1、1计算题规范练 31天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3双星系统，它由可见星 A和不可见的暗星 B构成两星均可视为质点，不考虑其他天体的影响， A、 B围绕两者连线上的 O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示引力常量为 G，由观测结果能够得到可见星 A的速率 v和运行周期 T.(1)可见星 A所受暗星 B的引力 FA可等效成位于 O点处的质量为 m的星体(可视为质点)对它的引力，设 A和 B的质量分别为 m1、 m2，试求 m(用 m1、 m2表示)(2)求暗星 B的质量 m2与可见星 A的速率 v、运行周期 T和质量 m1之间的关系式解析：(1)设 A、 B的圆
2、轨道半径分别为 r1、 r2，角速度均为 ，由双星所受的向心力大小相等，可得 m1 2r1 m2 2r2，设 A、 B之间的距离为 L，则 L r1 r2，联立可得 L r1，m1 m2m2由万有引力定律得，双星间的引力F G G ，m1m2L2 m1m32 m1 m2 2r21由题意，将此引力等效成在 O点处的质量为 m的星体对可见星 A的引力，则有：F Gm1mr21解得 m .m32 m1 m2 2(2)对可见星 A，有 G m1 ，m1mr21 v2r1可见星 A的轨道半径 r1 ，vT2联立解得 .m32 m1 m2 2 v3T2 G答案：(1) (2) m32 m1 m2 2 m3
3、2 m1 m2 2 v3T2 G2如图所示，直角边长为 0.4 m的等腰直角斜面体 AOB固定在水平地面上， C为斜面2的中点一小球从 C点正上方与 A等高的位置自由落下与斜面碰撞后做平抛运动，不计碰撞时的能量损失 g取 10 m/s2.(1)求小球从开始下落到落到水平地面上所用的时间(2)以 OB为 x轴， OA为 y轴，建立 xOy坐标系小球从坐标为( x， y)处自由下落，与斜面碰撞一次后落到 B点，写出 y与 x的关系式解析：(1)自由下落至 C点过程，则有： gt ，h2 12 21代入数据解得： t10.2 s，平抛过程下落高度也为 ，h2故下落运动的时间： t2 t10.4 s.
4、2)由释放点落至斜面过程，设落至斜面时的速度为 v，则有： v22 gy( h x)，平抛运动过程设运动时间为 t，则有：h x gt 2， h x vt，12联立消去 t解得： y x (0x0.4)54 12答案：(1)0.4 s (2) y x (0x0.4)54 123如图，一半径为 R的圆表示一柱形区域的横截面(纸面)在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为 m、电荷量为 q的粒子沿图中直线从圆上的 a点射入柱形区域，从圆上的 b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直圆心 O到直线的距离为 R.现35将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线从
5、a点射入柱形区域，也从 b点离开该区域若磁感应强度大小为 B，不计重力，求电场强度的大小3解析：粒子在磁场中做圆周运动设圆周的半径为 r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得 qvB m ，v2r式中 v为粒子在 a点的速度过 b点和 O点作直线的垂线，分别与直线交于 c点和 d点由几何关系知，线段 、ac和过 a、 b两点的圆弧轨迹的两条半径(未画出)围成一正方形因此 r，bc ac bc设 x，由几何关系得 R x，cd ac45 R ，bc35 R2 x2联立式得 r R.75再考虑粒子在电场中的运动设电场强度的大小为 E，粒子在电场中做类平抛运动，设其加速度大小为 a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得 qE ma粒子在电场方向和直线方向运动的距离均为 r，由运动学公式得 r at212r vt式中 t是粒子在电场中运动的时间联立式得 E .14qRB25m答案：14qRB25m
