1、1二次函数章末小结与提升二次函数描述的关系 实际问题二次函数概念 二次函数 y=ax2的平移 上、下平移| k|个单位长度: y=ax2+k 左、右平移| h|个单位长度: y=a(x-h)2上、下平移| k|个单位长度,左、右平移| h|个单位长度: y=a(x-h)2+k二次函数 y=ax2+bx+c的图象及性质开口方向: a0,开口向上; a0 x -b2a时, y随 x的增大而增大x -b2a时, y随 x的增大而减小x0; 当 y0 时, x 的取值范围是 -1 x0,即 4ac0 时, x 的取值范围是 -10,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列图象之一,则 a 的
2、值是 (B)A.1 B.-1 C. D.-1- 52 -1+ 5232.在 -3 x0 范围内,二次函数 y1=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示 .在这个范围内,有结论:y 1有最大值 1、没有最小值;y 1有最大值 1、最小值 -3; 函数值 y1随 x 的增大而增大; 方程 ax2+bx+c=2 无解; 若 y2=2x+4,则 y1 y2.其中正确的个数是 (B)A.2 B.3 C.4 D.53.某篮球运动员身高 1.91 m,在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y=- x2+ 的一部分(如图),15 72若命中篮圈中心,则他与篮底的距离约为 (B)A.3.2 m B.4 m C.4
3、.5 m D.4.6 m4.我们知道,经过原点的抛物线的表达式可以是 y=ax2+bx(a0) .(1)对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时, a= -1 ; 当顶点坐标为( m,m),m0 时, a 与 m 之间的关系式是 a=- . 1m(2)继续探究,如果 b0,且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k0)上,请用含 k 的代数式表示 b.解:(2) a 0,y=ax 2+bx=a ,(x+b2a)2-b24a 顶点坐标是 .(-b2a,-b24a)4又 该顶点在直线 y=kx(k0)上,k =- .(-b2a) b24ab 0, b= 2k.类型 2 求二次函数的表达式典例 2
4、已知二次函数的顶点坐标为(2, -2),且其图象经过点(3,1),求此二次函数的表达式,并求出该函数图象与 y 轴的交点坐标 .【解析】设二次函数的表达式为 y=a(x-2)2-2,把(3,1)代入 y=a(x-2)2-2,得 a(3-2)2-2=1,解得 a=3,所以二次函数的表达式为 y=3(x-2)2-2,当 x=0 时, y=34-2=10,所以函数图象与 y 轴的交点坐标为(0,10) .【针对训练】1.某二次函数的最大值为 2,图象的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(2,1),则这个二次函数的表达式为 y=-x2+2x+1 . 2.(黄石中考)已知抛物线 y=a(x-1)
5、2过点(3,1), D 为抛物线的顶点 .(1)求抛物线的表达式;(2)若点 B ,C 均在抛物线上,且 BDC=90,求点 C 的坐标 .(0,14)解:(1)将点(3,1)代入表达式,得 4a=1,解得 a= ,14所以抛物线的表达式为 y= (x-1)2.145(2)由(1)知点 D 的坐标为(1,0),设点 C 的坐标为( x0,y0)(x01,y00),则 y0= (x0-1)2,14过点 C 作 CF x 轴于点 F, BOD= DFC=90, DCF+ CDF=90, BDC=90, BDO+ CDF=90, BDO= DCF, BDO DCF, ,BODO=DFCF ,化简得
6、,14= x0-114(x0-1)2 14= 4x0-1解得 x0=17,检验知 x0=17 是分式方程的解,此时 y0=64, 点 C 的坐标为(17,64) .类型 3 二次函数与一元二次方程典例 3 已知二次函数 y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数 m,这个二次函数的图象与 x 轴总有公共点;(2)若这个二次函数图象与 x 轴有两个公共点 A,B,且 B 点坐标为(1,0),求点 A 的坐标 .【解析】(1) = (-m)2-42(-m2)=m2+8m2=9m20,则对于任意实数 m,这个二次函数的图象与 x 轴总有公共点 .(2)由题意得 212-m-m2=0,解得 m1
7、=1,m2=-2,当 m=1 时,二次函数为 y=2x2-x-1,令 y=0,即 2x2-x-1=0,解得 x1=1,x2=- ,则点 A 的坐标为 ;12 (-12,0)当 m=-2 时,二次函数为 y=2x2+2x-4,令 y=0,即 2x2+2x-4=0,解得 x1=1,x2=-2,则点 A 的坐标为( -2,0),综上所述,点 A 的坐标为 或( -2,0).(-12,0)6【针对训练】1.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列说法错误的是 (D)A.图象关于直线 x=1 对称B.函数 y=ax2+bx+c(a0)的最小值是 -4C.-1 和 3 是方程 ax2
8、+bx+c=0(a0)的两个根D.当 x 0;b 2-4ac0; 9a-3b+c=0; 若点( -0.5,y1),(-2,y2)均在抛物线上,则 y1y2; 5a-2b+c0)经过原点 O 和点 A(2,0).(1)写出抛物线的对称轴与 x 轴的交点坐标;(2)点( x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若 x1y2.(3)点 C 的坐标为(3,2),设直线 AC 的关系式为 y=kx+m(k0),则 2k+m=0,3k+m=2,解得 所以直线 AC 的函数关系式为 y=2x-4.k=2,m= -4,类型 4 利用二次函数解决实际问题典例 4 (青岛中考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成
