1、- 1 -浙江省杭州市萧山区第八高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末模拟试题（一）考试时间：100 分钟 满分:120 分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卷指定的位置上，务必注意试题序号与答题序号之间对应一选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求）1直线 在 轴上的截距为 2xy()A 1 B 2 C D 212圆 的圆心横坐标为 1 ，则 等于 20aa()A 1 B 2 C D 123关于三个不同平面 ， ， 与直线 ，下列命题中的假命题是 l ()若 ，则 内一定
2、存在直线平行于若 与 不垂直，则 内一定不存在直线垂直于B若 ， ， ，则Cl若 ，则 内所有直线垂直于D4已知双曲线 上点 与左焦点 的连线的中点 恰好在 轴上， 则 等214yxP1FMy|OM于 ()A 2 B 3 C D 3145设抛物线 的焦点为 ，不过焦点的直线与抛物线交于 ， ， ，24yxF1(Ax)y2(Bx两点， 与 轴交于点 （异 于坐标原点 ，则 与 的面积之比为 2) )OFC(- 2 -A B C D 12x12x21x21x6下列各图中， 直线 与 平行的只可能是 ab()A B C D 7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是
3、如图所示的十字立方体其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现90将该鲁班锁放进 一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计） () A28B30C60D1208已知圆 ，点 为直线 上的一个动点，过点 向圆 引两条2:4CxyP28xyPC切线 、 、 、 为切点，则直线 恒过点 PAAB() A(2,0)B5(,)2C1,D1(,)29已知椭圆 ， 为椭圆上与长轴端点不重合的一点， ， 分别为21(0)xyabP1F2椭圆的左、右焦点，过 作 外角平分线的垂线，垂足为 ，若 ，椭圆2F12Q
4、|Ob的离心率为 ，则 的最小值为 eab()- 3 - 1A32B62C3D10如图，在二面角 的一个 内有 ，其中MlNRtAB，顶点 、 在二 面角的棱 上， 、 与平面90Cl所成的角分别为 、 ，若二面角 的大小为 ，NN则下面的关系式中正确的是 () A222sinisinB222sinisin CD1二填空题（本题有 6 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 30 分）11双曲线 的实轴长是 ，焦点到渐近线的距离是 214xy12已知直线 和 互相平行，30610xmy则实数 ，两直线之间的距离是 m13如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，则3，该几何体的表面积
5、为 a14设直线 ，圆 ，:340lxya22:()Cxy若在圆 上存在两点 ， ，在直线 上存在一点 ，使得 ，则 的取值CPQlM90PQa范围是 15已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为 xy268240xy2xy16对于曲线 ，给出下面四个命题：:14Ck曲线 不可能表示椭圆； 若曲线 表示双曲线，则 或 ；C1k4当 时，曲线 表示椭圆； 若曲线 表示焦点在 轴上 的椭圆，1k x则 52其中所有正确命题的序号为 - 4 -二解答题（本题有 4 小题，共 50 分，要求写出详细的演算或推理过程）17 （本题满分 12 分）直线 ，圆 1:(4)ykx22:()5Cxy直线 一定经过哪
