1、1第二节 导数与函数的单调性A 组 基础题组1.下列函数在(0,+)上为增函数的是( )A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x答案 B 对于 A,易得 f(x)=sin 2x 的单调递增区间为 (kZ);对于 B, f (x)=ex(x+1),k - 4,k + 4当 x(0,+)时, f (x)0,函数 f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于 C, f (x)=3x2-1,令 f (x)0,得 x或 x0,得 00, f(x)为增函数;当 x(0,2)时, f (x)0, f(x)为增函数.故选 C.3.若函数 f(x)=x
2、3-tx2+3x 在区间1,4上单调递减,则实数 t 的取值范围是( )A. B.(-,3 C. D.3,+)(-,518 518,+ )答案 C f (x)=3x 2-2tx+3,由于 f(x)在区间1,4上单调递减,则有 f (x)0 在1,4恒成立,即 3x2-2tx+30 在1,4上恒成立,则 t 在1,4上恒成立,易知 y= 在1,4上单调递增,所以32(x+1x) 32(x+1x)t = .故选 C.32 (4+14)5184.已知函数 f(x)=xsin x,xR,则 f , f(1), f 的大小关系为( )( 5) (- 3)A. f f(1)f(- 3) ( 5)B. f(
3、1)f f(- 3) ( 5)2C. f f(1)f( 5) (- 3)D. f f f(1)(- 3) ( 5)答案 A 因为 f(x)=xsin x,所以 f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),所以函数 f(x)是偶函数,所以 f =f .(- 3) ( 3)又 x 时, f (x)=sin x+xcos x0,所以此时函数是增函数.(0, 3)所以 f f(1)f .故选 A.(- 3) ( 5)5.设函数 f(x)= x2-9ln x 在区间a-1,a+1上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )12A.(1,2 B.(4,+)C.(-,2) D.(0,3答案 A
4、 f(x)= x2-9ln x,12f (x)=x- (x0).9x当 x- 0 时,有 00 且 a+13,解得 10, f(x)单调递增,所以由1xf(x2+2)0,g(x)单调递增,当 xln 2 时,g(x)0),12f (x)=x-5+ = .6x(x-2)(x-3)x令 f (x)=0,解得 x=2 或 x=3.当 03 时, f (x)0;当 20,故 f(x)在(0,+)上单调递增;当 a1 时,由 f (x)=ex-a=0,得 x=ln a,当 0ln a 时,f (x)0,f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.综上,当 a1 时, f(x)在(
5、0,+)上单调递增;当 a1 时, f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.B 组 提升题组1. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数, f (x)为其导函数,若对于任意实数 x,有 f(x)-f (x)0,则( )A.ef(2 015)f(2 016)B.ef(2 015)0,所以 g(x)g(2 016),即 ,所以 ef(2 015)f(2 016),故选 A.f(2015)e2015f(2016)e20162.函数 f(x)的定义域为 R. f(-1)=2,对任意 xR, f (x)2,则 f(x)2x+4 的解集为 . 答案 (-1,+)解析 设
6、g(x)=f(x)-2x-4,则 g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,g(x)=f (x)-20,则 g(x)为增函数.解 g(x)0,即 g(x)g(-1),得 x-1.3.(2019 湖南郴州模拟)已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在区间t,t+1上不单调,求 t 的取值范围.12解析 由题意知 f (x)=-x+4- =- ,易知函数 f(x)的两个极值点为 1 和 3,3x (x-1)(x-3)x则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间t,t+1上就不单调.5由 t0.讨论 f(x)的单调性.2x解析 由题意知, f(x)的定义域是(0
7、,+),f (x)=1+ - = .2x2axx2-ax+2x2设 g(x)=x2-ax+2,x2-ax+2=0 的判别式 =a 2-8.当 0 都有 f (x)0.2此时 f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当 =0,即 a=2 时, f (x)0.此时 f(x)是(0,+)上的单调递增函数.2当 0,即 a2 时,方程 g(x)=0 有两个不同的实根,分别为 x1= ,x2= ,且 0x1x2.2a- a2-82 a+ a2-82f(x), f (x)随 x 的变化情况如下表:x (0,x1) x1(x1,x2)x2(x2,+)f (x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 此时 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增.(0,a- a2-82 ) (a- a2-82 ,a+ a2-82 ) (a+ a2-82 ,+ )
