1、110 平行与垂直的证明1.下列条件中,能判断平面 的是( ). 存在一条直线 a,a ,a ; 存在两条异面直线 a,b,a ,b ,a ,b ; 内存在不共线的三点到 的距离相等;l ,m 是两条异面直线,且 l ,m ,l ,m .A. B.C. D.解析 中两平面可能相交,故选 B.答案 B2.给出下列四个命题,其中假命题的个数是( ). 垂直于同一条直线的两条直线平行; 垂直于同一个平面的两个平面互相平行; 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直; 两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线,此直线必垂直于另一个平面 .A.1 B.2 C.3 D.
2、4解析 错,可以相交; 错,可以相交、平行; 正确; 错,直线在平面内才垂直,否则不垂直 .故选 C.答案 C3.设 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ).A.若 ,m ,n ,则 m nB.若 m ,m n,n ,则 C.若 m n,m ,n ,则 D.若 ,m ,n ,则 m n解析 若 ,m ,n ,则 m 与 n 相交、平行或异面 ,故 A 错误;2m ,m n,n ,又 n , ,故 B 正确;若 m n,m ,n ,则 或 与 相交,故 C 错误;若 ,m ,n ,则 m n 或 m 与 n 异面,故 D 错误 .故选 B.答案 B4.在正方
3、体 ABCD-A1B1C1D1中,与 AD1异面且与 AD1成 60的面对角线共有 条 . 解析 与 AD1异面的面对角线有 A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,共 5 条,其中与 B1C 成 90,其余成 60.答案 4能力 1 能准确判断点、线、面的位置关系【例 1】 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, CA=CB,点 M,N 分别是 AB,A1B1的中点 .(1)求证: BN平面 A1MC.(2)若 A1M AB1,求证: AB1 A1C.解析 (1)因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 AB A1B1,且 AB=A1B1.又点 M,N 分别是AB,A1B1的中点,所以
4、 MB=A1N,且 MB A1N.所以四边形 A1NBM 是平行四边形,从而 BN A1M,又BN平面 A1MC,A1M平面 A1MC,所以 BN平面 A1MC.(2)因为 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 AA1底面 ABC,而 AA1侧面 ABB1A1,所以侧面 ABB1A1底面 ABC.又 CA=CB,且 M 是 AB 的中点,所以 CM AB.则由侧面 ABB1A1底面 ABC,侧面 ABB1A1底面 ABC=AB,CM AB,且 CM底面 ABC,得CM侧面 ABB1A1.3又 AB1侧面 ABB1A1,所以 AB1 CM.又 AB1 A1M,A1M,MC平面 A1MC,且 A1
5、M MC=M,所以 AB1平面 A1MC.又 A1C平面 A1MC,所以 AB1 A1C.正确运用平面的基本性质,线线、线面平行或垂直等性质定理和判定定理进行判断 .如图所示, AB 为 O 的直径,点 C 在 O 上(不与 A,B 重合), PA平面 ABC,点 E,F 分别为线段 PC,PB 的中点 .G 为线段 PA 上(除点 P 外)的一个动点 .(1)求证: BC平面 GEF.(2)求证: BC GE.解析 (1)因为点 E,F 分别为线段 PC,PB 的中点,所以 EF CB,又 EF平面 GEF,点 G不与点 P 重合, CB平面 GEF,所以 BC平面 GEF.(2)因为 PA
6、平面 ABC,CB平面 ABC,所以 BC PA.又因为 AB 是 O 的直径,所以BC AC.又 PA AC=A,所以 BC平面 PAC,且 GE平面 PAC,所以 BC GE.能力 2 能正确运用线线、线面平行与垂直的性质定理及判定定理解题【例 2】 如图,在梯形 ABCD 中, BAD= ADC=90,CD=2,AD=AB=1,四边形 BDEF 为正方形,且平面 BDEF平面 ABCD.(1)求证: DF CE.(2)若 AC 与 BD 相交于点 O,则在棱 AE 上是否存在点 G,使得平面 OBG平面 EFC?并说明理由 .4解析 (1)连接 EB. 在梯形 ABCD 中, BAD=
