1、- 1 -宁夏银川一中 2019 届高三数学第一次模拟考试试题 理注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则10,8642,A432xBBAA. B. C. D. , ,06,422复数 ，则231zziA i B-2 C 2i D23高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了 n座城市作实验基地，
2、这 n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为 1x， 2， ， x，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A ， ， ， n的平均数 B 1x， 2， ， nx的标准差 C 1， 2， ， 的最大值 D ， ， ， 的中位数4已知等比数列 na中，有 3174a，数列 nb是等差数列，其前 项和为 nS，且 7b，则 13S A26 B52 C78 D1045如图，在 中，2AN， P是 BN上一点，若13Pt，则实数 t的值为A23B 5 C 6 D34(5 题图)6学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远执行如图所示的程序框图
3、，若输入 64x，则输出的结果为A2 B3 C4 D5 (6 题图)7双曲线 C： 和直线 ，若过 C 的左焦点和点（0，-b）的直)0,(12babya 13yx- 2 -正视图 侧视图俯视图第 9 题图线与 l 平行，则双曲线 C 的离心率为 A B C D5 4535348已知函数()sin2fx， ()singx，要得到函数 ()ygx的图象，只需将函数yf的图象上的所有点A横坐标缩短为原来的12，再向右平移 6个单位得到B横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 3个单位得到C横坐标伸长为原来的 2倍，再向右平移 6个单位得到D横坐标伸长为原来的 倍，再向右平移 3个单位得到9一个四棱锥的三
4、视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正2方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A B2C D4610已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为)()1()(2Rmexfx mA B C D0,1e,)1,(e),0(11如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的1DCAP1B是平面 平面 ；DP1 平面 ；/A1异面直线 与 所成角的取值范围是 ；113,0(三棱锥 的体积不变.PCA B C D- 3 -12已知函数1,0()3xefa，若函数 ()()2gxf恰有 5 个零点，且最小的零点小于-4，则 的取值范围
5、是A (,1) B (0,) C. (0,1) D (1,)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1310()x的展开式中， 3x的系数等于 14已知实数 ,xy满足约束条件21yx，若目标函数 2zxay仅在点 (3,4)取得最小值，则 a的取值范围是 15已知抛物线28的焦点为 F，直线 l过 且依次交抛物线及圆2()1y于点A， B， C， D四点，则 |4|ABCD的最小值为 16已知数列 na的前 项和为 nS，数列 nb的前 项和为 nT，满足 1a，3()nnSm，（ R），且12a.若对任意 *N， n恒成立，则实数 的最小值为 三、解答题：共 70 分
6、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分)17.（12 分）在 ABC中，角 ， ， C所对的边分别是 a， b， c，已知 6a，1cos8A.(1)若 5b，求 sin的值；(2) 的面积为174，求 bc的值.18. （12 分）2014 年 7 月 18 日 15 时，超强台风“威马逊”登陆海南省据统计，本次台风造成全省直接经济损失 119.52 亿元适逢暑假，小明调查住在自己小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000 元以
7、下经济损失4000 元以上合计- 4 -捐款超过 500 元 30捐款低于 500 元 6合计(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在 7：00 到 8：00 之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在 7：30 到 8：30 分之间的任意时刻来到小区，求连续 3 天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学
8、期望.附：临界值表k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001参考公式： K2 ， n a b c d.n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)19.（12 分）如图所示， ABCD是边长为 2 的正方形， AE平面 BC，且 1AE.（1）求证：平面 平面 B；（2）线段 上是否存在一点 F，使二面角 F所成角的余弦值为64？若存在，请找出点 的位置；若不存在，请说明理由.20. （12 分）已知点3(1,)2A在椭圆2:1(0)xyC
9、ab上， O为坐标原点，直线2:xylab的斜率与直线 OA的斜率乘积为 4.（1）求椭圆 的方程；（2）不经过点 的直线3:2lyxt（ 0且 tR）与椭圆 C交于 P， Q两点，P关于原点的对称点为 R（与点 A不重合），直线 AQ， 与 y轴分别交于两点 M，- 5 -N，求证： AMN.21（12 分）已知函数21ln,xfxaaR.（1）讨论 的单调性；（2）若 fx有两个零点，求实数 a的取值范围(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题记分。22选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 中,以 O为极点， x轴
10、的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线xyC的极坐标方程为 2sincos0a；直线 的参数方程为 (t 为参ltyx2数）.直线 与曲线 C分别交于 ,MN两点.l（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；l（2）若点 P的极坐标为 2,， 52P，求 a的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()fx.（1）求不等式 1x的解集；（2）若函数 2log32fffxa的定义域为 R,求实数 a的取值范围.- 6 -银川一中 2019 届高三第一次模拟理科数学试题参考答案1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C
