1、- 1 -广东省深圳市高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试题 理本试卷由两部分组成。第一部分：高二数学第一学期期中前的基础知识和能力考查，共 57 分； 选择题包含第 1 题、第 3 题、第 6 题、第 7 题、第 8 题，共 25 分。填空题包含第 13 题、第 14 题，共 10 分。解答题包含第 17 题、第 18 题，共 22 分。第二部分：高二数学第一学期期中后的基础知识和能力考查，共 93 分。选择题包含第 2 题、第 4 题、第 5 题、第 9 题、第 10 题、第 11 题，第 12 题，共 35 分。填空题包含第 15 题,第 16 题，共 10 分。解
2、答题包含第 19 题、第 20 题、第 21 题、第 22 题，共 48 分。全卷共计 150 分。考试时间 120 分钟。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设复数 z +2i，则|z|（ ）A B2 C D12已知命题 p：x0，xsinx ，则 p 为（ ） Ax0，xsinx Bx0，xsinxCx 0 0，x 0sinx 0 Dx 00，x 0sinx 03设 a5 0.4，blog 0.40.5，clog 50.4，则 a，b，c 的大小关系是（ ）A abc Bcb a Cc ab Dbc a4
3、若函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）()fx()fxA函数 有 1 个极大值，2 个极小值B函数 有 2 个极大值，2 个极小值()fx- 2 -C函数 有 3 个极大值，1 个极小值()fxD函数 有 4 个极大值，1 个极小值5近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：99 的九宫格子中，分成 9 个 33 的小九宫格，用 1，2，3，9 这 9 个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有 1，2，3，9 的所有数字根据图中已填入的数字，可以判断 A 处填入的数字是（ ）A1B2C8D96已知实数 x，y 满足约束条件 ，
4、则 的最小值为（ ）201xy2zxyA1 B C D52 17已知函数 的部分图象如图，()sin()0,|)fxAx为了得到 的图象，可以将 f（ x）的图象（ ）2cogA向右平移个 单位 B向左平移个 单位C向右平移个 单位 D向左平移个 单位8等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则 （ ）anS71a13SA66 B99 C110 D1439已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）()sifx()ff()fA B 137(1)(37fffC D()()73fff)1710在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，CACB4，AB2 ，CC 12 ，E，F 分别为 AC，CC 1的中点，则
5、直线 EF 与平面 AA1B1B 所成的角是（ ）- 3 -A30 B45 C60D9011设双曲线 C： 的左焦点为 F，直线 过点 F 且在21(0,)xyab4320xy第二象限与 C 的交点为 P，O 为原点，若|OP|OF|，则 C 的离心率为（ ）A B C D55455312设函数 f（ x）在 R 上存在导数 ，对任意 xR，有 ，且()fx ()0fxfx0，+）时 2 x，若 ，则实数 a 的取值范围为（ ()f2()4af）A （，1 B1，+） C （，2 D2，+）第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知在矩形 ABCD 中，AB4，
6、AD2，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则( ) 的值AE AF BD 为_14已知 tan 2，则 的值为_ _; ( 4 ) 12sin cos cos215 ;1200cosxdxd16设抛物线 C：y 22p x（p0）的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，若ABD90，且ABF 的面积为 9 ，则此抛物线的方程为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，若 2acosB+b2 c（1）求 A 的大小；（2）若
7、a ， b2，求ABC 的面积- 4 -18 （本小题满分 12 分）已知数列 an的前 n 项和 Sn n2，数列 bn满足 2na（1）求 an的通项公式；（2）若 1+ bnbn+1，求数列 的前 n 项和 Tncc19 （本小题满分 12 分）已知函数 2()lnfx（1）求函数 y f（ x）的单调区间；（2）求函数 y f（ x）在 上的最大值与最小值1,220 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，且平面 PAD底面 ABCD，BADABC9012ABCD（1）证明：PDAB；（2）点 M 在棱 PC 上，且 ，若二面角 MABD 大小