7、ADC=90,AB=AD=1,DC=2,BD= ,BC= ,2 2BD 2+BC2=CD2,BC BD.又 平面 BDEF平面 ABCD,平面 BDEF平面 ABCD=BD,BC平面 ABCD,BC 平面 BDEF,BC DF.又 在正方形 BDEF 中, DF EB 且 EB,BC平面 BCE,EB BC=B,DF 平面 BCE.CE 平面 BCE,DF CE.(2)在棱 AE 上存在点 G,使得平面 OBG平面 EFC,且 = .证明如下:AGGE12 在梯形 ABCD 中, BAD= ADC=90,AB=1,DC=2,AB DC, = = .AOOCABDC12又 = ,OG CE.AG
8、GE12 在正方形 BDEF 中, EF OB,且 OB,OG平面 EFC,EF,CE平面 EFC,OB 平面EFC,OG平面 EFC.OB OG=O,且 OB,OG平面 OBG, 平面 OBG平面 EFC.高考中立体几何部分不断出现了一些具有探索性、开放性的试题,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法等方法来解决 .如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)证明: PA BD.(2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值 .解析 (1) DAB=60,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= AD
9、,BD 2+AD2=AB2,BD AD.35又 PD 平面 ABCD,BD PD,BD 平面 PAD,PA BD.(2)如图,以 D 为坐标原点, AD 的长为单位长, , , 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立DADBDP空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(0, ,0),P(0,0,1),C(-1, ,0),3 3 =(-1, ,0), =(0, ,-1), =(-1,0,0).AB 3 PB 3 BC设平面 PAB 的法向量为 n=(x1,y1,z1),则 即 取 y1=1,nAB=0,nPB=0, -x1+ 3y1=0,3y1-z1=0, 则 x1= ,z1= , 3
10、 3n= ( ,1, ).3 3设平面 PBC 的法向量为 m=(x2,y2,z2),则 即 取 y2=-1,则mBC=0,mPB=0, -x2=0,3y2-z2=0,x2=0,z2=- ,3m= (0,-1,- ),cos= =- , 3-427 277易知二面角 A-PB-C 为钝角,故二面角 A-PB-C 的余弦值为 - .277能力 3 能求解线线角、线面角、面面角【例 3】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA=PD=AD=2CD=2BC=2,且 ADC= BCD=90.(1)当 PB=2 时,证明:平面 PAD平面 ABCD;(2)当四棱锥 P-ABCD 的体积为 ,且二面角
11、P-AD-B 为钝角时,求直线 PA 与平面 PCD 所成34角的正弦值 .解析 (1)取 AD 的中点 O,连接 PO,BO,6 PAD 为正三角形, OP AD. ADC= BCD=90,BC AD.BC= AD=1,BC=OD ,12 四边形 BCDO 为矩形, OB=CD= 1.又在 POB 中, PO= ,OB=1,PB=2,PO2+OB2=PB2,3 POB=90,PO OB.AD OB=O,PO 平面 ABCD,又 PO 平面 PAD, 平面 PAD平面 ABCD.(2)AD PO,AD OB, PO BO=O,PO,BO平面 POB,AD 平面 POB.AD 平面 ABCD,
12、平面 POB平面 ABCD, 过点 P 作 PE平面 ABCD,垂足 E 一定落在平面 POB 与平面 ABCD 的交线 BO 的延长线上 . 四棱锥 P-ABCD 的体积为 ,34V P-ABCD= PE (AD+BC)CD= PE (2+1)1= PE= ,PE= .13 12 13 12 12 34 32PO= ,3OE= = = .PO2-PE2 3-94 32如图,以 O 为坐标原点, , 的方向为 x 轴, y 轴的正方向,平面 POB 内过点 O 垂直于平OAOB面 AOB 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,7由题意可知 A(1,0,0),P ,D(-1,0,0)
