1、1课时规范练 50 抛物线基础巩固组1.(2018山东春季联考)已知抛物线 x2=ay(a0)的焦点为 F,准线为 l,该抛物线上的点 M到 x轴的距离为 5,且 |MF|=7,则焦点 F到准线 l的距离是( )A.2 B.3 C.4 D.52.O为坐标原点, F为抛物线 C:y2=4 x的焦点, P为抛物线 C上一点,若 |PF|=4 ,则 POF的面积2 2为 ( )A.2 B.2 C.2 D.42 33.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点 F是抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点, O为坐标原点,若以 F为圆心, |FO|为半径的圆与直线 x-y+3=0相切,则抛物线 C的方程为(
2、 )3A.x2=2y B.x2=4yC.x2=6y D.x2=8y4.(2018广东江门一模,10) F是抛物线 y2=2x的焦点,点 P在抛物线上,点 Q在抛物线的准线上,若=2 ,则 |PQ|=( )A. B.4 C. D.35.(2018湖南师范大学附属中学三模,11)已知 F为抛物线 C:y2=4x的焦点,过 F的直线 l与抛物线C相交于 A,B两点,线段 AB的垂直平分线交 x轴于点 M,垂足为 E,若 |AB|=6,则 |EM|的长为( )A.2 B. C.2 D.2 6 36.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线 C:y2=2px(p0),焦
3、点为 F,直线 y=x与抛物线 C交于 O,A两点( O为坐标原点),过 F作直线 OA的平行线交抛物线 C于B,D两点(其中 B在第一象限),直线 AB与直线 OD交于点 E,若 OEF的面积等于 1,则抛物线 C的准线方程为( )A.x=-1 B.x=-C.y=-1 D.y=-7.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l于点 C,若 |BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y2= x38.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,过 A,B分别作 y轴的垂
4、线,垂足分别为 C,D,则 |AC|+|BD|的最小值为 . 9.(2018安徽巢湖一模,15)已知抛物线 C:y2=4x的焦点是 F,直线 l1:y=x-1交抛物线于 A,B两点,分别从 A,B两点向直线 l2:x=-2作垂线,垂足是 D,C,则四边形 ABCD的周长为 . 10.(2017广东江门一模,10 改编) F是抛物线 y2=2x的焦点,以 F为端点的射线与抛物线相交于点 A,与抛物线的准线相交于点 B,若 =4 ,则 = . 综合提升组211.(2018山东烟台模拟,6)已知直线 l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点 P为抛物线 y2=-8x上的任一点,则P到直线 l1,
5、l2的距离之和的最小值为( )A.2 B.2 C. D.34181734 16153412.过抛物线 C:y2=4x的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上方), l为 C的准线,点 N3在 l上且 MN l,则 M到直线 NF的距离为( )A. B.2 C.2 D.35 2 3 3来源:学科网ZXXK13.已知抛物线的方程为 y2=2px(p0),O为坐标原点, A,B为抛物线上的点,若 OAB为等边三角形,且面积为 48 ,则 p的值为 . 314.设动点 P(x,y)(x0)到定点 F(1,0)的距离比它到 y轴的距离大 1,记点 P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C的
6、方程;(2)设 D(x0,2)是曲线 C上一点,与两坐标轴都不平行的直线 l1,l2过点 D,且它们的倾斜角互补 .若直线 l1,l2与曲线 C的另一交点分别是 M,N,证明直线 MN的斜率为定值 .创新应用组15.(2018北京城六区一模,2)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, AA1=AB=2,BC=1,点 P在侧面 A1ABB1上,满足到直线 AA1和 CD的距离相等的点 P( )A.不存在B.恰有 1个C.恰有 2个D.有无数个16.(2018河北衡水模拟,20)已知抛物线 C:y2=2px(p0),斜率为 1的直线 l1交抛物线 C于 A,B两点,当直线 l1过点(1,0
7、)时,以 AB为直径的圆与直线 x=-1相切 .(1)求抛物线 C的方程;3(2)与 l1平行的直线 l2交抛物线于 C,D两点,若平行线 l1,l2之间的距离为 ,且 OCD的面积是22OAB面积的 倍,求 l1和 l2的方程 .3参考答案课时规范练 50 抛物线1.C 因为 |MF|=7,点 M到 x轴的距离为 5,所以 =7-5,所以 |a|=8,|4因此焦点 F到准线 l的距离是 =4,故选 C.|22.C 利用 |PF|=xP+ =4 ,可得 xP=3 .2 2 2y P=2 .S POF= |OF|yP|=2 .故选 C.612 33.B 由抛物线 C的方程为 x2=2py(p0)
8、,则焦点坐标 F 0, ,所以焦点 F 0, 到直线 x-y+3=03的距离为 d= =,解得 p=2,所以抛物线的方程为 x2=4y,故选 B.|-2+3|24.A 设抛物线的准线和对称轴的交点为 K.过点 P作准线的垂线,垂足为 M,则 |PF|=|PM|.由QFK QPM,得 = ,即 =,所以 |MP|=3.故 |PF|=3,|QF|=,所以 |PQ|=|PF|+|QF|=.故选 A.| | 1|5.B 由已知得 F(1,0),设直线 l的方程为 x=my+1,与 y2=4x联立得 y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则 y1+y2=4m,则
