1、- 1 -浙江省杭州市萧山区第八高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末模拟试题（二）考试时间：100 分钟 满分:120 分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1双曲线 的渐近线方程是（ ）23xyA B C D13x3yx3yx2已知一个平行四边形的直观图是一个边长为 的正方形，则此平行四边形的面积为（ ）A B C D 91829183已知正方体 ，则 与 所成的角为A B C D 4已知直线 l： 在 轴和 轴上的截距相
2、等，则 的值是（ ）A 1 B 1 C 2 或 1 D 2 或 15设 P 是圆 上的动点，则点 P 到直线 的距离的最大值为 A B C D - 2 -6已知 表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面， ， ，则有下面四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .其中所有正确的命题是（ ）A B C D 7已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平面,ABCO,BCDA，且 ，则球 的表面积为 （ ）D2,2A B C D 481628已知动点 在椭圆 上,若 点坐标为 , ,且 则(,)Pxy25xyA(30)|1AM0PA的最小值是（ ）|MA B C D23239如图，
3、已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心 的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P，Q，M，N，则 的最小值为（ ）A 36 B 42 C 49 D 5010已知 是由具有公共直角边的两块直角三角板（与 ）组成的三角形，如图所示.其中，.现将沿斜边 进行翻折成 （ 不在平面 上）.若 分别为 和的中点，则在 翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A 在线段 上存在一定点 ，使得 的长度是定值B 点 在某个球面上运动C 存在某个位置，使得直线 与 所成角为- 3 -D 对于任意位置，二面角 始终大于二面角二、填空题（本题有 6 小题，多空题每题 6 分，单空题每题
4、4 分，共 28 分）11抛物线 的准线方程为 24xy12已知直线 ，则直线 过定点_，当 变动时，原点到直线 的距离的最大值为_.13若直线 与曲线 有公共点，则 b 的bxy243xy取值范围是_.14某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为 2 的等边三角形，则这个几何体的体积等于_；表面积等于_15已知 是圆 上一点，且不在坐标轴上， P24xy， ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，则2,0A0,BPAyMPBxN的最小值为_NM16双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 分别在双曲线的左右两支上，且 ， ，线段 交双曲线 于 点 ，则该双曲线的离心率是 _三、解答题
5、（本题共有 4 小题，共 52 分）17 （本题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， , , 分别为 的中点.（）证明：直线 ；（）求三棱锥 的体积.- 4 -18 （本题满分 12 分）一动圆与圆 相外切，与圆21+y6=0Fx：相内切.2+y618=0Fx：(1）求动圆圆心的轨迹曲线 E 的方程，并说明它是什么曲线。(2）过点 (3,)作一直线 l与曲线 E 交与 A,B 两点，若 835AB，求此时直线 l的方程.19 （本题满分 14 分）如图，在多面体 中，四边形 为矩形， ，均为等边三角形， ， （1）过 作截面与线段 交于点 ，使得 平面 ，试确定点 的位置，并予
6、以证明；（2）在（1）的条件下，求直线 与平面 所成角的正弦值- 5 -20 （本题满分 14 分）已知曲线 T 上的任意一点到两定点 的距离之和为 ，直线 l 交曲线 T 于 A、B 两点， 为坐标原点.（1）求曲线 的方程；（2）若 不过点 且不平行于坐标轴，记线段 AB 的中点为 M，求证：直线 的斜率与 l的斜率的乘积为定值；（3）若 OA OB，求 面积的取值范围.参考答案与试题解析题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C C A A C B B C- 6 -11. 12. 13. 14. ， 16y 3,2115. 8 16. 1C【解析】将双曲线化为 ，以
7、0 代替 1 得： ，即 ，即23yx203yx23x。故选 。3yxC2B【解析】根据直观图的画法可得结论 ，直观图的面积为 9，所以平面图形的S2=4直平面积为 故选 B183C【解析】如图，在正方体中，连 ，则得 ，即为异面直线 与 所成的角在 中，由题意得 ，即 与 所成的角为 - 7 -故选 C4C【解析】当 时，直线方程为 ，显然不符合题意，当 时，令 时，得到直线在 轴上的截距是 ，令 时，得到直线在 轴上的截距为 ，根据题意得 ，解得 或 ，故选 C.5A【解析】依题意可知：圆 的圆心 ，半径为1，圆心到直线 的距离： 故点 P 到直线 的距离的最大值是：故选： A6A【解析】
