1、1第 3 节 向心力的实例分析【学习目标】1、知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速，它就是圆周运动的物体所受的向心力。会在具体问题中分析向心力的来源。2、理解匀速圆周运动的规律。3、知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度。【学习重点】1、理解向心力是一种效果力。2、在具体问题中能找到向心力，并结合牛顿运动定律求解有关问题。【知识要点】1)水平面的圆周运动汽车转弯汽车在水平的圆弧路面上的做匀速圆周运动时(如图 6-1 甲所示)，是什么力作为向心力的呢?如果不考虑汽车翻转的情况，我们可以把汽车视为质点.汽车在竖直方向受
2、到的重力和支持力大小相等、方向相反，是一对平衡力；如果不考虑汽车行驶时受到的阻力，则汽车所受的地面对它的摩擦力就是向心力，如图 6-1 乙所示.如果考虑汽车行驶时受到的阻力 Ff，则静摩擦力沿圆周切线方向的分 Ft(通常叫做牵引力)与阻力 Ff平衡，而静摩擦力指向圆心的分力 Fn就是向心力，如下图丙所示，这时静摩擦力指向圆心的分力 Fn也就是汽车所受的合力.火车转弯火车转弯时，是什么力作为向心力呢?如果转弯处内外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力 F 就是使火车转弯的向心力(如下左图所示).设转弯半径为 r，火车质量为 m，转弯时速率为 v，则，F=m r2
3、.由于火车质量很大，靠这2种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏.实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径 r 和规定的行驶速度 v0，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力 G 和支持力 FN的合力来提供，如上右图所示.必须注意，虽然内外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上.F=Gtg=mgtg，故 mgtg=m rv20,通常倾角 不太大，可近似取 tg=h/d，则hr=d gv20.2)竖直平面内的圆周运动汽车过凸桥我们先来分析汽车过拱桥最高点时对桥的压力.设汽车的质量为 m，过最高点时的速
4、度为 v，桥面半径为 r.汽车在拱桥最高点时的受力情况如上图所示，重力 G 和桥对它的支持力 F1的合力就是汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下(指向圆心)所以 G-F1=m r2，则 F1=G-m r2.汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力和反作用力故压力 F1F 1G-m rv2.水流星水流星中的水在整个运动过程中均由重力和压力提供向心力，如下图所示，要使水在最高点不离开杯底，则 N0由 Nmg=m Rv2.则 V gR【典型例题】例 1 长度不同的两根细绳，悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内作圆锥摆运动，如下图所示，则( )3A.它们的周期相同B.较长
5、的绳所系小球的周期较大C.两球的向心力与半径成正比D.两绳张力与绳长成正比分析 设小球作圆锥摆运动时，摆长为 L，摆角为 ，小球受到拉力为 T0与重力 mg的作用，由于加速度 a 水平向右，拉力 T0与重力 mg 的合力 ma 的示意图如下图所示，由图可知 mgtg=ma因 a= 2R= T4Lsin 得 T=2 gL/cos，Lcos 为旋转平面到悬点的高度，容易看出两球周期相同T0sin=m 2Lsin T 0= 24 L24一定，T 0L F 向 2 r，F 向 r 故正确选项为 A、C、D例 2 质量为 m 的汽车，以速度 V 通过半径 R 的凸形桥最高点时对桥的压力为 ，当速度 V
6、时对桥的压力为零，以速度 V 通过半径为 R 凹型最低点时对桥的压力为 .分析 汽车以速率 V 作匀速圆周运动通过最高点时，牵引力与摩擦力相平衡，汽车在竖直方向的受力情况如下图所示.汽车在凸桥的最高点时，加速度方向向下，大小为 a=v2/R,由 F=mamg-N1=mv2/R所以，汽车对桥的压力N1=N 1=mg-mv2/R当 N1=N 1=0 时，v= Rg.汽车在凹桥的最低点时，竖直方向的受力如下图所示，此时汽车的加速度方向向上，同理可得，N 2=N 2=mgmv 2/R.小结 由分析可以看出，圆周运动中的动力学问题只是牛顿第二定律的应用中的一个特例，与直线运动中动力学的解题思路，分析方法
