1、- 1 -茶陵三中 2019 届高三第 2 次月考文科数学试题时量 120 分钟 总分 150 分一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为 ，集合 ， ，则（ ）R0|2xA02|xBA B C D)(ARRBA2.已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 =（ ）,abiai2bi()abiA B C D34i54i3454i3.若 ，且 为第三象限角，则 的值为（ ）sn()cos()snmcosA B C D21m212121m4. 已知 是偶函数，当 时， 单调递减，设 ，fx0xfx12
2、0.85,(),lg2abc则 的大小关系是 （ ）,abcA B fffafcfafbC Dc5.已知 是相异两平面， 是相异两直线，则下列命题中错误的是（ ）,mnA若 ，则 B若 ，则 /,mn,m/C.若 ，则 D若 ，则,/,n6. 陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐” ，北方叫作“冰尜”或“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，下图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网络纸中小正方形的边长为 1，则该陀螺模型的体积为（
3、）A B C. 30732- 2 -D 9323167.将函数 的图象向右平移 个单位后，所得图象对应23)cos()2sin()( xxf 6的函数为 （ ）gA B C. D)32sin(x)6sin(x)62sin(xx2sin8.设 ， 满足约束条件 若 取得最大值的最优解不唯一，则实数y20,13,yzay的值为（ ）aA 或 B 或 C 或 D 或 2 2332132139.已知正方形 如图所示，其中 相较于 点，CDDA,O分别为 ， 的中点，JIHGFE, O,B阴影部分中的两个圆分别为 与 的内切圆，若往C正方形 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的AB概率为（ ）A
4、B C. 2)(14)2(1D4)6( )6(10.已知双曲线 的方程为 ，过右焦点 作圆 的两条C)0,(12bayx F22ayx切线，切点分别为 为右顶点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）MBA,、 65ABA B C. D3332211.在 中， 是边 的中点， 是 的中点，若 ，且 的面积为 ，CPQP6ABC1则 的最小值为（ ）Q- 3 -A B C. D322331312.已知函数 与函数 的图象上存在关于 轴对称()lnxfe2()xgeay的点，则实数 的取值范围为（ ）aA B C D (,1(,e(,11(,2二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸
5、上）13.已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在区间 上为减函数，)()(42Zmxfy),0(则 的值为 m14.抛物线 的焦点为 ，直线 与该抛物线交于 两点（ 为坐标原点） ，与24yxFyxOA、抛物线的准线交于 点，直线 与抛物线的另一交点为 ，则 BACcos=B15.在 中， 是 边上的一点， ，若 为锐角，AC03,25,CDB2DAC的面积为 ，则 D4B16.奇函数 是 上单调函数， 有唯一零点，则 的取值集合为 fxR31gxfafxa三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在正项等差数列 中，其前 项和为 .na
6、 53232,1, SaaSn（1）求 ；n（2）设数列 的前 n 项的和为 证明： .nS1nT43n18. 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市有户籍的人口共万，其中老人（年龄 岁及以上）人数约有 万，为了了解老人们的健康状况，政府40606从老人中随机抽取 人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以 岁为界限分成两个群体进行统计，80样本分布被制作成如下图表：- 4 -（1）若从样本中的不能自理的老人中采取分层抽样的方法再抽取 人进一步了解他们的生16活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该
7、市 岁以上长者占全市户籍人口的百分比；80（3）政府计划为 岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买 元/年的医疗保险，10为其余老人每人购买 元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度6预算.19.如图，在三棱台 中， ， 分1ABCDE别是 ， 的中点， ， 平21B面 ，且 .AB90（1）证明： 平面 ；1/C1AE（2）若 ， 为等边三角形，36B求四棱锥 的体积1D20已知椭圆 ： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接C21(0)xyab2正方形面积为 2（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使直lykxCA
