1、1考查角度 4 导数的运算及其几何意义分类透析一 导数的计算例 1 (1)f(x)=x(2018+ln x),若 f(x0)=2019,则 x0等于( ).A.e2 B.1 C.ln 2 D.e(2)已知 f(x)=x2+2xf(1),则 f(0)= . 解析 (1)f(x)=2018+ln x+x =2019+ln x,1故由 f(x0)=2019,得 2019+ln x0=2019,则 ln x0=0,解得 x0=1.(2)f (x)=2x+2f(1),f (1)=2+2f(1),解得 f(1)=-2.f (x)=2x-4,f (0)=-4.答案 (1)B (2)-4方法技巧 导数计算的原
2、则和方法:求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错 .分类透析二 求切线方程例 2 曲线 f(x)= 在 x=0处的切线方程为 . 1解析 因为 f(x)= = ,(1)(1)2所以曲线 f(x)在 x=0处的切线的斜率为 k=f(0)=-2,又 f(0)=-1,则所求的切线方程为 y+1=-2x,即 2x+y+1=0.答案 2x+y+1=0方法技巧 (1)求曲线切线方程的步骤: 求出函数 y=f(x)在点 x=x0处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处切线的斜率; 由点斜式方程求得切线方程为 y-f(x0)
3、=f(x0)(x-x0).(2)求曲线的切线方程需注意两点:2 当曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线平行于 y轴(此时导数不存在)时,切线方程为 x=x0; 当切点坐标不知道时,应先设出切点坐标,再求解 .分类透析三 求参数的值例 3 (1)直线 y=kx+1与曲线 y=x3+ax+b相切于点 A(1,3),则 2a+b= . (2)设曲线 y= 在点 处的切线与直线 x-ay+1=0平行,则实数 a= . (2,1)解析 (1)由题意知, y=x3+ax+b的导数 y=3x2+a,则 解得 k=2,a=-1,b=3,13+=3,312+=,+1=3, 2a+b=1.(2)y
4、= ,y =-1.12由条件知 =-1,a=- 1.1答案 (1)1 (2)-1方法技巧 处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出以下方程并解出参数: 切点处的导数是切线的斜率; 切点在切线上; 切点在曲线上 .1.(2018年全国 卷,文 6改编)已知函数 f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则 a= . 解析 f (x)=3ax2+1,f (1)=3a+1,又 f(1)=a+2, 切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又点(2,7)在切线上,可得 a=1.答案 12.(2018年全国 卷,文 13改编)已知函数 f
5、(x)=xln x,若直线 l过点(0, -1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线 l的方程为 . 解析 点(0, -1)不在曲线 f(x)=xln x上, 设切点为( x0,y0).3又 f (x)=1+ln x, 直线 l的方程为 y+1=(1+ln x0)x. 由 解得 x0=1,y0=0.0=0 0,0+1=(1+ 0)0, 直线 l的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.答案 x-y-1=03.(2016年全国 卷,文 16改编)已知 f(x)为奇函数,当 x0时, -x0)上一动点 P(x0,f(x0)1处的切线斜率的最小值为( ).A. B.3 C.2 D.6解析 f(x)=
6、3x2+ ,k=f(x)=3x2+ 2 ,当且仅当 3x2= ,即 x4= ,x= 时,等号成立,故kmin=2 .答案 C8.(2018年河南省普通高中毕业班高考适应性练习)已知函数 f(x)=ex在点(0, f(0)处的切线为 l,动点( a,b)在直线 l上,则 2a+2-b的最小值是( ).A.4 B.2 C.2 D.解析 由题意得 f(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f (0)=e0=1,6 切线方程为 y-1=x-0,即 x-y+1=0,a-b+ 1=0,a-b=- 1, 2a+2-b2 =2 =2 = (当且仅当 a=- ,b= 时取等号),故选 D.21答案 D9.(山西省
7、 2018届高三诊断性模拟考试)若曲线 y= 的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为( ).A. B. C. 或 D. 或解析 由题意可设切点坐标为( x0, ),0由 y= = ,得 y= ,12 12则切线斜率 k= ,故切线方程为 y- = (x-x0),0又切线过点(8,3),所以 3- = (8-x0),0整理得 x0-6 +8=0,0解得 =4或 2,0所以切线斜率 k= 或 k= .答案 C10.(2018河北调研)如图所示的是函数 f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数 g(x)=ln x+f(x)的零点所在的区间是( ).A.B.C.(1,2)D.(2,3)7解析
8、由函数 f(x)=x2+ax+b的部分图象得 00, 函数g(x)=ln x+f(x)的零点所在的区间是 .故选 B.答案 B11.(西南名校联盟 2018届适应性月考卷)设过曲线 f(x)=ex+x+2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 l1,总存在过曲线 g(x)= (1-2x)-2sin x上一点处的切线 l2,使得2l1 l2,则实数 a的取值范围为( ).A.-1,1 B.-2,2 C.-1,2 D.-2,1解析 设 y=f(x)的切点为( x1,y1),y=g(x)的切点为( x2,y2),由题意知 f(x)=ex+1,g(x)=-a-2cos x.由题意知对任意 x1R
9、,存在 x2使得( +1)(-a-2cos x2)=-1,1a+ 2cos x2= 对任意 x1R 均有解 x2,故 a-2 a+2对任意 x1R 恒成立,又 (0,1), a- 20 且 2+a1, - 1 a2 .答案 C12.(2018年北京市石景山区高三统一测试)已知函数 f(x)= 若关于 x的方程 f(x)=k有两个不同根,则 k的取值范围是 . 解析 作出函数 f(x)的图象,如图所示:方程 f(x)=k有两个不同根,8即 y=k和 f(x)= 的图象有两个交点,1,1,3,0).f (x)= ,2f (x0)= =2,解得 x0=1,P (1,0). 点 P到直线 2x-y+6
10、=0的距离 d= = ,即点 P到直线 2x-y+6=0的距离的最小值为 .答案 14.(2018海南检测)已知 f(x)为奇函数,当 x0 时, f(x)=-x2-3x,则曲线 y=f(x)在点(1, -2)处的切线方程为 . 解析 由题意知,当 x0时,则 -x0时, f(x)=2x-3,所以 f(1)=21-3=-1,即切线的斜率为 k=-1,所以在点(1, -2)处的切线方程为 y-(-2)=-1(x-1),即 x+y+1=0.答案 x+y+1=015.(广东省惠州市 2018届高三模拟考试)曲线 C:f(x)=sin x+ex+2在 x=0处的切线方程为 .解析 f (x)=cos
11、x+ex,f (0)=2. 曲线 C在 x=0处的切线的斜率为 k=f(0)=2.9f (0)=3, 曲线 C在 x=0处的切线方程为 y=2x+3.答案 y=2x+316.(20172018学年河北省衡水中学上学期高三年级九模考试)若两曲线 y=x2-1与 y=aln x-1(a0)存在公切线,则正实数 a的取值范围是 . 解析 设两个切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),两个切线方程分别为 y-( -1)=2x1(x-x1),21y-(aln x2-1)= (x-x2),2化简得 y=2x1x-1- ,y= x+aln x2-a-1,212由两条切线为同一条,可得则 a=-4 (ln x2-1),22令 g(x)=4x2-4x2ln x(x0),则 g(x)=4x(1-2ln x),由 g(x)0解得 0 .所以 g(x)在(0, )上单调递增,在( ,+ )上单调递减,则 g(x)max=g( )=2e,当 x0时, g(x)0 .所以 a的取值范围是(0,2e .答案 (0,2e
