1、126.2 等可能情形下的概率计算第 1 课时 简单随机事件的概率计算知识要点基础练知识点 1 概率的定义1.一般地,对任何随机事件 A,它的概率 P(A)满足 0P(A)1 ,必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 . 2.请举出一个概率是 1 的事件 太阳从东方升起(开放题,合理即可) . 3.抛掷一枚硬币,掷得“反面向上”的概率是 ,这个概率表示的意思是 多次抛掷一枚12硬币时,平均每 2 次可能出现一次反面向上 . 4.甲产品的合格率为 95%,乙产品的不合格率为 3%,丙产品的不合格率比甲产品的不合格率高,你认为 乙 产品最可靠 . 知识点 2 简单的概率计算5.盒子里有 3
2、 支红色笔芯、2 支黑色笔芯,每支笔芯除颜色外均相同 .从中任意拿出一支笔芯,则拿出黑色笔芯的概率是 (C)A. B. C. D.23 15 25 356.在一个不透明的袋子中装有 4 个红球和 3 个黑球,它们除颜色外其他均相同,从中任意摸出一个球,则摸出黑球的概率是 (B)A. B. C. D.17 37 47 57综合能力提升练7.某次抽奖活动中,中奖的概率是 ,那么它表示的意义是 (C)14A.抽 4 张奖券就有一次中奖B.抽出 3 张奖券后,第四张奖券一定中奖2C.平均每 4 张奖券有 1 张中奖D.100 张奖券中一定有 25 张中奖8.已知数据 ,-7,2.5, ,其中分数出现的
3、频率是 (B)13 5A.0.2 B.0.4C.0.6 D.0.89.从一副未曾启封的扑克牌中取出 1 张红桃,2 张黑桃的牌共 3 张,洗匀后,从这 3 张牌中任取 1 张牌恰好是红桃的概率是 (B)A. B. C. D.112 13 2310.如图,共有 12 个大小相同的小正方形,其中阴影部分的 5 个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 (A)A. B. C. D.47 37 27 1711.如图,由 6 个小正方形组成的 23 网格中,任意选取 5 个小正方形并涂黑,则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是
4、. 13提示:把第二行的任一正方形留白,其他 5 个正方形涂黑都能得到轴对称图形,有 2 种情况,一共有 6 种情况,则所求概率为 .26=1312.从 -1,2,3,-6 这四个数中任选两个,分别记作 m,n,那么点( m,n)在函数 y= 图象上的概率6x是 . 13313.袋子里有 2 个黑球,3 个白球,4 个红球,它们只有颜色上的区别,从袋子中随机取出一个球,你认为取出哪种颜色球的概率最大?为什么?解: P (黑) = ,P(白) = ,P(红) = , 取出红球的概率最大 .22+3+4=29 32+3+4=39 42+3+4=4914.现有 10 个大小、形状、质量完全相同的小球
5、,分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,请你利用这 10 个小球,设计一个摸球游戏,并求出其相应的概率 .本题是开放题,合理即可 .答案略 .15.在“妙手推推推”的游戏中,主持人出示了一个 9 位数,让参加者猜商品价格 .被猜的价格是一个 4 位数,也就是这个 9 位数中从左到右连在一起的某 4 个数字 .如果参与者不知道商品的价格,从这些连在一起的所有 4 位数中,任意猜一个,求他猜中该商品价格的概率 .258396417解:他猜中该商品价格的概率为 .1616.四张扑克牌的牌面如图 1 所示,将扑克牌洗匀后,如图 2 背面朝上放置在桌面上 .(1)若随机抽取一张扑克牌,
6、则牌面数字恰好为 5 的概率是 . 12(2)规定游戏规则如下:若同时随机抽取两张扑克牌,抽到两张牌的牌面数字之和是偶数,则甲胜;反之,则乙胜 .你认为这个游戏是否公平?请说明理由 .解:(2)不公平 .理由:随机抽取两张扑克牌,结果如下:(2,4),(2,5),(2,5),(4,5),(4,5),(5,5),所以 P(和为偶数) = ,P(和为奇数) = ,所以游戏不公平 .13 23417.一个口袋中放有 290 个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球,若红球个数是黑球个数的 2 倍多 40 个,从袋中任取一个球是白球的概率是 .129(1)求袋中红球的个数;(2)求从袋中任取一个球是黑
7、球的概率 .解:(1) P (从袋中任取一个球是白球) = ,129 袋中白球的个数为 290 =10(个) .129设袋中黑球的个数为 x,则袋中红球的个数为(2 x+40),根据题意,得(2 x+40)+x+10=290,解得 x=80, 2x+40=200.答:袋中红球的个数为 200.(2)P(从袋中任取一个球是黑球) = .80290=829拓展探究突破练18.如果任意选择一对有序整数( m,n),其中 |m|1, |n|3,每一对这样的有序整数对被选择的可能性是相等的,那么关于 x 的方程 x2+nx+m=0 有两个相等的实数根的概率是 . 17提示:由已知可得 m 的值为 0,1
8、,n 的值为 0,1,2,3,组成的有序整数( m,n)有 21 个 .而满足条件的有序整数( m,n)的值为(0,0),(1,2),(1, -2),即所求概率是 .321=17第 2 课时 列表法和画树状图法求概率知识要点基础练知识点 1 利用图形求概率51.如图所示是一块黑白相间的正方形地板(图中每块方砖除颜色外完全相同),一只小猫在上面自由地走来走去,并随意停留在某块方砖上,那么这只小猫停留在黑色方砖上的概率是 (A)A. B. C. D.1325 23 12 12252.用如图所示的转盘做转盘游戏,任意转动转盘,当转盘停止转动时,指针指向黄色区域的概率是 ,指针指向黑色区域的概率是 .