8、因为 ， ，所以 ，由 可知 ，故正确， ， ， 可能在 内或与 平行，推不出 ，故错误， ， 可推出 ,又 ，所以 ，故正确, 若 相交交线为 m,则 ，推不出 ，故错误.综上可知选 A.7C【解析】由题意可知 CA,CB,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球， ，求的外接球的22216R表面积 ，选 C4S8B【解析】由 可知点 M 的轨迹为以点|1AA 为圆心，1 为半径的圆，- 8 -过点 P 作该圆的切线 PM，则| PA|2=|PM|2+|AM|2，得| PM|2=|PA|2-1，要使得 的值最小，则要 的值最小，而 的最小值为 a-c=2， |M此时 ，故选 B|
9、39B【解析】设抛物线方程为由抛物线过定点 得，抛物线方程 ，焦点为 ，圆的标准方程为 圆心为 ，半径 ，由于直线过焦点，可设直线方程为 ，设，又，时等号成立，的最小值为 ，故选 B.10C【解析】不妨设 ，取 中点 ，易知 落在线段 上，且,所以点 到点 的距离始终为 ，即点 在以点 为球心，半径为 的球面上运- 9 -动，因此 A、B 选项不正确；对于 C 选项，作 可以看成以 为轴线，以 为平面角的圆锥的母线，易知与 落在同一个轴截面上时， 取得最大值，则的最大值为 ，此时 落在平面上，所以，即 与 所成的角始终小于 ，所以 C 选项不正确；对于 D 选项，易知二面角 为直二面角时，二面
10、角 始终大于二面角，当二面角 为锐二面角时，如图所示作 平面 与点 ，然后作分别交 于 ，则二面角 的平面角为，二面角 的平面角为，且 ，又因为 ，所以，所以二面角 始终大于二面角 ，故选 D.点睛：本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及空间角的求解，其中解答中正确确定二面角的的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题综合性强，难度大，属于难题，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力.- 10 -11 【解析】根据已知中抛物线 ，且焦点在 y16y 21142,48yxyp轴上，那么利用 y 轴上的准线方程，由于开口向上，因此准线方程为 ,故答案6为 。y12 【解析】由 可
11、得所以直线恒过点 ，在所有过点的直线中，当与原点和 的连线垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为 .13 3,21【解析】如图所示：曲线 ，即 （ 24xy2234y1y3，0x4） ，表示以 A（2，3）为圆心，以 2 为半径的一个半圆由圆心到直线 y=x+b 的距离等于半径 2，可得 ，b=1+ ，或 b=1- 结32b22合图象可得 1- b3 214 ， 【解析】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥 图中长方体中 为棱的中点， 到 的距离为 ， 四棱锥体积为 ，四棱锥的表面积为，故答案为(1) ， (2) .1 58【解析】设点- 11 -，则直线 PA 的方程： ，则 同理2co
12、s,inP sin2co1yx2sin0,co1M，则 的最小值为 8.,0si1N2ANBM24i6sis16 【解析】根据题意画出图形如图所示由题意得， 由 ，可设 ， ，可得点 的坐标为 点 在双曲线上，消去 整理得 ，离心率 17 （I）详见解析；（II） .【解析】 （）证明：取 的中点 ，连 ， 为 的中点， 又 ，为平行四边形， ， - 12 -（） ， 为 的中点，点 又 ，即三棱锥 的体积为 18 （1）213xy，椭圆（ 2） 3yx【解析】解：（1）设动圆圆心的坐标为 (,)M，半径为 r又内切和外切的几何意义 13Fr 23F 1243FM 所以所求曲线轨迹为椭圆， 2
13、4,6,acb方程为：2xy（2）设直线方程为 (3)ykx直线与椭圆交与 A 1(,)y ， B 2(,)联立方程组 241x把直线方程代入椭圆方程化简整理得222(1)(36)0kk2124kx21364kx又弦长公式 2211AB，代入解的 所以直线方程为 3yx19 （1）当 为线段 的中点时，使得 平面 （2）【解析】 （1）当 为线段 的中点时，使得 平面 证法如下：连接 ， ，设 ，四边形 为矩形，- 13 - 为 的中点，又 为 的中点， 为 的中位线， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，故 为 的中点时，使得 平面 （2）过 作 分别与 ， 交于 ， ，因为 为 的中点，所以
14、， 分别为 ， 的中点， 与 均为等边三角形，且 ， ，连接 ， ，则得 ， ， ， ， ， ，四边形 为等腰梯形取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ， ， ， 平面 ，过 点作 于 ，则 ， ， 分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，不妨设 ，则由条件可得： ， ， ， ，- 14 -设 是平面 的法向量，则即所以可取 ，由 ，可得，直线 与平面 所成角的正弦值为 20 （1） （2）证明过程详见解析（3） 【解析】解：（1）由题意知曲线 是以原点为中心，长轴在 轴上的椭圆， 设其标准方程为 ，则有 ，所以， .（2）证明：设直线 的方程为 ，设则由 可得 ，即 ， ， ，直线 的斜率与 的斜率的乘积= 为定值 - 15 -（3）当直线 、 分别与坐标轴重合时，易知 的面积 ，当直线 、 的斜率均存在且不为零时，设直线 、 的方程为：， 点 ，由 可得 ， ，代入 得 ，同理可得 ， 令 ， ，则由 知 ，综上可知， .
