1、VEREIN DEUTSCHERINGENIEUREWerkstoff- und BauteildmpfungDmpfung in festen WerkstoffenDamping of materials and membersDamping of solidsVDI 3830Blatt 2 / Part 2Ausg. deutsch/englischIssue German/EnglishVDI-Handbuch SchwingungstechnikVDI-Handbuch WerkstofftechnikVDI-RICHTLINIENZu beziehen durch / Availa
2、ble from Beuth Verlag GmbH, 10772 Berlin Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure,Dsseldorf 2004Vervielfltigung auchfr innerbetriebliche Zwecke nicht gestattet / Reproduction even for internal use not permittedDie deutsche Version dieser Richtlinie ist verbindlich.IC
3、S 17.160; 21.020Oktober 2004October 2004The German version of this guideline shall be taken as authorita-tive. No guarantee can be given with respect to the English trans-lation.Inhalt SeiteVorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Physikalische Phnomene . . . . . . . . . . . 22 Lineare
4、Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 3-Parameter-Modelle . . . . . . . . . . . . 42.2 3-Parameter-Modelle im Standard-versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 N-Parameter-Modell . . . . . . . . . . . . 72.4 Operatorenschreibweise. . . . . . . . . . . 72.5 Kriechen und Relaxation
5、 . . . . . . . . . 82.6 Harmonische Spannungs- undDehnungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . 92.7 Mehrachsige Beanspruchung . . . . . . . . 112.8 Temperaturabhngigkeit viskoelastischerMaterialeigenschaften. . . . . . . . . . . . 142.9 Thermorheologisch einfache Werkstoffe . . 153 Nichtlineare Mode
6、lle . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Modelle fr statische Hysterese. . . . . . . 173.2 Modelle fr nichtlineare Viskoelastizitt . . 213.3 Modelle fr statische Hysterese und Viskoelastizitt . . . . . . . . . . . . . 22Liste der Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . 24Schrifttum. . . . . . . . . .
7、 . . . . . . . . . . . . 26Contents PagePreliminary note . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Physical phenomena . . . . . . . . . . . . . . 22 Linear models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 3-parameter models. . . . . . . . . . . . . 42.2 3-parameter models in the standardtest . . . . . .
8、 . . . . . . . . . . . . . . 72.3 N-parameter model . . . . . . . . . . . . . 72.4 Operator notation . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Creep and relaxation . . . . . . . . . . . . 82.6 Harmonic stress and strainfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Three-dimensional stress state . . . .
9、 . . . 112.8 Temperature dependence of viscoelasticmaterial properties . . . . . . . . . . . . . 142.9 Thermo-rheologically simple materials . . 153 Nonlinear models . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Models for static hysteresis. . . . . . . . . 173.2 Models for nonlinear viscoelasticity . . . .
10、 213.3 Models for static hysteresis andviscoelasticity. . . . . . . . . . . . . . . . 22List of symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26VDI-Gesellschaft Entwicklung Konstruktion VertriebAusschuss Werkstoff- und BauteildmpfungFrhere Ausga
11、be: 12.02 Entwurf,deutschFormer edition: 12/02 draft, in German onlyB55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 20042 VDI 3830 Blatt 2 / Part 2VorbemerkungDas vorliegende Blatt 2 gilt nur in Verbindung mitBlatt 1 Eint
12、eilung und bersicht“ der RichtlinieVDI 3830.Die Richtlinie VDI 3830 Werkstoff- und Bauteil-dmpfung“ besteht aus folgenden einzelnen Blttern:Blatt 1: Einteilung und bersichtBlatt 2: Dmpfung in festen WerkstoffenBlatt 3: Dmpfung von BaugruppenBlatt 4: Modelle fr gedmpfte StrukturenBlatt 5: Versuchstec
