1、- 1 -黑龙江省牡丹江市第一高级中学 2018-2019 学年高二数学寒假开学检测试题 理第卷（选择题） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1、复数 的共轭复数是（ ）25iA. B. C. D. 2i 2i i22、总体由编号为 的 50 个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表50,493,01中的第 1 行和第 2 行）选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则选出来的第 4 个个体的编号为（ ）78 16 65 72 08 02 63 14 07
2、 02 43 69 69 38 74 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 A05 B09 C07 D203、已知抛物线 ，则它的焦点到准线的距离为 ( ).xy82A. 4 B. 8 C.16 D. 24、如图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的有 225 个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 85、已知变量 之间满足线性相关关系 ，且 之间的相关数据如下表所yx, 13.xyy,示： - 2 -0.1 3.1则 （
3、）A. B. C. D. 8.08.16.06.16、我国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 102（mod4） 现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ） A. 13 B. 11 C. 15 D. 87、某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校 2400 名学生中抽取 30 人进行调查.现将 2400 名学生随机地从 12400 编号，按编号顺序平均分成
4、 30组（180 号，81160 号，23212400 号） ，若第 3 组与第 4 组抽出的号码之和为432，则第 6 组抽到的号码是（ ）A416 B432 C448 D4648、广东省 2018 年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考， “1”是指物理、历史两科中选考一门， “2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为( )A B C D213141619、在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成角的大小为（ 1CA12B1AB- 3 -）A. B. C. D. 60901057510、以下命题正确的个数为（ ）
5、已知 是关于 的方程 的一个根，则实数32ix2qpx 26,1qp 分别是四面体 的棱 的中点， 是线段 的靠近 点的三等分点，NM,OABC,PMN则 OP3161如果点 在运动过程中，总满足关系式 ，则点),(yx 4)3()3(222 yxyx的轨迹是双曲线。若集合 ，则集合 的不同子集个数为 64 个。6,5432,1AA某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，则恰有 1 名男生和恰有2 名男生为对立事件。A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个11、 中国诗词大会 （第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合
6、下，百人团齐声朗诵，别有韵味若将进酒 山居秋暝 望岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面， 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A288 种 B144 种 C720 种 D360 种12、已知椭圆 的右焦点为 ，且离心率为 ， 的三个顶)0(12bayx )0,1(F21ABC点都在椭圆上，设 三条边 的中点分别为点 ，且三条边所在直线ACA, ME,的斜率分别为 ，且 均不为 0， 为坐标原点，若直线 的斜率321,k321,kOOD,之和为 1，则 的值为（ ）32A. B. C. D. 4344334第卷（非选择题共 9
7、0 分）2、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13、已知三个数 12(16) ， 25(7) ， 33(4) ，则将它们按由小到大的顺序排列为abc- 4 -_ 14、用数字 组成没有重复数字的四位偶数有 个。5,4321,015、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 16、已知双曲线21(0)xyab-=的右焦点为 F，过 的直线 l交双曲线的渐近线于AB、两点，且直线 l的倾斜角是渐近线 OA倾斜角的2倍，若 则该双曲线的离心5,2AFB率为_.三、解答题：本大题共 6
8、 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、 （10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原xoyltyx148点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x C9)2cos5(2（1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；l（2）求曲线 上的点 到 的距离的最大值.CMl18、某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从 2016 级的年龄在 1819 岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各 10 名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：南方：158，170，166，169，180，17
9、5，171，176， 162，163.北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.- 5 -（1）根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论（2）设抽测的 10 名南方大学生的平均身高为 169 cm，将 10 名南方大学生的身高依次输入如图所示的 程序框图进行运算，问输出的 s 大小为多少？并说明 s 的统计学意义。 19、某高校数学与统计学院为了对 2018 年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取 40 名，对他们在 2018 年高考的数学成绩进行调查，统计发现 40 名新生的数学分数 分布在 内