7、完全相同，需要注意的是其加速度 a=v2/R 或 a= 2R 方向指向圆心.例 3 在水平转台上放一个质量为 M 的木块，静摩擦因数为 ，转台以角速度 匀速4转动时，细绳一端系住木块 M，另一端通过转台中心的小孔悬一质量为 m 的木块，如右图所示，求 m 与转台能保持相对静止时，M 到转台中心的最大距离 R1和最小距离 R2.分析 M 在水平面内转动时，平台对 M 的支持力与 Mg 相平衡，拉力与平台对 M 的摩擦力的合力提供向心力.设 M 到转台中心的距离为 R，M 以角速度 转动所需向心力为 M 2R，若M 2RTmg，此时平台对 M 的摩擦力为零.若 R1R，M 2R1mg，平台对 M
8、的摩擦力方向向左，由牛顿第二定律f+mg=M 2R1，当 f 为最大值 Mg 时，R 1最大.所以，M 到转台的最大距离为R1=(Mg+mg)/M 2.若 R2R，M 2R2mg，平台对 M 的摩擦力水平向右，由 F=ma.mg-f=M 2R2f=Mg 时，R 2最小，最小值为 R2=(mg-Mg)/M 2.小结 本例实际上属于一个简单的连接体，直线运动中关于连接体的分析方法，在圆周运动中同样适用.例 4 长 L=0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于 O 点，上端连接一个零件 A，A 的质量为 m=2kg，它绕 O 点做圆周运动，如下图所示，在 A 通过最高点时，求下列两种情况下杆受的力：(
9、1)A 的速率为 1m/s，(2)A 的速率为 4m/s.分析 杆对 A 的作用力为竖直方向，设为 T，重力 mg 与 T 的合力提供向心力，由 F=ma，a=v 2/R，得 mg+T=mv2/RT=m(v2/R-g)(1)当 v=1m/s 时，T=2(1 2/0.5-10)N=-16N(2)当 v=4m/s 时，T=2(4 2/0.5-10)N=44N(1)问中 T 为负值，表明 T 与 mg 的方向相反，杆对 A 的作用力为支持力.讨论(1)由上式，当 v= Rg时，T0，当 v Rg时，T 为正值，对 A 的作用力为拉力，当 v g时，T 为负值，对 A 的作用力为支持力.(2)如果把杆
10、换成细绳，由于 T0，则有 v .例 5 如下图甲所示，质量为 m 的物体，沿半径为 R 的圆形轨道自 A 点滑下，A 点的法线为水平方向，B 点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为 ，物体滑至 B 点5时的速度为 v，求此时物体所受的摩擦力.解析：物体由 A 滑到 B 的过程中，受到重力、轨道对其弹力及轨道对其摩擦力的作用，物体一般做变速圆周运动.已知物体滑到 B 点时的速度大小为 v，它在 B 点时的受力情况如图 6-12 乙所示.其中轨道的弹力 FN、重力 G 的合力提供物体做圆周运动的向心力，方向一定指向圆心.故 甲 乙FN-G=m Rv2FN=mg+m v2，则滑动摩擦力为F
11、1=F N=(mg+m v2).【达标训练】1.若火力按规定速率转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，则火车以较小速率转弯时( )A.仅内轨对车轮有侧压力 B.仅外轨对车轮有侧压力C.内、外轨对车轮都有侧压力 D.内、外轨对车轮均无侧压力2.把盛水的水桶拴在长为 l 的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是( )A. gl2B. 2/glC. glD.2 glE.03.A、B、C 三个物体放在旋转圆台上，静摩擦系数均为 ，A 的质量为 2m，B、C 的质量均为 m，A、B 离轴为 R，C 离轴为 2R，则当圆台旋转时：(设 A、B
12、、C 都没有滑动，如下图所示)( )A.C 物的向心加速度最大B.B 物的静摩擦力最小C.当圆台转速增加时，C 比 A 先滑动D.当圆台转速增加时，B 比 A 先滑动64.如下图所示：在以角速度 旋转的光滑的细杆上穿有质量分别为 m 和 M 的两球，两球用轻细线连接.若 Mm,则( )A.当两球离轴距离相等时，两球都不动B.当两球离轴的距离之比等于质量之比时，两球都不动C.若转速为 时两球不动，那么转速为 2 时两球也不会动D.若两球滑动，一定向同一方向，不会相向滑动5.如下图所示，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴 OO匀速转动，下列关于小球的说法中正确的是( )A.小球受到重力、弹力和摩擦力B.小球受到重力、弹力C.小球受到一个水平指向圆心的向心力D.小球受到重力、弹力的合力是恒力6.m 为在水平传送带上被传送的物体，A 为终端皮带轮.如下图所示，A 轮半径为 r，则 m 可被平抛出去时，A 轮的角速度至少为 .参考答案1.A 2.C 3.ABC 4.CD 5.B 6. rg 【课后反思】收获疑问7
