1、1考查角度 5 导数在研究函数中的应用分类透析一 求函数的单调性例 1 (1)已知函数 f(x)=xln x,则 f(x)( ).A.在(0, + )上单调递增B.在(0, + )上单调递减C.在 上单调递增(0,1)D.在 上单调递减(0,1)(2)已知定义在区间( -,)上的函数 f(x)=xsin x+cos x,则 f(x)的单调递增区间为 .解析 (1)因为函数 f(x)=xln x 的定义域为(0, + ),所以 f(x)=ln x+1(x0).令 f(x)0,解得 x ,即函数的单调递增区间为 .(1,+)令 f(x)0,则其在区间( -,)上的解集为 或 ,(,2) (0,2)
2、即 f(x)的单调递增区间为 和 .(,2) (0,2)答案 (1)D (2) 和(,2) (0,2)方法技巧 确定函数单调区间的步骤:(1)确定函数 f(x)的定义域;(2)求 f(x);2(3)解不等式 f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式 f(x) f B.f f(1)(4) (3) (3)C. f 0 时,有 0 的解集是 . 解析 (1)令 g(x)= ,()则 g(x)= ,()()2所以 g(x)g ,即 ,(4) (3) f f .(4) (3)(2) 当 x0 时, 0,此时 x2f(x)0.又 f(x)为奇函数,h (x)=x2f(x)也为奇函数
3、.故 x2f(x)0 的解集为( - ,-2)(0,2) .答案 (1)A (2)(- ,-2)(0,2)3方法技巧 利用导数比较大小或解不等式的常用技巧:利用题目条件构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式 .分类透析三 根据极值求参数例 3 若函数 f(x)= - x2+x+1 在区间 上有极值点,则实数 a 的取值范围是( ).2A. B.C. D.(2,103) 2,103)解析 函数 f(x)在区间 上有极值点等价于 f(x)=0 有零点,且零点不是 f(x)图象的顶点的横坐标 .因为 f(x)=x2-ax+1,所以
4、=a 2-4,由题意可知 0,所以 a 2.由 f(x)=0 在 内有根,得 a=x+ 在 内有解,1又 x+ ,且 a 2,所以 21 C.a1 D.02 时, f(x)0. 当 x=2 时, f(x)有极小值 f(2)= +1.若函数 f(x)没有零点,则 f(2)= +10,解得 a-e2,因此 -e2f(x)+1,则下列结论正确的是( ).A.f(2018)-ef(2017)e-1B.f(2018)-ef(2017)e+1D.f(2018)-ef(2017)f(x)+1,f (x)-f(x)-10,g (x)0 在 R 上恒成立,g (x)= 在 R 上单调递增 .()+1g (201
5、8)g(2017), ,(2018)+12018(2017)+12017f (2018)+1ef(2017)+e,f (2018)-ef(2017)e-1.答案 A73.(2018 年江西月考)若 f(x)=- (x-2)2+bln x 在(1, + )上是减函数,则 b 的取值范围是( ).A.-1,+ ) B.(- ,-1C.(-1,+ ) D.(- ,-1)解析 由题意知 f(x)=-(x-2)+ 0 在 x(1, + )上恒成立,即 b x(x-2)在x(1, + )上恒成立 .令 (x)=x(x-2)=(x-1)2-1,因为 (x)在(1, + )上的值域是( -1,+ ),所以 b
6、 -1,故选 B.答案 B4.(四川省绵阳 2018 届高三“二诊”热身考试)在 ABC 中, a,b,c 分别为 A, B, C 所对的边,若函数 f(x)= x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1 有极值点,则 sin 的最小值是( ).(23)A.0 B.- C. D.-1解析 f (x)= x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1,f (x)=x2+2bx+(a2+c2-ac).又 f (x)= x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1 有极值点,x 2+2bx+(a2+c2-ac)=0 有两个不同的根,= (2b)2-4(a2+c2-ac)0,即 aca2+c2-b2,ac 2ac