13、hniken zur Ermittlung vonDmpfungskenngren 1 Physikalische PhnomeneExperimente zeigen, dass feste Werkstoffe in ihremVerhalten vom Modell des ideal elastischen Krpersabweichen. Solche Werkstoffe heien daher inelas-tisch. Die beiden Standardversuche von Bild 1 undBild 2 verdeutlichen die typischen Eig
14、enschaftendes inelastischen Werkstoffverhaltens: Wird derWerkstoff durch einen Spannungssprung (t)=01(t)1) beansprucht, so setzt zeitabhngigesKriechen (t) ein. Wird hingegen nach einemDehnungssprung (t)=01(t) die Dehnungfestgehalten, sinkt die Spannung (t) durch atomare,molekulare, kristalline und i
15、nterkristallineUmordnung (Erholung oder Relaxation).Bei harmonischer Beanspruchung des Werkstoffesuert sich inelastisches Verhalten durch Verlust anmechanisch nutzbarer Energie (Hysterese). Bild 3zeigt zwei solche Hysteresezyklen.Der fr die Dmpfung verantwortliche Verlust anmechanischer Energie pro
16、Volumen (Dmpfungs-arbeit pro Volumen) whrend eines Zyklus der Perio-dendauer Tpbei ansonsten beliebigem Zeitverlauf be-trgt(1)Eine bezogene Dmpfungskenngre2) ist der Werk-stoffverlustfaktor (2)1) Der Einheitssprung wird hier mit 1(t) bezeichnet.2) Der Normierungsfaktor 2 wird in der internationalen
17、Literatur nichtdurchgngig verwendet.WD d t()t() td0Tp=WDh2 Uref-=Preliminary noteThis Part 2 of the guideline VDI 3830 only applies inconjunction with Part 1 ”Classification and survey“of the same guideline.The guideline VDI 3830 ”Damping of materials andcomponents“ comprises the following Parts:Par
18、t 1: Classification and surveyPart 2: Damping of solidsPart 3: Damping of assembliesPart 4: Models for damped structuresPart 5: Experimental techniques for the determina-tion of damping characteristics1 Physical phenomenaExperiments show that solid materials do not behaveas predicted by the model of
19、 an ideally elastic body.Such materials are therefore called inelastic. The twostandard tests depicted in Figure 1 and Figure 2 il-lustrate the typical characteristics of inelastic mate-rial behaviour: When the material is subjected to astep-like change in stress, (t)=01(t)1), it respondsby time-dep
20、endent creep, (t). When, on the otherhand, the strain is kept constant after a step-likechange in strain, (t)=01(t), the stress, (t), willdecrease due to re-ordering at the atomic, molecular,crystalline, and inter-crystalline levels (recovery orrelaxation). In case of harmonic stressing of the mater
21、ial, inelasticbehaviour manifests itself in the form of a loss of us-able mechanical energy (hysteresis). Figure 3 showstwo such hysteresis cycles. The loss of mechanical energy per unit volume(damping work per unit volume) during one cycle ofperiod Tpand otherwise arbitrary time history, whicheffec
22、ts the damping, is given by the formula:(1)The material loss factor is a relative damping charac-teristic2):(2)1) A unit step is denoted 1(t).2) The normalisation constant 2 is not consistently used in internati-onal literature.WD d t()t() td0Tp=WDh2 Uref-=B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF8
23、6D9NormCD - Stand 2012-08Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 2004 VDI 3830 Blatt 2 / Part 2 3Darin sind WDhdie auf das Volumen bezogeneDmpfungsarbeit pro Zyklus bei harmonischem Deh-nungsverlauf und Urefdie in Bild 3 als Flche darge-stellte Referenzenergie pro Volumen bei
24、der Maxi-maldehnung . Im linearen Fall (Bild 3a) ist Urefdiepro Volumen maximal gespeicherte potenzielle Ener-gie Umax. Wesentlichen Einfluss auf den Werkstoff-verlustfaktor haben die Amplitude und die Peri-odendauer Tp : = (, Tp).where WDhis the damping work per unit volume percycle in case of a ha