9、,长方形的长是 12 m,宽是 4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用 y=- x2+bx+c 表示,且抛物线的点 C 到16墙面 OB 的水平距离为 3 m 时,到地面 OA 的距离为 m.172(1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离 .(2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为 6 m,宽为 4 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过 8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?8【解析】(1)根据题意得 B(0,4),C ,代入 y=- x2+bx+c
10、,得(3,172) 16解得 所以抛物线的表达式为 y=- x2+2x+4,c=4,-1632+3b+c=172, b=2,c=4, 16即 y=- (x-6)2+10,所以 D 点的坐标为(6,10),16所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m.(2)由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为(2,0)或(10,0),当 x=2 或 x=10 时, y= 6,所以这辆货车能安全通过 .223(3)令 y=8,则 - (x-6)2+10=8,解得 x1=6+2 ,x2=6-2 ,则 x1-x2=4 ,16 3 3 3所以两排灯的水平距离最小是 4 m.3【针对训练】1.竖直上抛的小球离
11、地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔 1 秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后 1.1 秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后 t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则 t= 1.6 . 2.如图有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位时 AB 宽 20 m,水位上升 3 m 就达到警戒线CD,这时水面宽度为 10 m.(1)在如图的坐标系中求抛物线的表达式 .(2)若洪水到来时,水位以每小时 0.2 m 的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到拱桥顶?解:(1)设抛物线的表达式为 y=ax2.由题意设 D(5,h),则 B(10,h-3),把
12、 B,D 的坐标代入 y=ax2,得 解得 a=- ,h=-1,h=25a,h-3=100a, 1259 抛物线的表达式为 y=- x2.125(2)D (5,-1), 此时水面离拱桥顶距离为 1 米 . 从警戒线开始,再持续 t= =5 小时,才能到拱桥顶 .10.23.(衢州中考)某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心 3 米处达到最高,高度为 5 米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合 .如图所示,以水平方向为 x 轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系 .(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(
13、2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到 32 米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 .解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y=a(x-3)2+5(a0),将(8,0)代入 y=a(x-3)2+5,得 25a+5=0,解得 a=- ,15 水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y=- (x-3)2+5(0x8).15(2)当 y=1.8 时,有 - (x-3)2+5=1.8,解得 x1=-1,x2=7,15 为了不被淋湿,身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内 .(3)当 x=0 时, y=- (x-3)2+5= .15 16510设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y=- x2+bx+ .15 165 该函数图象过点(16,0), 0=- 162+16b+ ,解得 b=3,15 165 改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y=- x2+3x+ =- ,15 165 15(x-152)2+28920 扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米 .28920