11、 D B B C C A D C B B C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13.-120 14.(,2) 15. 13 16. 12三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分)17解：（）由1cos8A，则02，且 37in，由正弦定理5sii16bBAa，因为 b，所以02，所以9cos16B，sini()CAB7sincin4A（）1315i28Sb， 20bc，2cosaA206c， 41b， ()bb418， 9c.18.解 (
12、1)如下表：经济损失 4000 元以下经济损失 4000 元以上合计捐款超过 500 元 30 9 39捐款低于 500 元 5 6 11合计 35 15 50K2 4.0463.841.50(306 95)239113515- 7 -所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000元有关(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为 x， y，则( x， y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为 ( x， y)|7 x8,7.5 y8.5，则 S 1，事件 A 表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为 A( x， y)|y x，7 x8,
13、7.5 y8.5，即图中的阴影部分面积为 SA1 ，12 12 12 78所以 P(A) ，SAS 78连续 3 天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为 ，则)87,3(B821)(E19. 解：（） AE平面 BC， E平面 C， 平面 BCE， AB， C，又 ， B， 平面 ，又 C平面 D，平面 平面 .（）如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz， 1AE， 2， E， 3.假设线段 上存在一点 F满足题意，3(,0)2， (,)B， (0,)h， (0)，易知：平面 A的一个法向量为 1,m，(,)E， (,2)F，设平面 B的一个法向量为 ,nxyz，由0nF，得302yhz，取
14、1y，得2(3,1)nh，26cos,4|mn， h.点 F为线段 AD的中点时，- 8 -二面角 ABFE所成角的余弦值为64.20. 解：（）由题意，221314OAbka，即 24ab 又 24a联立解得 1所以，椭圆 C的方程为：214xy.（）设 1(,)Pxy， 2(,)Q， 1(,)Rxy，由2314xty，得 2230t，所以 4，即 t，又因为 t，所以， (,),2，123x，21xt，解法一：要证明 AMN，可转化为证明直线 AQ， R的斜率互为相反数，只需证明0AMNk，即证明 0QARk.1231AQRyx221133()()(yxyx1221()()(2)t tx1
15、2123()3xtx212(3)0ttx 0AMNk， AN.21解：(1) fx的定义域为 0,， 233()12()1xafa. 1 分- 9 -(i)当 0a时， 210x恒成立，,x时， ()f， fx在 ,2上单调递增；时， ， 在 上单调递减； 2 分(ii) 当 0a时，由 ()0fx得，1231,xa（舍去），当 12x，即14时， f恒成立， f在 (0,)上单调递增；3 分当 12，即a时，0,x或 ,x时， ()0fx恒成立， fx在10,a， 2,单调递增； 1,2a时， ()0fx恒成立， f在1,2a上单调递减；4 分当 12x即14时，,a或 0,2x时， ()0
16、fx恒成立， fx在1(0,2),a单调递增；12,x时， ()fx恒成立， f在12,a上单调递减；5 分综上，当 0a时， 单调递增区间为 0,，单调递减区间为 2,；当14时， fx单调递增区间为 ,，无单调递减区间；当a时， f单调递增区间为10,a， 2,，单调递减区间为1,2a；当104时， fx单调递增区间为(,),，单调递减区间为,6 分(2)由(1)知，当 0a时， f单调递增区间为 (0,2)，单调递减区间为 (2,)，又因为 1f， 7 分- 10 -取 01max,5，令 1()2lnfxx， 21()fx，则 12()0fx在 (2,)成立，故 单调递增，10ln2(
17、ln)fx，002200011()axaxxx，（注：此处若写“当 时， f”也给分）所以 fx有两个零点等价于()ln)4，得18ln2a，所以108ln2a8 分当 时，()xf，只有一个零点，不符合题意； 当14a时， f在 (0,)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9 分当 0且时， fx有两个极值，1(2)ln2)04fa，2lnfa，记 gxx， 10 分()(1l)l2x，令lnhxx，则332211h.当14时， ()0， ()g在,4单调递增；当0x时， hx， x在10,单调递减故1()2ln4g， ()g在 ,)单调递增0x时， ()0x，故12ln0fa11 分又
18、(2)ln24fa，由(1)知， fx至多只有一个零点，不符合题意- 11 -综上，实数 a的取值范围为1,08ln2. 12 分22.解：（1）由 2sincosa，得 2sin2cos0a，所以曲线 C的直角坐标方程为2xyax，即 21y.由直线 的参数方程得直线 的普通方程为 .ll（2）将直线 的参数方程2xty代入2xyax，化简并整理，得l3240tat.因为直线 与曲线 C分别交于 ,MN两点，所以 2340，解得l1a、由一元二次方程根与系数的关系，得23ta， 124t.又因为 0，所以 0.因为点 P的直角坐标为 ,，且在直线 上，l所以 12352MNta，解得 2a，此时满足 0a，且 1，故 .23.解：（1）由已知不等式 fx，得 21x，当 2x时，绝对值不等式可化为 21，解得 3，所以 2x；当 时，绝对值不等式可化为 x，解得 ，所以；当 1x时，由 1x得 3，此时无解.综上可得所求不等式的解集为,.（2）要使函数 2log32fxfxfa的定义域为 R，只要 3ga的最小值大于 0 即可.又 1xx，当且仅当 1,x时取等号.- 12 -所以只需 320a，即32.所以实数 的取值范围是,.
