1、VEREIN DEUTSCHERINGENIEUREAuslegung ebener KurvengetriebeBerechnungsmodule fr Kurven- und KoppelgetriebeVDI 2142Blatt 2VDI-Handbuch Getriebetechnik I: Ungleichfrmig bersetzte GetriebeZubeziehen durch Beuth Verlag GmbH,10772 Berlin Alle Rechtevorbehalten Verein Deutscher Ingenieuree.V., Dsseldorf 201
2、1Vervielfltigung auchfr innerbetrieblicheZwecke nichtgestattetConstruction of planar cam mechanismsCalculation modules for cam and crank mechanismsICS 21.200Frhere Ausgabe: 11.08VDI-RICHTLINIENInhalt SeiteVorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . .
3、. . . . . . 21 Anwendungsbereich . . . . . . . . . . . . . . 32 Formelzeichen und Abkrzungen . . . . . . . 33 Grundlagen der vektoriellen und komplexen Schreibweise . . . . . . . . . . . . 43.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Schreibweise, Orthogonaloperator . . . . . 63.3 Vektorpro
4、dukt, komplexes Produkt, geometrische Deutung . . . . . . . . . . . 73.4 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Kurvendarstellung, Tangente, Normale und quidistante . . . . . . . . . . . . . . 113.6 Krmmung, Evolute und Hllkurven . . . . 124 Grundaufgaben zur kinematischen Analyse . 134.
5、1 Definitionen und Bezeichnungs-Systematik. . . . . . . . . . 134.2 bertragungsfunktionen (F) fr Dreh- und Rollenmittelpunkte . . . . . . . . . . . 134.3 bertragungsfunktionen (F) fr Schubgelenke . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 bertragungsfunktionen (F) fr elementare Zweischlge. . . . . . . .
6、. . . 154.4.1 Zweischlag mit drei Drehgelenken (DDD) . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4.2 Zweischlag mit zwei Drehgelenken und einem Schubgelenk (DDS) . . . 164.4.3 Zweischlag mit zwei Schubgelenken und einem Drehgelenk (SSD) . . . . 174.4.4 Zweischlag mit zwei Drehgelenken und einem Koppel-Schub
7、gelenk (DSD). . . . . . . . . . . . . . . . . 18Seite4.4.5 Zweischlag mit zwei Schubgelenken und einem Koppel-Drehgelenk (SDS). . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4.6 Gliedergruppen mit konstanter bersetzung . . . . . . . . . . . . . 204.5 Kurvenprofil und Krmmung. . . . . . . . 214.5.1 Durch kreis
8、frmiges Eingriffsglied erzeugtes Kurvenprofil. . . . . . . . 214.5.2 Durch flaches Eingriffsglied erzeugtes Kurvenprofil. . . . . . . . 224.6 bertragungswinkel fr Rollenhebel und Rollenstel . . . . . . . . . . . . . . 234.7 Relativpolbahnen der ebenen Bewegung . . 245 Berechnungsmodule . . . . . . .
9、 . . . . . . . 245.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Prinzipielle Vorgehensweise der Modulmethode . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Generelle Aufruffolge der Modulmethode . 255.3.1 Bewegungs- und bertragungs- funktionen . . . . . . . . . . . . . . 275.3.2 Beispiel zur Vorgehenswei
10、se der Modulmethode . . . . . . . . . . . . 275.3.3 Numerisches Nherungsverfahren fr hhere Gliedergruppen. . . . . . 325.4 Aufbau der Modulbeschreibungen . . . . . 34Anhang A Beschreibung der Kinematik- Berechnungsmodule. . . . . . . . . . 36A1 ANT_D Drehantrieb . . . . . . . . . . . 36A2 ANT_S Schu
11、bantrieb . . . . . . . . . . 37A3 FUN_D Gliedwinkelfunktionen . . . . . 38A4 FUN_S Schubwegfunktionen . . . . . . 39A5 FUN_P Fhrungsbahnfunktionen . . . . 40A6 GLK_P Absolute Gelenkbahn bezglich des Gestells . . . . . 41Juni 2011VDI-Gesellschaft Produkt- und Prozessgestaltung (GPP)Fachbereich Getrie
12、be und MaschinenelementeB974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e. V., Dsseldorf 2011 2 VDI 2142 Blatt 2SeiteA7 GLK_S Absolute Bahn eines Schubgelenks.