13、,C(-1,1,0),(0,-32,32)= , =(0,1,0), = .DP(1,-32,32)DC PA(1,32,-32)设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 得nDP=0,nDC=0, x- 32y+32z=0,y=0, 令 x=1,则 z=- ,n= .23 (1,0,-23)设直线 PA 与平面 PCD 所成的角为 ,则 sin =| cos|= = = .PA|PAn|PA|n| 2213331313故直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .31313求异面直线所成角,直线与平面所成角以及二面角的问题,可先作出该角,再证明所作角为所求的角,最后转化在三角形
14、内求解 .空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两相交直线垂直法向量且数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)求出相应角的正弦值或余弦值和距离 .如图,已知在矩形 ABCD 中, AB=2AD=2,M 是 DC 的中点,以 AM 为折痕,使得 DC=DB.(1)求 AD 与 BM 所成的角;(2)当 N 为 BD 的中点时,求 AN 与平面 ABCM 所成角的正弦值 .解析 (1)因为在矩形中, AB=2AD=2,M 为 DC 的中点,所以
15、 AM=BM= ,所以 BM AM.2取 AM 的中点 O,连接 DO,又 DA=DM,所以 DO AM.取 BC 的中点 H,连接 OH,DH,则 OH AB,所以 OH BC.因为 DC=DB,所以 BC DH.8又 DH OH=H,所以 BC平面 DOH,所以 BC DO,所以 DO平面 ABCM,又 DO平面 ADM,所以平面 ADM平面 ABCM.因为平面 ADM平面 ABCM=AM,BM平面 ABCM,AM BM,所以 BM平面 ADM.因为 AD平面 ADM,所以 AD BM,即 AD 与 BM 所成角的大小为 90.(2)如图,作 NP OB 交 OB 于点 P,连接 AP,由
16、(1)可知, NAP 为所求角 .因为 N 为中点,所以 NP= DO= .12 24又 DH2=DO2+OH2,所以 DH= ,DB= .112 3又因为 DB2+AD2=AB2,所以 ADB=90,所以在直角三角形 ADB 中, AN= = = .AD2+DN2 12+(32)2 72故所求角的正弦值为 = .NPAN1414能力 4 能求解线面平行与垂直的综合问题【例 4】 在如图所示的多面体 ABEDC 中,已知 AB DE,AB AD, ACD 是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC= , F 是 CD 的中点 .5(1)求证: AF平面 BCE.(2)求证:平面 BCE平面 CD
17、E.(3)求点 D 到平面 BCE 的距离 .解析 (1)取 CE 的中点 M,连接 BM,MF,利用三角形的中位线,得 MF AB,MF=AB,即四边形 ABMF 为平行四边形, MB AF.BM 平面 BCE,AF平面 BCE,AF 平面 BCE.9(2) ACD 是正三角形,AC=AD=CD= 2,在 ABC 中, AB=1,AC=2,BC= ,5AB 2+AC2=BC2,故 AB AC,DE AC.又 DE AD,AC AD=A,DE 平面 ACD,DE AF.又 AF CD,由(1)得 BM AF,DE BM, BM CD,DE CD=D,BM 平面 CDE,BM平面 BCE, 平面
18、 BCE平面 CDE.(3)连接 DM,DE=DC ,DM CE.由(2)知,平面 BCE平面 CDE,DM 平面 BCE,DM 为点 D 到平面 BCE 的距离, DM= ,2 点 D 到平面 BCE 的距离为 .2立体几何中往往涉及垂直关系、平行关系、距离、体积的计算 .在计算问题中,常用“几何法” .利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,熟悉空间中点线、面的位置关系及判定方法,掌握体积、距离的求法,灵活使用面面垂直、线面垂直等性质定理 .如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA AD,AB CD,CD AD,AD=CD=2AB=2,E,F 分别为 PC,CD 的中点, DE=E
19、C.10(1)求证:平面 ABE平面 BEF.(2)设 PA=a,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 ,求 a 的取值范围 . 4, 3解析 (1)AB CD,CD AD,AD=CD=2AB=2,F 为 CD 的中点, 四边形 ABFD 为矩形, AB BF.DE=EC ,DC EF,又 AB CD,AB EF.BF EF=F,AB 平面 BEF,又 AB平面 ABE, 平面 ABE平面 BEF.(2)DE=EC ,DC EF.又 PD EF,AB CD,AB PD.CD AD,AB AD,又 AD PD=D,AB 平面 PAD,AB PA.以 为 x 轴的正方向, 为 y 轴的正