9、 16 13知识点 2 利用树状图或表格求概率3.掷两枚质地均匀的硬币,则两枚硬币全部正面朝上的概率等于 (C)A.1 B. C. D.012 144.某校举行以“激情五月,唱响青春”为主题的演讲比赛 .决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学,则甲、乙同学得前两名的概率是 (D)A. B. C. D.12 13 14 165.甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的 3 个扇形)做游戏,游戏规则:转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为奇数时乙获胜 .若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘,则甲获胜的概率是 (C)A. B. C. D.1
10、3 49 59 236综合能力提升练6.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形 .如图,是一块“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4.小明同学在距飞镖板一定距离处向飞镖板投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上),则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的概率是 (C)A. B. C. D.12 14 15 1107.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是 (B)A. B. C. D.45 35 25 158.在一个不透明的袋子里,有 2 个黑球和 1 个白球,除了颜色外
11、全部相同,任意摸两个球,摸到 1 黑 1 白的概率是 . 239.给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个打电话给甲的概率为 13. 10.有四张背面相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形(如图),小华将这4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张 .(1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果 .(纸牌可用 A,B,C,D 表示)(2)求摸出两张牌的牌面图形都是中心对称图形的概率 .解:(1)树状图如图:7(2)P(两张牌的图形都是中心对称图形) = .416=1411.小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏,每个转盘被分成
12、面积相等的几个扇形,转动两个转盘各一次,若两次指针所指数字之和小于 4,则小兰胜,否则小颖胜(指针指在分界线时重转) .这个游戏对双方公平吗?请说明理由 .答案图解:这个游戏对双方是公平的 .画树状图如图: 一共有 6 种情况,和小于 4 的有 3 种,P (和小于 4)= ,36=12 这个游戏对双方是公平的 .12.小利参加某网店的“翻牌抽奖”活动,4 张牌分别对应价值 5,10,20,50(单位:元)的 4 件奖品 .(1)如果随机翻 1 张牌,那么抽中 50 元奖品的概率为 . 14(2)如果随机翻 2 张牌,且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌,请用列表或画树状图的方法求出小强所获奖品总
13、值不低于 30 元的概率为多少?解:(2)画树状图如下:由树状图可知共有 12 种等可能结果,其中所获奖品总值不低于 30 元的有 8 种,所以所获奖品总值不低于 30 元的概率为 .812=23813.如图 , , 是三个可以自由转动的转盘 .(1)若同时转动 , 两个转盘,则两个转盘停下时指针所指的数字都是 2 的概率为 ; 14(2)甲、乙两人用三个转盘玩游戏,甲转动转盘,乙记录指针停下时所指的数字 .游戏规定:当指针所指的三个数字中有数字相同时,就算甲赢,否则就算乙赢 .请判断这个游戏是否公平,并说明你的理由 .解:(2)这个游戏不公平 .理由如下:画树状图如下:由图可知:共有 8 种
14、结果,且是等可能的,其中含有相同数字的结果有 6 种 .因此甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,所以这个游戏不公平 .68=34 28=14拓展探究突破练14.在复习反比例函数一课时,同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致 .小明认为如果两次分别从 16 六个整数中任取一个数,第一个数作为点 P(m,n)的横坐标,第二个数作为点P(m,n)的纵坐标,则点 P(m,n)在反比例函数 y= 的图象上的概率一定大于在反比例函数 y=12x的图象上的概率,而小芳却认为两者的概率相同 .你赞成谁的观点?6x(1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点 P(m,n)的情形;(2)分别求出点 P(m,n)在两个
15、反比例函数的图象上的概率,并说明谁的观点正确 .解:(1)画树状图得:9(2)由(1)知,一共有 36 种可能的结果,且每种结果出现的可能性相同,点(3,4),(4,3),(2,6),(6,2)在反比例函数 y= 的图象上,12x点(3,2),(2,3),(1,6),(6,1)在反比例函数 y= 的图象上,6x 点 P(m,n)在两个反比例函数的图象上的概率均为 ,436=19 小芳的观点正确 .第 3 课时 概率在实际生活中的应用知识要点基础练知识点 概率在实际生活中的应用1.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙所猜数字记为 b,且 a,b