7、cos B, cos Bx0时,有 h(x)0,所以 x=x0是 h(x)的极小值点,故选 B.答案 B6.(2018 河南一模)已知函数 f(x)=ln x-x+ ,若 a=-f ,b=f(), c=f(5),则( ).1A.cf() f(5),abc. 故选 A.答案 A7.(河南安阳 2018 届高三毕业班第二次模拟考试)设函数 f(x)=ln x+a(x2-3x+2),若 f(x)0 在区间(1, + )上恒成立,则实数 a 的取值范围是( ).A.0,1 B.-1,0 C.0,2 D.-1,1解析 由 f(x)0 得 a(x2-3x+2)-ln x(x1),令 h(x)=-ln x,
8、g(x)=x2-3x+2,其图象如图所示,9为了满足不等式恒成立,则 a0,且在 x=1 处的切线斜率 h(1) g(1),所以 h(x)=- ,g(x)=a(2x-3),1所以 h(1) g(1),得 a1 .综上, a 的取值范围是0,1 .答案 A8.(河南省濮阳市 2018 届高三毕业班第二次模拟考试)已知定义在(0, + )上的函数 f(x)满足 xf(x)f(x)恒成立(其中 f(x)为函数 f(x)的导函数),对于任意实数 x10,x20,下列不等式一定正确的是( ).A.f(x1)f(x2) f(x1x2) B.f(x1)f(x2) f(x1x2) C.f(x1)+f(x2)f
9、(x1+x2)D.f(x1)+f(x2)f(x)恒成立,即 f(x)-xf(x)0,()所以函数 h(x)为增函数 .不妨设 0 ,(1)1(2)2(1+2)1+2(2)2即 f(x1+x2) f(x2)=f(x2)+ f(x2)f(x2)+x1 =f(x1)+f(x2),(1)1故选 D.答案 D9.(陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期第七次模拟考试)函数 f(x)= 在区间22,4上的值域是( ).A. B.72,0C. D. 322,1210解析 f(x)= ,+12()2令 g(x)=-ln x+1- ,2则 g(x) =- + = ,1 22故 g(x)在 上单调递增,在2
10、,4上单调递减,所以当 x 时, g(x)max=g =ln 2-30,得 02,即函数 f(x)在( - ,0),(2,+ )上单调递减 . 函数 f(x)= 0 在 R 上恒成立, 当 x=0 时, f(x)min=f(0)=0,且函数 f(x)的零点个数只有一个 .当 x0 时, f(x)max=f(2)= ,则要使当 x0, t时, f(x)max= ,则 t 的最小值为 2.42 42综上, 正确 .答案 C11.(河北衡水中学 2018 届高三三轮复习)函数 f(x)= 的图象在点(e 2,f(e2)处的切线与直线 y=- x 平行,则 f(x)的极值点是 . 14解析 f(x)=
11、 ,(1)2故 f(e2)=- =- ,解得 a=1,14故 f(x)= ,f(x)= ,令 f(x)=0,解得 x=e.因为当 00,当 xe 时, f(x)1)的图象上,则实数 a 的取值范围是 . 解析 f(x)=6x2+6mx+3(m+n),因为 x1(0,1), x2(1, + ),所以 故 不等式表示的平面区域如图所示 .(0)0,(1)1, 12答案 (1,3)13.(2018 江西抚州 4 月质检)已知点 P 为函数 f(x)=ex的图象上任意一点,点 Q 为圆( x-e2-1)2+y2=1 上任意一点(e 为自然对数的底数),则线段 PQ 的长度的最小值为 . 解析 圆心 C
12、(e2+1,0),先求 |PC|的最小值 .设点 P 坐标为( t,et),因为 f(x)=ex,所以以点 P 为切点的切线方程为 y-et=et(x-t).当 PC 垂直切线时, et=-1e2t+t=e2+1,所以 t=1,此时点 P 坐标为(1,e) .函数 f(x)的图象上任意一点到圆心 C 的距离大于圆心 C 到切线的距离 ,所以 |PQ|的最小值为 e -1.答案 e -114.(2018 年河南省巩义市高中毕业班模拟考试试卷)若函数 f(x)=ax2+xln x 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 . 解析 因为函数 f(x)=ax2+xln x 有两个极值点,所以 f(x)=2ax+1+ln x=0 有两个不同的零点 .令 g(x)=2ax+1+ln x,则 g(x)=2a+ = ,12+1当 a0 时, g(x)0 在(0, + )上恒成立,则 g(x)在(0, + )上单调递增, g(x)=0 不可能有两个正根(舍去) .当 a0,得 0- ,12 12即 g(x)在 上单调递增,在 上单调递减,若 g(x)=2ax+1+ln x=0 有两个不同的正根,则 g =ln 0,解得 - a0.13答案 (12,0)
