1、1小专题(一) 平行线的性质与判定的综合应用平行线的性质:两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 .平行线的判定:同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行 .平行线的性质和判定常常结合在一起,在解决问题时,要注意观察图形,选择合适的方法和解题思路,由性质得到的结论可以当作判定的条件;反之,由判定的平行线也可以得到相关性质的结论 .类型 1 解决三角板问题1.(安徽中考)直角三角板和直尺如图放置 .若1 =20,则2 的度数为 (C)A.60 B.50 C.40 D.302.在一副三角板 ABC 和 CDE 中, B=30, E=45.(1)当 AB CD 时,如图 1,求 D
2、CB 的度数;(2)当 CD 与 CB 重合时,如图 2,判定 DE 与 AC 的位置关系,并说明理由;(3)如图 3,当 DCB 等于多少时, AB EC?解:(1) AB CD, DCB= ABC=30.(2)DE AC.理由略 .(3)AB EC, ABC= BCE=30,又 DCE=45, DCB= DCE- BCE=15, 当 DCB 等于 15时, AB EC.类型 2 解决拐点问题3.如图,已知1 =2,3 =4,试探究 AB 与 EF 的位置关系 .解: AB EF.2理由: 1 =2, AB CD. 3 =4, CD EF,AB EF.4.(1)问题发现如图 1,直线 AB
3、CD,E 是 AB 与 CD 之间的一点,连接 BE,CE,可以发现 B+ C= BEC.请把下面的证明过程补充完整:证明:过点 E 作 EF AB,AB DC(已知), EF AB(辅助线的作法),EF DC( 平行于同一直线的两直线平行 ), C= CEF( 两直线平行,内错角相等 ). EF AB, B= BEF(同理), B+ C= BEF+ CEF (等量代换), 即 B+ C= BEC.(2)拓展探究如果点 E 运动到图 2 所示的位置,其他条件不变,求证: B+ C=360- BEC.(3)解决问题如图 3,AB DC, C=120, AEC=80,求 A 的度数 .解:(2)过
4、点 E 作 EF AB,点 F 在点 E 的左侧 .AB DC,EF AB,EF DC, C+ CEF=180, B+ BEF=180, B+ C+ BEC=360, B+ C=360- BEC.(3)过点 E 作 EF AB,点 F 在点 E 的左侧 .AB DC,EF AB,EF DC, C+ CEF=180, A= AEF.3 C=120, AEC=80, CEF=60, AEF=20, A= AEF=20.类型 3 解决实际问题5.如图 1 是大众汽车的图标,图 2 是该图标抽象出的几何图形,且 AC BD, A= B,试猜想AE 与 BF 的位置关系,并说明理由 .解: AE BF.
5、理由: AC BD, A= DOE. A= B, DOE= B,AE BF.6.一辆货车在仓库装满货物准备运往超市,驶出仓库门口后开始向东行驶,途中向右拐了50角,接着向前行驶,走了一段路程后,又向左拐了 50角,如图所示 .(1)此时汽车和原来的行驶方向相同吗?你的根据是什么?(2)如果汽车第二次向左拐的角度是 40或 70,此时汽车和原来的行驶方向相同吗?你的根据是什么?解:(1)汽车和原来的行驶方向相同 .理由: AOO= AOB=50,OA OA.(2)汽车和原来的行驶方向不相同 .理由: 4050,7050,OA 不平行于 OA.4类型 4 解决几何探究问题7.如图, ABD 和 B
6、DC 的平分线相交于点 E,BE 的延长线交 CD 于点 F,1 +2 =90.试猜想:直线 AB,CD 在位置上有什么关系?2 和3 在数量上有什么关系?并证明你的猜想 .解: AB CD,2 +3 =90.理由: BE ,DE 分别平分 ABD, CDB, ABD=21, BDC=22 . 2 +1 =90, ABD+ CDB=180,AB CD, 3 = ABF. 1 = ABF,2 +1 =90, 2 +3 =90.8.已知点 A 在射线 CE 上, C= D.(1)如图 1,若 AC BD,求证: AD BC;(2)如图 2,若 BAC= BAD,BD BC,请探究 DAE 与 C
7、的数量关系,写出你的探究结论,并加以证明;(3)如图 3,在(2)的条件下,过点 D 作 DF BC 交射线 CE 于点 F,当 DFE=8 DAE 时,求 BAD的度数 .解:(1) AC BD, DAE= D,又 C= D, DAE= C,AD BC.(2) DAE+2 C=90.证明:在题图 2 中设 CE 与 BD 的交点为 G, CGB 是 ADG 的外角, CGB= D+ DAE,5BD BC, CBD=90, 在 BCG 中, CGB+ C=90, D+ DAE+ C=90,又 D= C, 2 C+ DAE=90.(3)如题图 3,设 DAE= ,则 DFE=8 , DFE+ AFD=180, AFD=180-8.DF BC, C= AFD=180-8 ,又 2 C+ DAE=90, 2(180-8 )+= 90,= 18, C=180-8= 36= ADB,又 C= ADB, BAC= BAD, ABC= ABD= CBD=45,12 在 ABD 中, BAD=180-45-36=99.