16、 分别取 0,1,2,3,若 a,b 满足 |a-b|1,则称甲、乙两人“心有灵犀”,现任意找两人玩这个游戏,得出“心有灵犀”的概率为 . 582.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒,绿灯亮 25 秒,黄灯亮 5 秒,当你抬头看信号灯时,是红灯的概率为 . 123.全面二孩政策实施后,甲、乙两个家庭有了各自的规划,假定生男生女的概率相同,回答下列问题:(1)甲家庭已有一个男孩,准备再生一个孩子,则第二个孩子是女孩的概率是 ; 1210(2)乙家庭没有孩子,准备生两个孩子,求至少有一个孩子是女孩的概率 .解:(2)根据题意,画树状图如图:共有 4 种等可能的结果,其中至少有一个孩子是女
17、孩的结果数为 3,所以至少有一个孩子是女孩的概率为 .34综合能力提升练4.端午节放假期间,小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海(记为 A)、兴文石海(记为 B)、夕佳山民居(记为 C)、李庄古镇(记为 D)中的一个景点去游玩,他们各自在这四个景点中任选一个,每个景点被选中的可能性相同 .(1)小明选择去蜀南竹海旅游的概率为 . 14(2)求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率 .解:(2)列表如下:A B C DA(A,A) (B,A) (C,A) (D,A)B(A,B) (B,B) (C,B) (D,B)C(A,C) (B,C) (C,C) (D,C)D(A,D) (B,D) (C,D) (D,
18、D)共 16 种等可能情况,其中都选择去兴文石海的有 1 种,故小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率为 .116115.车辆经过润扬大桥收费站时,4 个收费通道 A,B,C,D 中,可随机选择其中的一个通过 .(1)一辆车经过此收费站时,选择 A 通道通过的概率是 ; 14(2)求两辆车经过此收费站时,选择不同通道通过的概率 .解:(2)设两辆车为甲、乙,画树状图如图:两辆车经过此收费站时,会有 16 种等可能的结果,其中选择不同通道通过的有 12 种, 选择不同通道通过的概率为 .1216=346.在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积
19、相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字) .游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于 12,则李燕获胜;若指针所指区域内两数之和等于 12,则为平局;若指针所指区域内两数和之大于 12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一区域内为止) .(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果;(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率 .解:(1)画树状图:12则两数之和共有 12 种等可能的结果 .(2) 由(1)可知,两数之和共有 12 种等可能的情况,其中和小于 12 的情况有 6 种,和大于 12的情况有 3
20、种, 李燕获胜的概率为 ;刘凯获胜的概率为 .612=12 312=147.为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按 A,B,C 三类分别装袋,投放,其中 A 类指废电池,过期药品等有毒垃圾, B 类指剩余食品等厨余垃圾, C 类指塑料,废纸等可回收垃圾 .甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类 .(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率;(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率 .解:(1)甲投放的垃圾恰好是 A 类的概率是 .13(2)画树状图如图所示:由图可知,共有 18 种等可能结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有 12 种,所以
21、 P= .1218=238.小王、小李和小林三人准备打乒乓球,他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场,三人手中各持有一枚质地均匀的硬币,同时将手中的硬币抛落到水平地面为一个回合 .落地后,三枚硬币中,恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场;若三枚硬币均为正面向上或反面向上,属于不能确定 .(1)请用树状图表示“抛硬币”一个回合所有可能出现的结果;(2)求一个回合能确定两人先上场的概率 .解:(1)画树状图如图:13(2)由(1)中的树状图可知,P(一个回合能确定两人先上场) = .68=34拓展探究突破练9.A,B,C 三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由 A 将球随机地传给 B,C 两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人 .(1)求两次传球后,球恰在 B 手中的概率;(2)求三次传球后,球恰在 A 手中的概率 .解:(1)画树状图: 共有 4 种等可能的结果,两次传球后,球恰在 B 手中的只有 1 种情况, 两次传球后,球恰在 B 手中的概率为 .14(2)画树状图: 共有 8 种等可能的结果,三次传球后,球恰在 A 手中的有 2 种情况, 三次传球后,球恰在 A 手中的概率为 .28=1414