25、rmonic strain curve, and Urefisthe reference energy per unit volume at maximumstrain, , shown as an area in Figure 3. In the linearcase (Figure 3a), Urefis the maximum stored poten-tial energy Umaxper unit volume. The amplitude, ,and the period, Tp, exert a substantial influence on thematerial loss
26、factor, : = (, Tp).a) linearer Werkstoff/linear material b) nichtlinearer Werkstoff/nonlinear materialBild 3. Spannungs-Dehnungskurven bei zyklischer Beanspru-chung und Verzerrung:Fig. 3. Stress-strain curves under cyclic stress and distortionBild 1. Dehnung nach einem Spannungssprung Fig.1 Strain f
27、ollowing a step-like change in stressBild 2. Spannung nach einem Dehnungssprung Fig. 2. Stress following a step-like change in straina) elliptische Hystereseschleife (lineares Werkstoffverhalten)b) lanzettfrmige Hystereseschleife (nichtlineares Werkstoffver halten)a) elliptical hysteresis loop (line
28、ar material behaviour)b) distorted hysteresis loop (nonlinear material behaviour)B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 20044 VDI 3830 Blatt 2 / Part 2Fr ein Bauteil wird ein Verlustfaktor analog zu Glei-chung (2
29、) definiert: (3)Die Anschaulichkeit der Kenngre Dmpfungsarbeitje Zyklus wird mit Nachteilen erkauft: Die Kenngreist nur fr harmonische Beanspruchungen oder Verzer-rungen angebbar und auch da nur bei Hysteresekurvenohne Zwischenschleifen. Zudem enthlt die Dmp-fungsarbeit keine Information ber die Wer
30、kstoffstei-figkeit.2 Lineare ModelleLineares viskoelastisches Werkstoffverhalten ist dieeinfachste Form des inelastischen Werkstoffverhal-tens. Die Phnomene lassen sich durch rheologische3)Modelle beschreiben, die aus Netzwerken masseloserFedern und Dmpfer bestehen. Das 3-Parameter-Mo-dell ist die e
31、infachste Konfiguration, die die Ergeb-nisse der Standardversuche in Bild 1 und Bild 2 be-schreiben kann. Die Einfhrung weiterer Parameter also weiterer Feder- und Dmpferelemente im Modell-netzwerk erlaubt eine bessere Anpassung an dieMesskurven, erschwert jedoch die Identifikation derModellparamete
32、r im Experiment.2.1 3-Parameter-ModelleBild 4 zeigt die beiden mglichen Anordnungen derFedern und des Dmpfers bei einem 3-Parameter-Mo-dell fr Feststoffe. Andere Anordnungen von Federnund Dmpfern in 3-Parameter-Modellen beschreibendas Verhalten von Fluiden.3) Rheologische Modelle haben den Vorteil d
33、er Anschaulichkeit, eineMaterialbeschreibung ist jedoch auch ohne sie mglich.SWSh2 US-=For a component, the loss factor is defined by analogyto Equation (2):(3)The intuitiveness of the characteristic damping workper cycle is paid for by some disadvantages: Thecharacteristic can only be given for har
34、monic stressesor distortions, and only for hysteresis curves withoutsub-loops. Furthermore, the damping work does notcontain any information on the rigidity of the mate-rial.2 Linear modelsLinear viscoelastic behaviour is the simplest form ofinelastic material behaviour. The phenomena can bedescribe
35、d in terms of rheological3) models consistingof networks of massless springs and dampers. Thesimplest configuration is a 3-parameter model; it al-lows to describe the results of the standard tests as perFigure 1 and Figure 2. Introducing further parame-ters, i. e. more spring and damper elements int
36、o themodel network will allow for better matching to themeasured curves, but it will also render identifyingthe model parameters in the experiment more diffi-cult. 2.1 3-parameter modelsFigure 4 shows the two possible configurations ofsprings and dampers in a 3-parameter model for sol-ids. Other spr
