1、1EF CNMABD安徽省六安市舒城中学 2018-2019 学年高二数学下学期开学考试试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。 ）1.已知集合 若 ，则 的取值,1,023|2 mNxMMNm范围是 （ ）A. B. C. D.1,31,332, 2,312.已知命题 在第一象限单调递增，命题 ,则:pxysin xxqtansi),02(:下列命题中为真命题的是 （ ）A. B. C. D.qp)(qpqp)( )(qp3.若 是函数 的两个不同零点，且 这三个数ba, 0,)(2xf 2,ba可适当排序后成等
2、差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于 （ ）A.6 B.7 C.8 D.94.如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：（1） 与 所在直线平行；ABEF（2） 与 所在直线异面；CD（3） 与 所在直线成 角；MN60（4） 与 所在直线互相垂直。其中正确命题的个数是 （ ）2A. B. C. D.12345.设 分别是函数 和 的零点（其中 ，则2,xxaf)( 1log)(xa )1a的取值范围是 14（ ）A. B. C. D., ,4,5,56.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时，R)(xf)(xf0，若 0)(xf， , ,则 的大小关系是 )21(f
3、a)2(fb)21(lnlfccba,（ ）A. B. C. D.caccbac7.已知点 ，若圆 上存在点 （不同于点 ）)0,2(,(BA )0()3(22ryxPBA,使得 ，则实数 的取值范围是 Pr（ ）A. B. C. D5,15,13,15,38.已知函数 ，则不等式 的解集为 243)(2xxf |)(|(|xff（ ）A. B. C. D.,2121, 21, 1,29.已知函数 ，则下列结论错误的是 xxfsinco)(（ ）A. 既是偶函数又是周期函数 B. 的最大值是 1)(f )(xfC 的图像关于点 对称 D. 的图像关于直线 对称x0,2 x10.记 已知向量 满
4、足.,mabacba, bacba,0,2|,1|3且 ，则当 取最小值时， = ,0()1bca,mx|c（ ）A. B. C. D.523212511.已知 为双曲线 的右焦点， 为双曲线的右准线， 为双曲线右支上F12yxl BA,两个动点，且 ，线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值BAAMlN|M为 （ ）A. B. C. D.314221212.已知在棱长为 的大正四面体内放一个小正四面体。若小四面体可在大四面体内任意转6动，则小正四面体棱长的最大值为 （ ）A. B. C. D.32632二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设 满足约束条件
5、则 的最大值为 。yx,.03,17yxyxz214.若 ，则 。)cos2(sin)4sin( in15.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐，每星期一有 、 两种菜可供选择。调查资料表AB明，凡是在星期一选 种菜的，下星期一会有 改选 种菜；而选 种菜的，下星期A20一有 改选 种菜。用 分别表示在第 个星期选 的人数和选 的人数，如果30nba,n，则 。1a1016.若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 )1(ln2xx,0a。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分 10 分)4ABCD在 中，角 的对边分别为 ，且 。ABC, cba, CaAb
6、cos3)cos()23(（1）求角 的值；（2）若角 边上中线 ，求 的面积。BC,67AMBC18.（本小题满分 12 分）如图，在四面体 中，已知 ，且 。ABCD6,5,17ACBBD（1）求证： ；（2）若二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值。35A19.（本小题满分 12 分）已知数列 的各项均为正整数， 为其前 项和，对于 有nanS,32,1n 为 偶 数 。为 奇 数 的 正 整 数 ，是 使其 中 为 奇 数 ， nnknn aa11,253(1)若 时，求 的最小值；3a1（2）若 时，求 的值。1102SS20.（本小题满分 12 分）函数 是定义在 上的函数，且满