8、ByD线 与 的斜率之和 为定值？若存在，求出点 坐标及该定值，若不存在，ADBADBD试说明理由21.已知函数 .212lnfxaxaR（1）当 时，求 在点 处的切线方程；af(,1)f- 5 -（2）当 时，求函数 的单调递增区间；0afx（3）当 时，证明： （其中 为自然对数的底数） 24xee22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的方xOy1C2cosinxy2C程为 ，以 为极点， 轴的半正轴为极轴建立极坐标系.3yx（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；1C2（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 .21AB1OAB- 6 -2019 届高三第 2
9、次月考文科数学试题答案 1、选择题：1-5 ACBCD 6-10 BDACC 11-12 AC二、填空题13.2 14.15.4 16.204a或3、解答题 17.（1） 35321aSa75321n（2） )(n） 得由 （21)2(1nS 43)21(21 nSTnn )(21( n31NnnTT10即 31)(minT单 调 递 减综上： 4318.（1）数据整理如下表：健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理80 岁及以上 20 45 20 1580 岁以下 200 225 50 25从图表中知不能自理的 80 岁及以上长者占比为： =故抽取 16 人中不能自理的 80 岁及
10、以上长者人数为 6 人，不能自理的 80 岁以下长者人数为10 人 （2）在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为： =所以 80 岁及以上长者有： =11 万人- 7 -用样本估计总体，80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为： =2.75% （3）先计算抽样的 600 人的预算，其中享受 1000 元/年的人数为 14+25+20+45+20=125 人，享受 600 元/年的人数为 600125=475 人，预算为：1251000+475600=4110 4元用样本估计总体，全市老人的总预算为 41104=4.51108元:所以政府执行此计划的年度预算约为 4.51 亿元 19.
11、（1）证明：设 与 相交于 ，连接 ，1ABDFE由题意可知， ， ，/1所以四边形 是平行四边形，1从而 是 的中点FAB又 是 的中点，EC所以 1/又 平面 ， 平面 ，FAD1B1ADE所以 平面 1/BCE（2）解：易证 ，11/C是三棱柱，1AD又因为 平面 ，所以 是此三棱柱的高，BEA1BE同理 也是三棱锥 的高11因为 ， 为等边三角形，36CC所以 ， ， ，AE1D32BE又 ，11111123BCACADVVSBES所以 1233ED20.(1) (2) 存在点 ，使得 为定值，且定值为 02xy0,2ADBk- 8 -试题解析：（1）由已知可得 解得 ， ，22, 4
12、casinbc2a21bc所求椭圆方程为 21xy（2）由 得 ，2, ykx2860kx则 ，解得 或 222641642k6k设 ， ，则 ， ，1,Axy2,Bxy1228x12x设存在点 ，则 ， ，0,Dm1ADk2BDymk所以 12212AByxxk 12122kxmx643要使 为定值，只需 与参数 无关，ADBk642684kmk21mk故 ，解得 ，当 时， 210m120ADB综上所述，存在点 ，使得 为定值，且定值为 0,ABk21.解：（1）当 时， ，1a21lnfxx21fxx 2f2f 在点 处的切线方程是 .x(1,)4230xy（2） 的定义域为f0,- 9
13、 -21fxax12ax12ax当 ，即当 时，由 解得 或00f当 时， ，2a0,xx当 ，即当 时，由 解得 或112a0f 2x1a综上：当 时， 的单调递增区间是 ，fx1(,)a,当 时， 的单调递增区间是12a0,当 时， 的单调递增区间是 ，0fx(,2)1,)a（3）当 时，由 知需证明a24xeln2xe令 ，lnxhe01xh设 ，则01()xo0当 时， ， 单调递减0(,)hx当 时， ， 单调递增,x0hx当 时， 取得唯一的极小值，也是最小值0hx的最小值是hx0()ln2xe00011ln2xxe01(,)xe另解：证明 （“ ”不能同时成立）1lxe22.解：（1）曲线 的普通方程为 ，则 的极坐标方程为C22()()1xyC，由于直线 过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标为24cosin7023（或 ）.3()Rta3（2）由 得 ，故24cosin70,32(3)70，1212- 9 -.1OAB1237