20、方向, 为 z 轴的正方向,AB AD AP建立如图所示的空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E .(1,1,a2)设平面 BCD 的一个法向量为 n1=(0,0,1),可求得平面 EBD 的一个法向量为 n2=(2a,a,-2),则 cos = ,可得 a .|-25a2+4| 12,22 255,2155一、选择题111.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,给出以下四个结论,错误的是( ).A.直线 D1C平面 A1ABB1B.直线 A1D1与平面 BCD1相交C.直线 AD 不与平面 D1DB 垂直D.平面 BCD1平面 A1A
21、BB1解析 因为 D1C A1B,D1C平面 A1ABB1,所以 A 正确;因为直线 A1D1在平面 BCD1内,所以 B 错误;因为 AD 与 BD 不垂直,所以 C 正确;因为 BC平面 ABB1A1,BC平面 D1BC,所以 D 正确 .故选 B.答案 B2.已知 a,b 是直线, 是平面,下列说法正确的是( ).A.若 a b,则 a 平行于经过 b 的任何平面B.若 a ,则 a 与 内任何直线平行C.若 a 不平行于 ,则 内不存在与 a 平行的直线D.若 a b,a ,b ,则 b 解析 A 错,不能平行 a,b 所构成的平面;B 错,存在异面情况;C 错, a 可以在平面 内,
22、这样就找得到直线平行;D 对 .故选 D.答案 D3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,二面角 D1-AC-B 的余弦值是( ).A. B.-63 63C. D.-33 33解析 连接 BD,交 AC 于 O,连接 D1O,易知 D1OB 为所求二面角的平面角 .在 Rt D1DO中,求得 D1OB 的补角的余弦值为 ,所以选 D.33解析 D4.已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形, PA平面 ABC,PA=AB,则直线 PD 与平面 ABC 所成角的正切值为( ).12A.2 B. C. D.12 2 22解析 如图, PD 与平面 ABC 所成角为 PDA,在 Rt PA
23、D 中, AD=2PA,所以 tan PDA= =PAAD,故选 B.12答案 B5.设 , , 是三个不同的平面, a,b,c 是三条不同的直线,下列四个命题正确的是( ).A.若 a ,b ,a b,则 B.若 a ,b , =c ,a ,b ,则 a bC.若 , ,则 或 D.若 a b,a c,b ,c ,则 a 解析 A 错,两个平面可以相交;C 错,两个平面可以相交;D 错, a 可以与平面相交或在平面内,故选 B.答案 B6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, AB=2 ,过直线 B1D1的平面 平面 A1BD,则平面 6截该正方体所得的截面的面积为( ).A.6
24、B.126 6C.12 D.183 2解析 如图,设 B1D1 A1C1=F,AA1的中点为 E,连接 EF,由中位线定理得 EF AC1,由正方体的性质可知, AC1 BD,AC1 A1D,又 BD A1D=D,所以 AC1平面 A1BD,进而 EF平面 A1BD.因13为 EF平面 EB1D1,所以平面 EB1D1平面 A1BD,所以平面 EB1D1就是所求的平面 , = 4 3 =6 .故答案为 6 .S EB1D112 3 2 6 6答案 A7.在矩形 ABCD 中, AB=4,BC=3,沿 AC 将 ABC 折起,当平面 ABC平面 ACD 时,四面体 ABCD 的外接球的体积是(
25、).A. B. 12512 1259C. D. 1256 1253解析 设矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 的交点为点 O,由矩形的性质结合题意可知, OA=OB=OC=OD= = .12 32+4252在翻折过程中 OA,OB,OC,OD 长度不变,据此可知点 O 为球心,外接球的半径 R=OA= ,外接球的体积 V= R3= = .故选 C.52 43 43 1258 1256答案 C8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, DAB=60,PD平面 ABCD,PD=AD=2,点 E为 AB 的中点,则点 A 到平面 PEC 的距离为( ).A. B.1510 30