7、足下列条件：)(xf,0舒中高二统考理数 第 3 页 (共 4 页) 舒中高二统考理数 第 4 页 (共 4 页)5 ； 时， ；对 时，有0)2(f1x)(xf,0,yx。)(yfxy（1）求 的值；2f（2）判断并证明函数 在 上的单调性；)(xf,0（3）解不等式： 。2421.（本小题满分 12 分）已知圆心为 的圆 和定点 是圆上任意一点，线段 的H01522xyBA),1( AB中垂线 和直线 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹记为 。lBMMC（1）求 的方程；C（2）过点 作两条互相垂直的直线分别与曲线 相交于 和 ，求 的ACQP,FE,PQ取值范围。22.（本小题满
8、分 12 分）已知函数 。2ln)(xaf（1）令 ，若 在区间 上不单调，求 的取值范围；xg)(gy3,0a（2）当 时，函数 的图像与 轴交于两点 ，且mxfh)( )0,(,21x，且正常数 满足条件 ，求证： 。210, ,1h6DEx AByOCz参考答案一选择题：BCDBD AAABA CB二填空题：13.8 14. 15.300 16.53,0三解答题：17：（1）由 得CaAbccos3)os()23(BBininsin2又 所以 ，又 ，所以 。0i2co)6,0(6A（2）由 知 。在 中由余弦定理得6,ABbaCM，求得 ，所以 。21743cos2b321ABCS18
9、：（1）取 中点 ，连结 ，因为ACOB与，所以 。又 ，BC，D平 面,所以 。又 ，平 面 O平 面所以 。又 ，所以 。OAC（2）由（1）知， 即二面角 的BBC平面角，即 。135D过 作平面 的垂线，垂足为 ，由（1）知，点 在 的延长线上，所以D，建立空间直角坐标系。因为45E所以.5,6,17BCACA。4925,2922 OAO所以 4sin45siDE所以 ，则 ，),0(),3(),0(),3(CBA ),3(),043(CDB7，设平面 的法向量 ，则 即)0,43(ABDBC),(zyxn.0,CDnB取 ，则 得平面 的法向量 。.2,zyx4x9,3y )9,34
10、(设 与平面 所成角为 ，则ABDC.26510|sinAB19：（1）因为 ，当 时， 不为正整数，与题设矛盾。53a532123a02当 时， 必为偶数，此时k2132 ),1(2k由 得 。于是，要使 为正整数且最小，则 ，从5112a13)(ak1a2k而 .（2）由 得 易知 为周期为 的摆动数列，且易得1 ,8,8432 n2191)(91 kkSkSk于是 9)()22221 kk 由此可得，当9)(9)( 时 ， 有5k230121S20：（1） ；2)(f（2）利用单调性的定义得 在 上单调递减；)(xf,0（3）构造函数利用单调性得不等式的解集为 。41,21：（1） ；1
11、342yx（2） 。QFPE AQPFEAQFPA)()(8当直线 的斜率不存在和等于零时， ；PQ421QFPE当直线 的斜率存在且不为零时，直线 的斜率也存在，于是可设直线 的方PQ程为 ，则直线 的方程为 。将直线 的方程与曲线)1(xkyF)1(xky的方程联立得：C0248)4322xk，21(9AQP将 换成 得k1234)(kFE)3413)(19222kkQFPE令 ，则 ，t2 6)31(92 tttP。由 得 。2)1(4963tt 7342,0QFPEt综合得 的取值范围是 。QFPE 736,122：（1）因为 ，所以 。因为 在区间axxg2ln)( axg2)( )
12、(xg上不单调，所以 在 上有实数解，且无重根。由 得：3,00)(3, ,0。又当 时， 有重根 ，29,41(21xxa 8a)(xg2x综上得 。)29,0(（2）因为 ，又 有两个实根 ，所以mxh)( 0)(xf 21,x9两式相减得 ，.0ln2,211mx )()()ln(l2212121 xmxx则 。)()l(2121于是 )()ln(l2)()( 212112121 xxxxxh 。)()ln(l 212121因为 且 ，则 ，所以 。00)(21x要证明 ，可尝试证明 ，只需证明)(21xh lnl2211 x。令 ，证明 即可。0ln212x),0(21xt 0l)(tt在 上单调递增， 。)(,)()( ttt , )1(t故 成立。021xh10