9、 y0= =2m,x0=2m2+1,所以 E(2m2+1,2m),又1+22|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得 m2=,线段 AB的垂直平分线为 y-2m=-m(x-2m2-1),令 y=0,得M(2m2+3,0),从而 |ME|= = ,故选 B.4+42 66.A7.C 如图,分别过点 A,B作 AA1 l于点 A1,BB1 l于点 B1,由抛物线的定义知, |AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.4|BC|= 2|BF|,|BC|= 2|BB1|. BCB1=30, AFx=60.连接 A1F,则 AA1F为等边三角形,过点 F作 FF1 AA1于点
10、 F1,则 F1为 AA1的中点,设 l交 x轴于点 K,则 |KF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,12 12 32故抛物线方程为 y2=3x.8.2 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即 |AC|+|BD|取得最小值时当且仅当 |AB|取得最小值 .依抛物线定义知当 |AB|为通径,即 |AB|=2p=4时,为最小值,所以 |AC|+|BD|的最小值为 2.9.18+4 由题知, F(1,0),准线 l的方程是 x=-1,p=2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去 y,2 =-1,2=4,得 x2=-6x+
11、1=0.因为直线 l1经过焦点 F(1,0),所以 |AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线 l1的倾斜角是,所以 |CD|=|AB|sin =8 =4 ,所以四边形 ABCD22 2的周长是 |AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4 =18+4 .2 210. 由题意,设点 A的横坐标为 m,过点 A向准线作垂线交垂线于点 C,设准线与 x轴的交点为 D,则由抛物线的定义, |FA|=m+ ,12由 BAC BFD,得 = ,m= .+121 34 14|FA|= ,|FB|=3,34 =|FA|FB|= .9411
12、.C 抛物线 y2=-8x的焦点为 F(-2,0),准线为 l1:x=2,P 到 l1的距离等于 |PF|,P 到直线 l1,l2的距离之和的最小值为 F(-2,0)到直线 l2的距离d= = .故选 C.|-6+0-30|9+25 18173412.C 由题意可知抛物线的焦点 F(1,0),准线 l的方程为 x=-1,可得直线 MF:y= (x-1),与抛物线3y2=4x联立,消去 y得 3x2-10x+3=0,解得 x1=,x2=3.因为 M在 x轴的上方,所以 M(3,2 ).3因为 MN l,且 N在 l上,所以 N(-1,2 ).3因为 F(1,0),所以直线 NF:y=- (x-1
13、).3所以 M到直线 NF的距离为 =2 .| 3(3-1)+23|(- 3)2+12 313.2 设 B(x1,y1),A(x2,y2).5|OA|=|OB| , + = + .又 =2px1, =2px2, - +2p(x2-x1)=0,即( x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又21212222 21 22 2221x1,x2与 p同号, x 1+x2=2p0 .x 2-x1=0,即 x1=x2.根据抛物线对称性可知点 B,A关于 x轴对称,由 OAB为等边三角形,不妨设直线 OB的方程为 y= x,由 解得 B(6p,2 p),|OB|=33 =33,2=2, 3=4 p. OAB的
14、面积为 48 , =48 ,p= 2.(6)2+(23)2 3 334(43)2 314.(1)解 由题意知,动点 P的轨迹方程是以 F(1,0)为焦点,以 x=-1为准线的抛物线,故曲线 C的方程为 y2=4x.(2)证明 由 D(x0,2)在曲线 C上,得 4=4x0,则 x0=1,从而 D(1,2).设 M(x1,y1),N(x2,y2),直线 l1:y=k(x-1)+2,则 l2:y=-k(x-1)+2,由 得 k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,=(-1)+2,2=4 x 1= = ,(-2)22 2-4+42同理 x2= .2+4+42x 1+x2= ,x1-x2=
15、- .22+82 8y 1-y2=k(x1+x2)-2k= .8k MN= = =-1,即直线 MN的斜率为定值 -1.1-21-28-815.D 由于点 P在侧面 A1ABB1上,所以点 P到直线 AA1的距离为 PA,所以点 P为到定点 A与到定直线 CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个 .故选 D.16.解 (1)设直线 AB方程为 y=x-b,代入 y2=2px,得 x2-(2b+2p)x+b2=0,= (2b+2p)2-4b2=8bp+4p20.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,|AB|= |x1-x2|= =2 ,2 2
16、(1+2)2-412 22+2当 b=1时, |AB|=2 ,AB的中点为(1 +p,p),22+2依题意可知 2(1+p+1)=2 ,解得 p=2.22+2所以抛物线方程为 y2=4x.(2)点 O到直线 l1的距离为 d= ,|26S OAB= |AB|d= 2 =2|b| .12 12 24+4 |2 +1因为平行线 l1,l2之间的距离为 ,所以直线 CD方程为 y=x-(b+1),22S OCD=2|b+1| .+2依题意可知 2|b| =2|b+1| ,即 3b2(b+1)=(b+1)2(b+2),3 +1 +2化简得 2b2-3b-2=0,所以 b=- 或 b=2,满足 0,12所以 l1:y=x+ ,l2:y=x- 或 l1:y=x-2,l2:y=x-3.12 12
