1、1突破 2 利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018 全国 3,文 21)已知函数 f(x)=ax2+x-1ex .(1)求曲线 y=f(x)在点(0, -1)处的切线方程;(2)证明:当 a1 时, f(x)+e0 .2.(2018 河北保定一模,21 改编)已知函数 f(x)=x+ 设函数 g(x)=lnx+1.证明:当 x(0, + )且ax.a0 时, f(x)g(x).3.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x00,求 a 的取值范围 .24.(2018 安徽芜湖期末,21 改编)已知函数 f(x)=x3-aln x(aR) .若函数 y
2、=f(x)在区间(1,e上存在两个不同零点,求实数 a 的取值范围 .5.设函数 f(x)=e2x-aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数;(2)证明:当 a0 时, f(x)2 a+aln2a.36.(2018 河北衡水中学押题三,21)已知函数 f(x)=ex-x2+a,xR,曲线 y=f(x)的图像在点(0, f(0)处的切线方程为 y=bx.(1)求函数 y=f(x)的解析式;(2)当 xR 时,求证: f(x) -x2+x;(3)若 f(x)kx 对任意的 x(0, + )恒成立,求实数 k 的取值范围 .参考答案突破 2 利用导数证明问题及讨论零点个数1.(1
3、)解 f(x)= ,f(0)=2.因此曲线 y=f(x)在点(0, -1)处的切线方程是 2x-y-1=0.-ax2+(2a-1)x+2ex(2)证明当 a1 时, f(x)+e( x2+x-1+ex+1)e-x.令 g(x)=x2+x-1+ex+1,则 g(x)=2x+1+ex+1.当 x-1 时, g(x)0,g(x)递增;所以 g(x) g(-1)=0.因此 f(x)+e0 .2.证明令 h(x)=f(x)-g(x)=x+ -lnx-1(x0),h(x)=1- - = ,设 p(x)=x2-x-a=0,函数 p(x)的ax ax21xx2-x-ax2图像的对称轴为 x= .12p (1)
4、=1-1-a=-a1,由对称性知, p(x)=0 的另一根小于 0,且 -x0-a=0,x204h(x)在(0, x0)上是减少的,在( x0,+ )上是增加的,h(x)min=h(x0)=x0+ -lnx0-1=x0+ -lnx0-1=2x0-ln x0-2.ax0 x20-x0x0令 F(x)=2x-ln x-2(x1),F(x)=2- = 0 恒成立,1x2x-1x所以 F(x)在(1, + )上是增加的 .F (1)=2-0-2=0,F (x)0,即 h(x)min0,所以,当 x(0, + )时, f(x)g(x).3.解法 1 函数 f(x)的定义域为 R,当 a=0 时, f(x
5、)=-3x2+1,有两个零点 ,33原函数草图a= 0 不合题意;当 a0,x - 时, f(x) - ,f(0)=1,f(x)存在小于 0 的零点 x0,不合题意;当 a0;(2a,0)在区间(0, + )内 f(x)0f(x)min=f 0 - +10 4.(2a) 8a212a2 4a2a0,当 t1 或 t0,函数在( ,e上递增;3e 3e则 g(x)min=g( )=3e,而 g( )= =27 27,且 g(e)=e30).ax当 a0 时, f(x)0,f(x)没有零点,当 a0 时,因为 e2x递增, - 递增,所以 f(x)在(0, + )递增 .ax又 f(a)0,当 b
6、 满足 00 时, f(x)存在唯一零点 .(2)证明由(1),可设 f(x)在(0, + )的唯一零点为 x0,当 x(0, x0)时, f(x)0.故 f(x)在(0, x0)递减,在( x0,+ )递增,所以当 x=x0时, f(x)取得最小值,最小值为 f(x0).由于 2 - =0,e2x0ax0所以 f(x0)= +2ax0+aln 2 a+aln .a2x0 2a 2a故当 a0 时, f(x)2 a+aln .2a6.(1)解根据题意,得 f(x)=ex-2x,则 f(0)=1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入 y=f(x),得 a=-1,6故 f(x)=ex-
7、x2-1.(2)证明令 g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1.由 g(x)=ex-1=0,得 x=0,当 x( - ,0),g(x)0,y=g(x)递增 .所以 g(x)min=g(0)=0,所以 f(x) -x2+x.(3)解 f(x)kx 对任意的 x(0, + )恒成立等价于 k 对任意的 x(0, + )恒成立 .f(x)x令 (x)= ,x0,f(x)x得 (x)= =xf(x)-f(x)x2 x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2= .(x-1)(ex-x-1)x2由(2)可知,当 x(0, + )时,e x-x-10 恒成立,令 (x)0,得 x1;令 (x)0,得 0x1.所以 y= (x)的递增区间为(1, + ),递减区间为(0,1),故 (x)min= (1)=e-2,所以 k (x)min=e-2.所以实数 k 的取值范围为( - ,e-2).