6、一点l若 被圆 所截得的弦长为 ，求 的方程C5l当 为何值时，直线 与圆 相切kl18 （本题满分 12 分）如图所示，四棱锥 底面是直角梯形，点 是棱 的中点，PABCDEPC， ， ， 底面 ， BADCA22ABD（）判断 与平面 是否平行，证明你的结论；EP（）证明： 平面 ；（）求三棱锥 的体积 VDA BCPE- 5 -19 （本题满分 12 分）如图，三棱锥 中， ， 分别是棱 ， 的中点，PABCDEBCA， ， ，4PBCA84326（）证明： 平面 ；ED（）求直线 与平面 所成的角的正弦值PB7 （本题满分 14 分）如图，曲线 由下半椭圆 和部分抛物C21:(0)(y
7、xaby线 连接而成， 与 的公共点为 ， ，其中 的离心率2:1(0)Cyx12AB1C为 3（）求 ， 的值；ab- 6 -（）过点 的直线 与 ， 分别交于点 ， ， （均异于点 ， ，是否存在直线 ，Al1C2PQA)Bl使得以 为直径的圆恰好过 点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理PQBl由参考答案与试题解析题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D D A A D B D C B11. 4，1 12. 4， 13. ， 14. ，713262318102615. 16 16. 1解： 因为直线方程为 ，令 得 所以直线 在 轴上的截距xy0xxy为 1
8、，故选： A2解： 圆 ，即圆 ，它的圆心横坐标为 ，2xya22()4axy12a，故选： aD3解：对于 ，假设 ，则 内所有平行于 的直线都平行 ，故 正确；AaA对于 ，假设 内存在直线 垂直于 ，则 ，与题设矛盾，故假设错误，故 正确；BaB对于 ，设 ， ，在 内任取一点 ，作 于点 ， 于CcdPMcPNd点 N- 7 -则 ， ，且 、 不可能共线又 ， ， ，PMNPMNllPMl又 ， ， ，lP故 正确C对于 ，假设 ，则 内所有平行于 的直线都平行 ，故 错误DaaD故选： 4解： 双曲线 上点 与左焦点 的连线的中点 恰好在 轴上，可知214yxP1FMy轴， ，则
9、故选： 2PFx2|ba|2OMA5解： 如图， ，分别过 作ACFBS轴， 过 作 轴，则 ，AMyNy1x，2BNx而 ，C12AFBSx故选： 6解： 对于 ， ， 中分别在平面 ， 内的直线是异面直线，C则 与 是异面直线， 直线 与 不可能平行：abab故选： D7解：由题意，该球形容器的半径的最小值为 ， 该球形容器的表面130254积的最小值为： 故选： 2304()B8解： 是直线 的任一点， 设 ， 圆 的两条切P8xy(82,)Pm24xy线 、 ，切点分别为 、 ， ， ，则点 、 在以 为直ABAOAABOP- 8 -径的圆上，即 是圆 和圆 的公共弦，则圆心 的坐标是
10、 ，且半径的平ABOCC(4,)2m方是 ， 圆 的方程是 ，22(4)mr22(4)4xy又 ，2xy 得， ，即公共弦 所(8)40yAB在的直线方程是： ，即(2)mx，由 得 ，(2)840mxy840y12x， 直线 恒过定点 ， ，故选：1AB1(2)D9解：如图，由题意， 是以 ， 为焦点的椭圆上一点，过焦点 作 外角平分P1F2 2F12P线的垂线，垂足为 ，延长 交 延长线于 ，得 ，由椭圆的定义知QMP，故有 ，连接 ，知 是三角形 的中12PFa11aOQ12M位线， ，又 ，O2b，则 ，即 ，ab24()c234当且仅当 ，即223168ecbA38bA328b时，
11、有最小值为 故选： 34b2aeC10解：作 于点 ，作 平面 于点ADlAEN，连结 、 、 平面 ，EBC是 在平面 内的射影 ，NDl，可得 就是二面角l的平面角， 又 、 分别是 、 在平面 的射影MAEBCEABCN、 分别为 、 与平面 所成的角，得 且ABECNE设 ，则 中， ，可得 同理得xRtsinsinix- 9 -到 ， 中， 为斜边 边上的高 ，sinxACsinxDRtABCDBCABCD得 ，因此 ，化简得2211B222sinisinxx故选： 222sinisinB11解：双曲线 的 ， ， ，即有 ，焦点为214xya1b45c24a， ，渐近线方程为 ，则