37、ing and damper configurations in 3-pa-rameter models describe the behaviour of fluids. 3) Rheological models are advantageous in that they are intuitive, butmaterial can be characterised without them.SWSh2 US-=Bild 4. 3-Parameter-Modelle zur Beschreibung linear-inelasti-scher WerkstoffeFig. 4. 3-par
38、ameter models for the characterisation of linear-inelastic materialsB55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 2004 VDI 3830 Blatt 2 / Part 2 5Fr das Modell a aus Bild 4 mit den Parametern E0a,E1aund R1ader Feder
39、n und des Dmpfers, der Gesamt-dehnung sowie der Federdehnung 1afordert dasGleichgewicht: = E0a + E1a1aund (4a)E1a1a= R1a(4b)Die beiden Gleichgewichtsbedingungen in Gleich-ung (4) fhren auf das zugehrige viskoelastischeStoffgesetz + p1= q0 + q1(5)mit den Faktorenp1= (6a)q0= E0a(6b)q1= R1a(6c)Entsprec
40、hend ergeben sich fr das Modell b aus Bild 4die Faktoren im Stoffgesetz zup1= (7a)q0= (7b)q1= (7c)2.2 3-Parameter-Modelle im StandardversuchAuf einen Spannungssprung (t) = 01(t) antwortendie 3-Parameter-Modelle von Bild 4 mit der Dehnung (t) = 0J(t)(8)Die Funktion(9)heit Kriechnachgiebigkeit (vgl. B
41、ild 1).Der Abbau der Spannung bei spontan aufgebrachter,dann konstant gehaltener Dehnung (t)=01(t) ergibtsich zu (t) = 0E(t)(1)mit der Relaxationsfunktion (vgl. Bild 2)(11)1a()R1aE1a-E0aE1a+E1a-R1bE0bE1b+-E1bE0bE0bE1b+-R1bE0bE0bE1b+-Jt()1q0- 11p1q0q1-eq0q1-t=Et() q0q0q1p1-e1p1-t=For model (a) in Fig
42、ure 4, letting E0a, E1aand R1abethe parameters of the springs and the damper, the to-tal strain, and 1athe spring excursion, the equilib-rium demands that = E0a + E1a1aand (4a)E1a1a= R1a(4b)The two equilibrium conditions in Figure (4) lead tothe respective viscoelastic material law + p1= q0 + q1(5)w
43、ith the factorsp1= (6a)q0= E0a(6b)q1= R1a(6c)Accordingly, the factors in the material law for model(b) in Figure 4 result as followsp1= (7a)q0= (7b)q1= (7c)2.2 3-parameter models in the standard testWhen subjected to a step-like change in stress, (t)=01(t), the 3-parameter models of Figure 4 re-spon
44、d by exhibiting a strain (t) = 0J(t)(8)The function(9)is called creep compliance (see also Figure 1). The relaxation under a strain that is applied spontane-ously and then kept constant, (t)=01(t), results as (t) = 0E(t) (10)with the relaxation function (see also Figure 2):(11)1a()R1aE1a-E0aE1a+E1a-
45、R1bE0bE1b+-E1bE0bE0bE1b+-R1bE0bE0bE1b+-Jt()1q0- 11p1q0q1-eq0q1-t=Et() q0q0q1p1-e1p1-t=B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 20046 VDI 3830 Blatt 2 / Part 2Wie Bild 1 und Bild 2 zeigen, antworten die beiden 3-Par
46、ameter-Modelle von Bild 4 auf einen Spannungs-sprung zuerst mit einer spontanen elastischen Deh-nung und besitzen asymptotisch elastisches Verhalten0= (0+) = 0und (12a)(12b)Darin ist E0= E(0+) der Initialmodul, E= E() derGleichgewichtsmodul.Bei konstant gehaltener Dehnung relaxiert der Werk-stoff st
47、etig auf eine Spannung = 0E 0= 0E0(Bild 2).Zum Vergleich sind in Bild 5 die Verhltnisse frdas 2-parametrige Kelvin-Voigt-Modell dargestellt.Das Stoffgesetz nach Gleichung (5) hat hier die Fak-torenp1= 0 (13a)q0= E (13b)q1= R (13c)die Kriechnachgiebigkeit(14)und die RelaxationsfunktionE(t) = q0(15)Eine spontane elastische Dehnung 0 0 ist beim2-Parameter-Modell nicht mglich. Der Spannungs-ausgleich findet spontan statt, der Initialmodul E0istnicht erklrt (E0 ).p1q1-0E0-= t()0q0-0E-=t limJt()1q0- 1 eq0q1-t=As shown in Figrure 1 and Figure 2, both 3-parame-ter models in Figure