26、10C. D.55 105解析 设点 A 到平面 PEC 的距离为 d.连接 ED,取 PC 的中点 Q,连接 EQ,AC.由题意知,在 EBC 中,EC= EB2+BC2-2EBBCcosEBC= = ,1+4+21212 714在 PDE 中, PE= = ,PD2+DE2 7在 PDC 中, PC= =2 ,故 EQ PC,可得 EQ= ,PD2+CD2 2 5S PEC= 2 = ,12 2 5 10S AEC= 1 = ,12 3 32所以由 VA-PEC=VP-AEC,得 d= 2,13 10 13 32解得 d= ,故选 B.3010答案 B9.已知 ABC 的顶点 A平面 ,点
27、 B,C 在平面 同侧,且 AB=2,AC= ,若 AB,AC 与 所3成的角分别为 , ,则线段 BC 长度的取值范围为( ). 3 6A.2- ,1 B.1, 3 7C. , D.1, 7 7+2 3 7+2 3解析 如图,过点 B,C 作平面 的垂线,垂足分别为 M,N,则四边形 BMNC 为直角梯形 .在平面 BMNC 内,过点 C 作 CE BM,交 BM 于点 E.又因为BM=2sin BAM=2sin = ,AM=2cos =1,CN= sin CAN= sin = ,AN= cos = , 3 3 3 3 3 6 32 3 632所以 BE=BM-CN= ,故 BC2=MN2+
28、 .32 34又因为 AN-AM MN AM+AN,即 MN ,12 5215所以 1 BC27,即 1 BC ,故选 B.7答案 B二、填空题10.在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AD= AA1,AC,BD 交于点 O,则 D1O 与平面 A1B1C1D1所成的6角为 . 解析 由上下两平面平行,易知 D1OD 为所求角 .设 AA1=1,则 AD= AA1= ,底面是6 6正方形,所以 DO= ,tan D1OD= = = ,故所成的角为 30.3DD1DO13 33答案 3011.若一个 n 面体中有 m 个面是直角三角形,则称这个 n 面体的直度为 ,如图,在长方体mnAB
29、CD-A1B1C1D1中,四面体 A1-ABC 的直度为 . 解析 由长方体易知 A1AB, A1BC, ABC, A1AC 为直角,所以四个面都是直角三角形,故直度为 1.答案 112.如图,在正方形 ABCD 中, EF AB,若沿 EF 将正方形折成一个二面角后,AEEDAD= 1 1 ,则 AF 与 CE 所成角的余弦值为 . 2解析 折后有 AEDEAD= 1 1 ,2DE AE.由题意得 DE EF,AE EF,如图,建立空间直角坐标系,设 AB=EF=CD=2,16则 E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1), =(-1,2,0), =(0,2,1)
30、,AF EC cos= ,AF 与 CE 所成角的余弦值为 .AFEC45 45答案 45三、解答题13.在如图所示的多面体 ABEDC 中, AB平面 ACD,DE平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1,G 为AD 的中点 .(1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得直线 BF平面 ACD,并给予证明;(2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小;(3)求点 G 到平面 BCE 的距离 .解析 以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别经过点 A 和点 E, 则各点的坐标为 D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,
31、2),B (2,0,1),C(1, ,0),3(1)当点 F 是线段 CE 的中点时, BF平面 ACD,证明如下: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 , = , (12,32,1) BF(-32,32,0)显然 与平面 xDy 平行, BF 平面 ACD.BF(2)设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n ,且 n .CB CE又 =(1,- ,1), =(-1,- ,2), CB 3 CE 317 不妨设 y= ,则x- 3y+z=0,-x- 3y+2z=0, 3 x=1,z=2,即 n=(1, ,2),3取平面 ACD 的一个法向量为(0,0,1), 所求角 满足 cos = = = ,= .n(0,0,1)|n| 2221 22 4(3) 点 G 的坐标为(1,0,0), =(-1,0,-1),BG由(2)可知平面 BCE 的一个法向量为 n=(1, ,2),3 所求距离 d= = = .|BGn|n|-1-2|22 324