12、焦点到渐近线的距离是 ，故答案为：(50)2x|14，112解： 直线 与 互相平行， ，320xy610xmy362m， ，即为 ， 两直线之间的距离是m64132，故答案为： 4，21|3|771613解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一平放的三棱柱，且三棱柱的高是 3，底面三角形的边长为 2，高为 ； 该三棱柱的体积为 ，a123Va解得 ； 该三棱柱的表面积为：3a故答案为： ，2212231318S侧 面 33814解：圆 ，圆心为： ，半径为 2， 在圆 上存在两点 ，22:()Cxy(2,0)CP，在直线 上存在一点 ，使得 ， 在直线 上存在一点 ，使得QlM9PQlM到
13、的距离等于 ， 只需 到直线 的距离小于或等于 ，故M(2,0)2(,)C2，解得 2|6|34a1061026a故答案为： ， ；1062- 10 -15 则曲线22(3)(4)1xy是以 为圆心，以680(3,4)1 为半径的圆如图：的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方，2xy则 的最小值为 故答案为：162 22(|1)(341)6OC16解：当 且 时，曲线表示椭圆，所以错误；14k.5若曲线 表示双曲线，则 ，解得 或 ，正确；()0kk4当 时， ，此时曲线表示圆，所以错误；2.5k1若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，所以正确故Cx140k12.5k答案为：17解：，
14、根据题意，直线 ，则有 ，解可得1:(4)ylkx104yx41xy则直线过点 ，(4,1)，圆 的圆心 的坐标为 ，22:5CxyC(0,2)设圆心 到直线的距离为 ，则 ，d2|43|1k又由若 被圆 所截得的弦长为 ，则 ，l 550d则有 ，解可得： 或 ，2|43|51k2k1，若直线 与圆 相切，即 ，则 ，解可得： ，lCdr2|43|5k43k18.（）证明：取 中点 ，连 ， ，则 （1 分）PDQEA1QECDAB- 11 -且 （2 分）/QECDABQEAB四边形 是平行四边形 （3 分）/平面 （5 分）/EAQPDBEB平 面平 面 PAD（）证明： ，又 ，C平
15、面平 面 CADPA平面 又 平面 ，又 ， 为 的中点CDPAQPADQ，又 平面又 平面 （10 分）/BEC（）解： （11 分）1242ADCS （13 分）833APADCVP19.（1）证明： ， ； ， ；4B22BCAB， 分别是 ， 中点， ， ；DEA/EDE又 ， 是 中点， ， ；PCP平面 ；B（2） ， ， ； 由余弦定理 ；6A4P8AC7cos8PCA在 中， ， ； 由余弦定理得 ， ，并可求得 ；EE2ED2PD为等边三角形； 边 上的高为 ，即三棱锥 的高为 DD3B3设点 到面 的距离为 ，CPABd221164()5. 162B ABCSS 由 得33
16、PAABCdS8d- 12 -直线 与平面 所成的角的正弦值为 PCAB25dPC20.解：（）在 ， 的方程中，令 ，可得 ，120y1b且 ， 是下半椭圆 的左右顶点，(,0)(,)1设 的半焦距为 ，由 及 ，可得 ，所以 ， ；1Cc32a2cb2a1b（）由（） ，下半椭圆 的方程为 ，1C21(0)4yx由题意知，直线 与 轴不重合也不垂直，设其方程为 ，lx 1(0)ykx代入 的方程，整理得 ，1C22()0kkx设点 的坐标为 ， ，PPxy因为直线 过点 ，所以 是方程的一个根，由求根公式，得 ，lA124Pkx，所以点 的坐标为 ， ，284PkyP24(k28)同理，由 ，得点 的坐标为 ，2(1),0xyQ(1,)k所以 ， ， ，2(4kBP28)2(,)Bk假设存在直线 ，使得以 为直径的圆恰好过 点，lP可知 ，所以 ，即 ，BPQ0A228()()04kkA即 ，因为 ，解得 ，322816kkk3经检验， 符合题意，故存在，且直线 的方程为 l8(1)yx
