1、1考查角度 3 函数的零点、方程的根及其应用分类透析一 函数零点所在区间的确定例 1 已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( ).A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+ )解析 由题意知,函数 f(x)在(0, + )上为减函数,又 f(1)=6-0=60,f(2)=3-1=20,f(4)= -log24= -2=- 0,所以 f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).所以当 x0(舍去)或 x=-2- .所以函数 g(x)有三个零点,故其集合为 -2- ,1,3
2、.(2)画出周期函数 f(x)和 y=log3|x|的图象,如图所示,故方程 f(x)=log3|x|的解的个数为 4.答案 (1)D (2)C方法技巧 判断函数 y=f(x)零点个数的三种常用方法:(1)直接法 .令 f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数 .(2)零点存在性定理法 .判断函数在区间 a,b上是连续不断的曲线,且 f(a)f(b)1 时,有交点,即函数 g(x)=f(x)+x-m 有零点 .3答案 D方法技巧 根据函数零点的情况求参数有三种常用方法 .(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围 .(2)分离参数法:通过将参数分离,
3、转化成求函数值域问题解决 .(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合求解 .1.(2018 年全国 卷,理 9 改编)若函数 f(x)= 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 . 解析 当 x0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1.因为函数 f(x)有两个不同的零点,所以当 x0 时,函数 f(x)=2x-a 有一个零点,令 f(x)=0 得 a=2x.因为 00,解得 a .答案 B43.(2016 年山东卷,文 15 改编)已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是 . 解析
4、画出函数 f(x)= 的图象,如图所示 .21,0,22,0已知函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,结合图象得 00 时,可知 x= 是函数 f(x)的一个零点 ,3故方程 2x-a=0 在( - ,0上也只有一个解,再根据当 x( - ,0时,0 0.故选 A.答案 A4.(西南名校联盟 2018 届适应性月考卷)已知 x0是函数 f(x)=3x+log3x 的零点,若 00 D.f(m)的符号不确定6解析 函数 f(x)=3x+log3x 在(0, + )上是增函数,故零点是唯一的,又 00)有唯一零点,则 a 的取值范围是( ).A.(0,1) B. C. D.解析 x 0,f
5、 (x)= f(-x)= e-x.画出函数 f(x)= 与函数 u(x)=ax+a(a0)的图象如图所示,可知只有当 3,画出函数 F(x)的图象如图所示,其中 A,B 的坐标分别为 , ,- ,(12,114) 114故当 b 时, F(x)的图象与 y=b 的图象有四个交点,故选 B.(3,114)答案 B9.(2018 年河南省巩义市模拟考试)已知 f(x)= 若 f(x)2=a 恰有两个根 x1,x2,则x1+x2的取值范围是( ).A.(-1,+ ) B.(-1,2ln 2-2)C.(- ,2ln 2-2 D.(- ,2-2ln 2解析 作出函数 f(x)的图象如图所示:由 f(x)
6、2=a 可得 f(x)= , 1,即 a1.不妨设 x11),则 x1=- ,x2=ln t,x 1+x2=ln t- ,令 g(t)=ln t- (t1),则 g(t)= - = , 1 12 当 10,当 t4 时, g(t)0,解得 x1,令 f(x)0,解得 -1x1,所以函数 y=f(x)在( - ,-1),(1,+ )上单调递增,在( -1,1)上单调递减,所以 f(x)极大值 =f(-1)=2,f(x)极小值 =f(1)=-2,如图所示,令 t=f(x)-a,由图可知 y=f(t)的零点为 t1=- ,t2=0,t3= ,3由图可知 g(x)=f(f(x)-a)恰有 9 个零点等
7、价于方程 f(x)-a=- ,f(x)-a=0,f(x)-a=共有 9 个实数根,等价于 解得 -2a2- .2 32,22,2+32,答案 A11.(山东省实验中学 2015 级第二次模拟考试)已知函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且 f(x)是偶函数,当 x -1,0时, f(x)=x2,若在区间 -1,3内,函数 g(x)=f(x)-loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是( ).A.(1,5) B.(1,5 C.(5,+ ) D.5,+ )解析 由题意可知函数 f(x)是周期为 T=2 的偶函数,结合当 x -1,0时, f(x)=x2,绘制函数图象如图
8、所示,10函数 g(x)有 4 个零点,则函数 f(x)与函数 y=loga(x+2)的图象在区间 -1,3内有 4 个交点,结合函数图象可得当 x=3 时,log a(3+2)1,求解对数不等式可得 a5,即实数 a 的取值范围是5, + ).答案 D12.(广西 2018 年第二次模拟)若函数 f(x)=x3-3x2-a(a0)只有 2 个零点,则 a= .解析 由函数的解析式可得 f(x)=3x2-6x,令 f(x)=0 可得 x1=0,x2=2,由题意可知函数的极大值或极小值为 0,即 f(0)=-a=0 或 f(2)=8-12-a=0,解得 a=0 或a=-4,结合 a0 可得 a=
9、-4.答案 -413.(唐山市 2017-2018 学年高三年级第一次模拟考试)已知函数 f(x)=log2x+2x-m 有唯一零点,如果它的零点在区间(1,2)内,则实数 m 的取值范围是 . 解析 因为 f(x)在(0, + )上单调递增,且函数的零点在区间(1,2)内,所以 f(1)f(2)0,即(log 21+21-m)(log22+22-m)0(2-m)(5-m)0,解得 2m5,所以实数 m 的取值范围是(2,5) .答案 (2,5)14.(2018 届湖北高中高三 5 月模拟)已知函数 f(x)= 若函数 y=f2(x)-bf(x)|()|(0),36+4(0),+1 有 8 个
10、不同的零点,则实数 b 的取值范围是 . 11解析 画出函数 f(x)的图象,根据图象,要使函数 y=f2(x)-bf(x)+1 有 8 个不同的零点,则 f2(x)-bf(x)+1=0 的两个解 f1(x),f2(x)应满足 0f1(x)4,0 f2(x)4, f1(x)f2(x)=1.设 0f1(x)1f2(x)4, f2(x)= ,由 1 4 得 2b .+242 +242 174答案 (2,17415.(安徽省马鞍山市 2018 届高三第二次教学质量监测试题)已知函数 f(x)=函数 g(x)=f(x)+ +|f(x)- |-2ax+4a 有三个零点,则实数 a 的取值12 12范围为
11、 . 解析 由题意得 g(x)=0 有三个零点,所以 =a(x-2)有三个零点,()+12+|() 12|2令 h(x)= =()+12+|() 12|2所以函数 h(x)的图象就是坐标系中的实线部分,y=a(x-2)表示过定点(2,0)的直线 l,所以直线 l 和实线有三个交点 .所以 kMA akMB,由题得 A ,B .(1,43)所以 kMA= =- ,kMB= =- .43012 413所以 a 的取值范围为 .49,413)12答案 49,413)16.(广东省惠州市 2018 届高三模拟考试)已知函数 f(x)对任意的 xR,都有 f =f,函数 f(x+1)是奇函数,当 - x 时, f(x)=2x,则方程 f(x)=- 在区间 -3,5内的所有根之和为 . 解析 函数 f(x+1)是奇函数,f (-x+1)=-f(x+1),又 f =f ,f (1-x)=f(x),f (x+1)=-f(x),即 f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 函数 f(x)的周期为 2,且图象关于直线 x= 对称 .画出函数 f(x)的图象如图所示: 结合图象可得 f(x)=- 在区间 -3,5内有 8 个零点,且所有根之和为 24=4.答案 413