13、 . . . . . . . . 42A8 GLK_R Relative Gelenkbahn bezglich eines Glieds . . . . 43A9 GLK_Q Kurvenprofil aus RMB-qui- distante und Krmmung . . . 44A10 GLK_G Kurvenprofil aus Geraden- Hllbahn und Krmmung . . 45A11 GLK_UD bertragungswinkel am Rollenhebel . . . . . . . . . 46A12 GLK_US bertragungswinkel a
14、m Rollenstel . . . . . . . . . 47A13 EG_DDD Zweischlag mit drei Drehgelenken . . . . . . . . 48A14 EG_DDS Zweischlag mit zwei Dreh- gelenken und einem Anschluss-Schubgelenk . . . 50A15 EG_DSD Zweischlag mit zwei Dreh- gelenken und einem Koppel- Schubgelenk . . . . . . . . . 52A16 EG_SSD Zweischlag m
15、it zwei Schubgelenken und einem Drehgelenk . . . . . . . . . . 54A17 EG_SDS Zweischlag mit zwei Schub- gelenken und einem Koppel- Drehgelenk . . . . . . . . . . 56SeiteA18 LIN_DD Konstante bersetzung zwischen zwei Gliedwinkeln (Rderpaar) . . . . . . . . . 58A19 LIN_DS Konstante bersetzung zwischen G
16、liedwinkel und Schubstrecke (Zahnstange) . 59A20 LIN_SD Konstante bersetzung zwischen Schubstrecke und Gliedwinkel (Zahnstange) . . 60A21 POL_R1 Relativpolbahnen fr zwei Glieder . . . . . . . . . . . . 61Anhang B Hilfsbltter fr Kinematik- Berechnungsmodule . . . . . . . . . 62B1 DROT Rotationsableit
17、ungen des rotierenden Einheitszeigers ei 62B2 DROTW Rotationsableitungen des rotierenden Zeigers w . . . . . 63B3 ZLIN Komplexe lineare Gleichung mit reellen Unbekannten. . . . 64B4 UEF_BF Umrechnung von ber- . . . . tragungsfunktionen in Bewegungsfunktionen . . . . . 65Schrifttum . . . . . . . . .
18、. . . . . . . . . . . . 66VorbemerkungDer Inhalt dieser Richtlinie ist entstanden unter Be-achtung der Vorgaben und Empfehlungen der Richt-linie VDI 1000.Alle Rechte, insbesondere die des Nachdrucks, der Fotokopie, der elektronischen Verwendung und der bersetzung, jeweils auszugsweise oder vollstndi
19、g, sind vorbehalten.Die Nutzung dieser VDI-Richtlinie ist unter Wahrung des Urheberrechts und unter Beachtung der Lizenz-bedingungen (www.vdi-richtlinien.de), die in den VDI-Merkblttern geregelt sind, mglich.Allen, die ehrenamtlich an der Erarbeitung dieser VDI-Richtlinie mitgewirkt haben, sei gedan
20、kt.Eine Liste der aktuell verfgbaren Bltter dieser Richtlinienreihe ist im Internet abrufbar unter www.vdi.de/2142.EinleitungNach der Erstausgabe der Fassung von November 2008 wurden beim Anwenden der Grundlagen und Berechnungsmodule im Rahmen der Bearbeitung von VDI 2142 Blatt 3 zahlreiche nderungs
21、- und Korrekturvorschlge gesammelt. Diese wurden ein-gearbeitet, sodass nun die Richtlinie als Neuerschei-nung zur Verfgung steht. Kurvengetriebe-Lsungen haben in der modernen Antriebstechnik nach wie vor einen hohen Stellen-wert. So zeigt Bild 1 das kinematische Wirkprinzip eines neuartigen Ventilg
22、etriebes mit der Mglichkeit einer stufenlosen Verstellung des Ventilhubs fr Ver-brennungsmotoren 12; 13, der inzwischen in Gro-serie gefertigt wird und den Nachteil der hohen Ver-lustleistung der Drosselklappe durch den variablen Einlassventilhub eliminiert 14.Fr die Auslegung der unterschiedlichste
23、n Baufor-men hochwertiger Kurvengetriebe werden u. a. leis-tungsfhige Berechnungsgrundlagen bentigt, die den stark iterativ geprgten Konstruktionsprozess am Rechnerarbeitsplatz untersttzen.B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandards
24、Collection - Stand 2016-11Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e. V., Dsseldorf 2011 VDI 2142 Blatt 2 3 Bild 1. Wirkprinzip eines bertragungskurvengetriebes fr die variable VentilhubverstellungDie Richtlinie VDI 2142 Blatt 1 enthlt umfassende Konstruktionsgrundlagen zur Auswahl und Be
25、rech-nung der vorwiegend dreigliedrigen bertragungs-kurvengetriebe (KG) bis hin zur Fertigung ihrer ebenen Kurvenkrper. Dies geschieht dort noch durch die recht anschauliche Zeichnungsfolge-Me-thode, die den Einstieg in die Theorie der Kurven-scheiben erleichtert. Die Methode ist jedoch u. a. mit ho