8、PC的余弦值为 ，求实数 的值21721 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心是坐标原点 O，它的短轴长 2 ，焦点 F（ c，0） ，点 ，且1(,0)Ac- 5 -2OFA（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在过点 A 的直线与椭圆 C 相较于 P、Q 两点，且以线段 PQ 为直径的圆过坐标原点 O，若存在，求出直线 PQ 的方程；不存在，说明理由22 （本小题满分 12 分）已知函数 ， ， （其中 e 是自然对数的底数） 2()fxaR()xg（1）若曲线 y f（ x）在点（1， f（1） ）处的切线与直线 垂直，求实数 a 的值；xy21（2）记函数 F（ x） f（
9、 x） g（ x） ，其中 a0，若函数 F（ x）在（3，3）内存在两个极值点，求实数 a 的取值范围；（3）若对任意 x1， x20，3，且 x1 x2，均有| f（ x1） f（ x2）| g（ x1） g（ x2）|成立，求实数 a 的取值范围深圳高级中学（集团）2018-2019 学年第一学期期末考试高二数学（理科） 答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B B A C B D A A D A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13-18； 14 ； 151 ； 16 y2 6 x；三、解答题： 17解：（1）2 aco
10、sB+b2 c，由正弦定理得：2sinAcosB+sinB2sin C2sin（ A+B）2sin AcosB+2cosAsinB，sin B2cos AsinB，sin B0，cos A ，又 0 A， A ；- 6 -（2）由余弦定理可得 a2 b2+c22 bccosA， a ， b2， c22 c30， c3， S ABC bcsinA 23 18 解：（1）由题意当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1，当 n1 时， a1 S11，满足上式，所以 an2 n1；（2）由（1）知， bn ， n1+ bnbn+11+ 1+2（ ） Tn c1+c2+cnn+2（1 + + ）n+
11、2（1 ）=251n19 解：（1）函数 f（x）x 2lnx（x0）的导数为 ()fx2x ，由 ()0，可得 x ； ()f0，可得 0x ，则 f（x）的增区间为（ ，+），减区间为（0， ）；（2）函数 f（x）x 2lnx（x0）的导数为 ()fx2x ，由 ()f0，可得 x 1,2，可得 f（x）的最小值为 f（ ） ；由 f（ ） +ln2 3，可得 f（ 2）f（ ），即有 f（x）的最大值为 ln2- 7 -20（1）证明：取 AD 的中点 O，连 OC， OP， PAD 为等边三角形，且 O 是边 AD 的中点， PO AD，平面 PAD底面 ABCD，且它们的交线为 A
12、D， PO平面 ABCD， BA PO， BA AD，且 AD PO O， AB平面 PAD， PD AB（2）分别以 OC， OD， OP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 O xyz，则 ， ， ，即： ，设 ，且 是平面 ABM 的一个法向量， ， ，取 ，而平面 ABD 的一个法向量为 ， ， ，01， 21 解：（1）由题意知， b ， F（ c，0）， A（ c，0），则 ， ，由 2 ，得 c ，解得： c2 a2 b2+c26，- 8 -椭圆的方程为 ，（2） A（3，0），设直线 PQ 的方程为 y k（ x3），联立 ，得（1+3 k2） x218 k2x+
13、27k260，设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），则 ， k2（ ） 由已知得 OP OQ，得 x1x2+y1y20，即 ，解得： k ，符合0，直线 PQ 的方程为 y 22 解：（1）因为 f（ x）2 x a，所以 f（1）2 a，因为 y f（ x）在点（1， f（1）处的切线与直线 xy21垂直，所以 2 a2，解得 a0 2 分（2）因为 F（ x） f（ x） g（ x）（ x2 ax a） ex，所以 F（ x）（ x a）（ x+2） ex，因为 a0，所以当 x2 或 x a 时， F（ x）0；当2 x a 时， F（ x）0，所以 F（ x）在区间（，2）
14、和（ a，+）单调递增；在（2， a）单调递减，即当 x2 时， F（ x）取极大值，当 x a 时， F（ x）取极小值，因为函数 F（ x）在（3，3）内存在两个极值点，所以 0 a3。7分（3）因为函数 g（ x）在0，3上单调递增，所以 g（ x1） g（ x2）0，- 9 -所以| f（ x1） f（ x2）| g（ x1） g（ x2）|对任意的 x1， x20，3，且 x1 x2恒成立，等价于 g（ x2） g（ x1） f（ x1） f（ x2） g（ x1） g（ x2）对任意的 x1， x20，3，且 x1 x2恒成立，即 对任意 x1， x20，3，且 x1 x2恒成立，
15、所以 f（ x）+ g（ x）在0，3上是单调递增函数，f（ x） g（ x）在0，3上是单调递减函数，由 ()+g（ x）0 在0，3上恒成立，得（2 x a）+ ex0 在0，3恒成立，即 a ex+2x 在0，3恒成立，而 ex+2x 在0，3上为单调递增函数，且在0，3上取得最小值 1，所以 a1，由 ()f g（ x）0 在0，3上恒成立，得（2 x a） ex0 在0，3上恒成立，即 a2 x ex在0，3上恒成立，令 t（ x）2 x ex则 t（ x）2 ex，令 t（ x）0，得 x ln2，因为 t（ x）在0， ln2上递增，在 ln2，3上单调递减，所以 t（ x）在0，3上取得最大值 2ln22，即 a2 ln22，所以实数 a 的取值范围为2 ln22，112 分
