1、1第三节 导数与函数的极值、最值A组 基础题组1.函数 f(x)= x3-4x+4的极大值为( )13A. B.6 C. D.7283 263答案 A f (x)=x 2-4=(x+2)(x-2),令 f (x)=0,得 x=-2或 x=2,则 f(x)在(-,-2)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以 f(x)的极大值为 f(-2)= .2832.函数 y= 在0,2上的最大值是( )xexA. B. C.0 D.1e 2e2 12e答案 A 易知 y= ,令 y0,得 0x0时,令 f (x)=0,得 x= ,当 x变化时, f (x)与 f(x)的变化情况如
2、下表:ax (-,- )a - a (- , )a a a ( ,+)a2f (x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 因为函数 f(x)在区间(-1,2)上仅有一个极值点,所以 或 解得 1a -1,2 a, 6.函数 f(x)=aex-sin x在 x=0处有极值,则 a的值为 . 答案 1解析 f (x)=ae x-cos x,若函数 f(x)=aex-sin x在 x=0处有极值,则 f (0)=a-1=0,解得 a=1,经检验,a=1 符合题意.7.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3bx+c在 x=2处有极值,其图象在 x=1处的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则
3、f(x)的极大值与极小值之差为 . 答案 4解析 f (x)=3x 2+6ax+3b,由题意得 322+6a2+3b=0,312+6a1+3b= -3 a= -1,b=0. 所以 f (x)=3x2-6x,令 3x2-6x=0,则 x=0或 x=2,所以 f(x)在(-,0)和(2,+)上递增,在(0,2)上递减,所以 f(x)极大值 -f(x)极小值 =f(0)-f(2)=4.8.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值 3,那么此函数在-2,2上的最小值为 . 答案 -37解析 由题意知, f (x)=6x 2-12x,令 f (x)=0,得 x=0或 x=2,当
4、-20,当 03时,g(x)0.于是函数 g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,3)上单调递增,在(3,+)上单调递减.所以函数 g(x)在 x=0处取得极小值 g(0)=-3,在 x=3处取得极大值 g(3)=15e-3.10.已知函数 f(x)=excos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值.0,2解析 (1)因为 f(x)=excos x-x,所以 f (x)=ex(cos x-sin x)-1, 则 f (0)=0.又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为 y=1.
5、(2)设 h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则 h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当 x 时,h(x)0,0,2所以 h(x)在区间 上单调递减.0,2所以对任意 x 有 h(x)h(0)=0,即 f (x)0.0,2所以函数 f(x)在区间 上单调递减.0,2因此 f(x)在区间 上的最大值为 f(0)=1,最小值为 f =- .0,2 (2) 2B组 提升题组1.(2019广西南宁模拟)已知函数 f(x)=ln x-x-1,g(x)=xf(x)+ x2+2x.12(1)求 f(x)的单调区间;(2)若函数 g(x)在区间(m,
6、m+1)(mZ)内存在唯一的极值点,求 m的值.解析 (1)由已知得 x0,f (x)= -1= .1x 1-xx由 f (x)0,得 01.所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)因为 g(x)=xf(x)+ x2+2x=x(ln x-x-1)+ x2+2x=xln x- x2+x,12 12 12则 g(x)=ln x+1-x+1=ln x-x+2=f(x)+3.由(1)可知,函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.又 g =-2- +2=- 0,(1e2) 1e2 1e2所以 g(x)在(0,1)上有且只有一个零点,记为 x1.
7、又在(0,x 1)上 g(x)0,g(x)在(x 1,1)上单调递增.所以 x1为极值点,此时 m=0.又 g(3)=ln 3-10,g(4)=2ln 2-20,g(x)在(3,x 2)上单调递增;在(x 2,4)上 g(x)0时,若 f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求 a的取值范围.解析 (1)当 a=1时,f(x)=x 2-3x+ln x(x0),所以 f (x)=2x-3+ = ,1x2x2-3x+1x所以 f (1)=0.又 f(1)=-2,所以切线方程为 y=-2.(2)函数 f(x)=ax2-(a+2)x+ln x的定义域为(0,+),f (x)=2ax-(a+2)+ = = ,1x2ax2-(a+2)x+1x (2x-1)(ax-1)x令 f (x)=0,解得 x= 或 x= .12 1a当 0 1,即 a1 时,f(x)在1,e上单调递增.1a所以 f(x)在1,e上的最小值为 f(1)=-2,符合题意;5当 1 e,即 a1时,f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以 f(x)在1,e上的最小值为 f f(1)1a 1e 1,1a 1a,e (1a)=-2,不符合题意;当 e,即 0a 时,f(x)在1,e上单调递减,1a 1e所以 f(x)在1,e上的最小值为 f(e)f(1)=-2,不符合题意.综上,实数 a的取值范围是1,+).