26、hem manuellem Aufwand und erschwertem ber-blick der Grenz- und Sonderlagen solcher Getriebe verbunden.Die Richtlinie VDI 2741 stellt Methoden und Hilfen zur Auslegung von Fhrungskurvengetrieben (FKG) bereit, deren Strukturen in der Regel auch Elemente von Gelenk- und/oder Rdergetrieben ent-halten. L
27、etztere beeinflussen mageblich die Kurven-scheibenprofile, weshalb zustzliche Berechnungs-Bausteine bentigt werden, die zurzeit in aufbereite-ter Form nicht verfgbar sind.1 AnwendungsbereichDa das Zerlegen einer Getriebestruktur in Elementar-gruppen wie in der Richtlinie VDI 2729 prinzipiell vorgest
28、ellt das Erstellen leistungsfhiger Berech-nungsmodule fr die kinematische Analyse beliebi-ger bertragungskurvengetriebe und Fhrungskur-vengetriebe gestattet 1; 2, steht in der vorliegenden Richtlinie die Bereitstellung der hierzu notwendigen Berechnungsmodule im Mittelpunkt.Zunchst wird der gewhlte
29、mathematische Weg, hier die Methode der komplexen Zahlen, erlutert und da-nach konsequent fr die differenzialgeometrischen Beziehungen der Elementargruppen und der Gesamt-struktur verwendet. Das Ergebnis ist ein in sich schlssig abgestimmter Block von Formelstzen, die anhand des vorliegenden Getrieb
30、eaufbaus einer Auf-gabenstellung zu einer geeigneten Abfolge zusam-mengestellt und ausgewertet werden knnen.So lassen sich die kinematischen Gren der drei-gliedrigen KG mit Rollenhebel, Rollenstel, Flachhebel und Flachstel bestimmen und ihre Kur-venscheibenprofile berechnen.Ebenso ist die Analyse be
31、liebiger FKG-Bauarten mglich, die in der Regel Elemente von Gelenkge-trieben und gegebenenfalls Rdergetrieben enthalten. Am Beispiel eines einfachen Fhrungsskurvengetrie-bes werden Vorgehensweise und Berechnungsergeb-nisse der Modulmethode detailliert vorgestellt.In der Richtlinie VDI 2142 Blatt 3 w
32、erden ausgear-beitete Praxisbeispiele behandelt, damit der Benutzer fr die eigene Vorgehensweise eine Kontrollmglich-keit fr das berprfen der Zahlenwerte und Funkti-onenverlufe bekommt.2 Formelzeichen und AbkrzungenFormelzeichenIn dieser Richtlinie werden die nachfolgend aufge-fhrten Formelzeichen v
33、erwendet:Formel- Benennung Ein- zeichen heitd (n) () Rotationsableitungen des um den Winkel rotierenden Einheitszeigers eiD(n) (, w) Rotationsableitungen des um den Winkel rotierenden Zeigers we Eulersche ZahlEinheitsvektor im globalen x-y-System 1F Laufgrad 1i imaginre Einheit, i1 2 bersetzung zwis
34、chen Zahn- rad 1 und Zahnrad 2 1iS Zhlindex (bezglich der Zeit t oder bezglich einer anderen Koordinate wie oder w) 1Einheitsvektor im lokalen u-v-System 1KL Lagekennzahl 1M Bewegungstabellel1, l2 Lngen in den Zweischlgen mmlv Versetzung mmOrtsvektor mmei 1=krB974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9
35、B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandardsCollection - Stand 2016-11Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e. V., Dsseldorf 2011 4 VDI 2142 Blatt 2Formel- Benennung Ein- zeichen heitrR Rollenradius mmR() DrehmatrixRT Transponierte zu R()R1,R2 Wlzkreisradien
36、mmsk Schubstrecke des Gelenks k mmu frei whlbarer Parameter (z. B. fr Antriebsdrehwinkel oder w fr Antriebsweg)u, v lokale kartesische Koordinaten mmw komplexe Zahl im lokalen Systemw Antriebsweg mmx, y globale kartesische Koordinaten mmxj, yj lokale kartesische Koordinaten auf Glied j mmz komplexe
37、Zahl im x-y-SystemzAk(u) Bezugszeiger des Gelenks k (Bezugspunkt der Schubachse) mmzB1.2 Hilfszeiger mmzBm(u) Bezugszeiger des Glieds m (Zeiger zum Koordinaten- ursprung des Glieds m) mmOrtszeiger der Bahn k fr Drehgelenk D auf Glied j mmSchubrichtungszeiger vom Gelenk k auf Glied j 1Ortszeiger des
38、Kurvenprofil- punkts K auf Glied j mmzm Basiszeiger des Glieds m (Einheitszeiger) 1, Argumente in Polarkoordinaten rad gk(u) Schubrichtungswinkel vom Gelenk k rad Krmmung 1/mm bertragungswinkel rad * Hilfsgre fr Bestimmung des bertragungswinkels rad Krmmungsradius mmB Kennzahl fr den Umlaufsinn (z.
