h,故 时， 即 即 ，
13、证毕；12 分1,x0)1(01lnxxe1ln8法二：时， ，令 9 分)1,0(x01ln2xe xxxegexg 232)(,1ln)(令 ，46,43)(,223 hhxehx因 在 而 ，故 使得 在 ，)(1,001,0 e)1,(0x)(xh )1,(,00x而 ，故必存在唯一的 使得 在2)(,)(eh ),(,01)(),(,1且 即 ，故01x4311xx 352)( 231131 xxxehx记 ，所以 在 ，3),0(,5)(23 uu， )(u),(,0注意 ，因此 时 ，故 ，故 11)(,ux0)(xxxg分故 在 ，因此， 时， 12)(xg1,0)1,0( 0
14、1ln)1(2xeg分法三：把两种情况一起证（但需要用洛必达法则） ：所证，),1()0,1ln1ln2xexx令 ， 6 分l)(2 xxeln)12)()2（令 ，则),0(,ln1(2xxxu7 分xxuln23)1)( 232 ，显然 在 恒正，故 在 单增84233(xxu (x),0)(u),0分注意到 ，于是 在 为负，在 上为正，0)1()(u1,也即 在 上单调递减，在 单调递增9 分, )因此 时有 ，故 在 上单调递增，x 0(x)(xu),0又注意到 ，于是 在 为负，在 上为正，)(u)(,而 与 正负一致，因此 在 上单调递减，在 单调递增10 分)1,1(因此 时
15、， （洛必达法则）12 分),1()0x 2)lnlim(li)(11 exex922. （1） ，曲线 ，即 4 分:l30xy:C2410xy2()3xy（2）点 的直角坐标为 ，发现 在直线 上且 ，直线 的极坐标方程为A(,)AlAtl ()6R将直线 的参数方程与曲线 的直角坐标方程联立，得： ，根为 5 分l 210tQPt,注意 ，于是有 7 分0At PAQPQttt将直线 的极坐标方程 与曲线 的极坐标方程 联立得：l()6RC24cos，根为 ，即有 9 分231QP, 1PQO所以， 10 分1APO23.解：（1） ，易得 的解集为 5 分2,3,)(xf 1)(xf ),0x（2）由（1）知 ，于是 7 分mf)(a cba因为 9 分acbcab 22即： ，证毕。10 分1ac