39、B. fr den Rollenmittelpunkt M auf der RMB des Kurven- krpers oder fr den Kontakt- punkt K auf dem Kurvenprofil) 1 Antriebswinkel rad 1 Hilfswinkel rad Abtriebswinkel allgemein rad B1.2 Hilfswinkel rad m(u) Winkel des Basiszeigers des Glieds m rad Winkelgeschwindigkeit rad/sAnmerkung: In der Auflistu
40、ng der Formelzeichen werden Bewe-gungsgren ohne ihre Ableitungen angegeben. In dieser Richtlinie knnen Ableitungen dieser Gren vorkommen. Bei Ableitungen nach allgemeinen Variablen werden Strich“-Ableitungen benutzt. Beispiel: oder mit u als frei whlbaremParameter, fr den in der Regel der Antriebsdr
41、ehwinkel oder der Antriebsweg w zur Anwendung kommt. Bei Ableitungen nach der Zeit werden grundstzlich Punkt“-Ableitungen benutzt(Beispiel: ). AbkrzungenIn dieser Richtlinie werden die nachfolgend aufge-fhrten Abkrzungen verwendet:Abkrzung BedeutungA SchubbezugspunktD DrehgelenkDDD Zweischlag mit dr
42、ei DrehgelenkenDDS Zweischlag mit zwei Drehgelenken und einem Anschluss-SchubgelenkDSD Zweischlag mit zwei Drehgelenken und einem Koppel-SchubgelenkF FhrungsgelenkFKG Fhrungskurvengetriebeg Schubgerade G GetriebegliedGG gleichmig bersetzende GetriebeIm Imaginrteil einer komplexen Zahlj, k, m, n Zahl
43、enindizesk GelenkpunktbahnK KurvenprofilpunktM RollenmittelpunktP allgemeine Bezeichnung fr GelenktypRe Realteil einer komplexen ZahlRMB RollenmittelpunktsbahnS SchubgelenkSDS Zweischlag mit zwei Schubgelenken und einem Koppel-DrehgelenkSSD Zweischlag mit zwei Schubgelenken und einem Anschluss-Drehg
44、elenkKG bertragungskurvengetriebe3 Grundlagen der vektoriellen und komplexen Schreibweise3.1 EinfhrungDie zur kinematischen Analyse bentigten mathema-tischen Formeln lassen sich in komplexer bzw. vekto-rieller Form schreiben. Die komplexe Schreibweise erlaubt eine sehr kompakte und bersichtliche Dar
45、-stellung geometrischer und insbesondere kinemati-scher Sachverhalte 3; 4. Beispiele der Anwendung komplexer Zahlen in der Kinematik findet man in 10, z. B. zur Beschreibung von Position, Geschwin-digkeit und Beschleunigung eines Punkts, der Kur-venkrmmung und der Bewegung dreier Ebenen.Um die Richt
46、linie auch fr den Leser, der nicht so sehr mit der komplexen Schreibweise vertraut ist, verstndlich zu gestalten, wird in Abschnitt 3.1 bis zj Dkzj gkzj Kk u( ) d2du2-= z u( ) dzdu-= d2dt2-=B974908A824A6748CAAAA99BAB349F63B2C88DD9B0D2BF8368C461B1CCB65CD15BE74F0686BD19CFC1FA2DEF1929BEST BeuthStandard
47、sCollection - Stand 2016-11Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e. V., Dsseldorf 2011 VDI 2142 Blatt 2 5 Abschnitt 3.4 neben der komplexen auch die entspre-chende vektorielle Beschreibung dargestellt. Am Beispiel einer elementaren Aufgabe der Getriebeana-lyse (Bild 2) sollen die unter
48、schiedlichen Beschrei-bungsmglichkeiten verdeutlicht werden: Gegeben ist ein auf einer Bahn kA gefhrtes und sich um den Winkel 1) bezglich des Gestells drehendes Getriebeglied mit dem lokalen Koordi-natensystem u-v. Gesucht sind die absoluten, auf das Gestellkoor-dinatensystem x-y bezogenen Bahnkoordinaten xB und yB eines Punkts B mit den lokalen Koordina-ten uBA und vBA auf diesem Getriebeglied.Bild 2. Ortsvektoren zweier Punkte A und B einer bewegten EbeneDie gesuchten Bahnkoordinaten erhlt man in konventioneller (Koordinaten-)Schreibweise ausxB = xA + uBA cos