10、.当 时，其频率 .X)150, *),1(0,Nnxany102（1）求 的值；a（2）请在答题卡中画出这 40 名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这 40 名新生的高考数学分数的平均数；（3）从成绩在 100120 分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为 ，求概率 nm, )10(nP- 6 -20、在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形，ABCDPPABCDA为 的中点， 为EPBC ,3,2,1,90,/ F的中点。（1）求证： 平面 ；PABEF（2）求二面角 的余弦值。21、近年来，随着我国汽车消费
11、水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间” ）进行统计，得到频率分布直方图如图 1图 1 图 2附注：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截),(),(,21nvuvu uv距的最小二乘估计分别为 ， ；niiiu12参考数据： （1）记“在 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 ”为事件 ，2017 16,8(A试估计 的概率； A- 7 -（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中 (单位：年)表示二手车的x使用时间， (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点图看出，可采用y作
12、为二手车平均交易价格 关于其使用年限 的回归方程，相关数据如下（其中bxaeyy， ）：iiYlnniY101,4.30,9.,7.8,5.iiyxyx 385,7.91021iiixYx根据回归方程类型及表中数据，建立 关于 的回归方程。22、设椭圆 的离心率为 ，左顶点到直线 的距)0(:2bayxC2302yx离为 54（1）求椭圆 的方程；（2）设直线 与椭圆 相交于 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点 ，试探究：lCBA, O点 到直线 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；OAB（3）在（2）的条件下，试求 面积 的最小值OS- 8 -牡一中 2017 级高二学年
13、下学期开学检测数学（理）答案选择 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C A C B A A C B C B B填空 13 14 15 16答案 cab 156 167714217、 （1） （2）0124:yxl 9:2yxC718、 【答案】 （1）解：由题意画出茎叶图如图所示统计结论(给出下述四个结论供参考)：北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；南方大学生的身高的中位数为 169.5 cm，北方大学生的身高的中位数是 172 cm；南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较
14、为分散（2）解：由程序框图可得 s 表示 10 位南方大学生身高的方差由题意得 10 位南方大学生身高的平均数 169，故方差为 s 是描述身高的离散程度的量，它的统计学意义是：s 的值越小，表示身高越整齐，s 的值越大，表示身高越参差不齐19、）由题意知， n 的取值为 10，11，12，13，14把 n 的取值分别代入 ，any102可得（0.510 a）+（0.5510 a）+（0.610 a）+（0.6510 a）+（0.710 a）1解得a0.04（2）频率分布直方图如图：- 9 -这 40 名新生的高考数学分数的平均数为1050.10+1150.15+1250.20+1350.25
15、+1450.30130（3）这 40 名新生的高考数学分数在100，110）的频率为 0.1，分数在110，120）的频率为 0.15，频率比 0.1：0.152：3按分层抽样的方法从成绩在 100120 分的学生中，抽取100，110）内 2 人，110，120）内 3 人，记100，110）内 2 人为 A,B，110，120）内 3 人，为 a,b,c从 5 名学生中随机抽取 2 名学生的基本事件为 AB， Aa， Ab， Ac， Ba， Bb,Bc,ab,ac,bc，共10 个，甲、乙的成绩分别为 ，满足 的有： Aa， Ab， Ac， Ba， Bb,Bc，共 6 个.nm,10所以
16、53106)(P20、.（1）略 （2）21、 （1）解:由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在 的频率为 ，在 的频率为 所以 （2）解:由 得 ，即 关于 的线性回归方程为 因为 ，所以 关于 的线性回归方程为 ，即 关于 的回归方程为 22、 （1）由已知，- 10 -因为 故所求椭圆的方程为 ;（）法一：设 ， ，当直线 l 的斜率不存在时，由椭圆对称性知 ， ，因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，故 ，即又因为点 在椭圆上，故 ，解得 ，此时点 O 到直线 AB 的距离为当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 联立 得： 所以 ，由已知，以 AB
17、为直径的圆经过坐标原点 O，则 ，且故 ，化简得 ，故点 O 到直线 AB 的距离为 综上，点 O 到直线 AB 的距离为定值法二：（若设直线方程为 ，也要对直线斜率为 0 进行讨论）设 ，当直线 l 的斜率为 0 时，由椭圆对称性知 x1=-x2， y1=y2，因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，故 ，即又因为点 在椭圆上，故 ，解得 ，此时点 O 到直线 AB 的距离为当直线 l 的斜率不为 0，或斜率不存在时，设其方程为 联立 得： 所以 ，故- 11 -，即 ,所以 ,所以 ,化简得 ，故点 O 到直线 AB 的距离为综上，点 O 到直线 AB 的距离为定值（）法一：当直线 OA、直线 OB 中有一条斜率不存在，另一条斜率为 0 时，易知 S=1;当直线 OA、直线 OB 斜率存在且不为 0 时，设直线 OA 的斜率为 k，则直线 OB 的斜率为 ，由 得 ，同理 故令 ，则 ，故 综上，AOB 面积 S 的最小值为 法二：由（） ，当直线 l 的斜率不存在时， ，当直线 l 的斜率存在时， ，且点 O 到直线 AB 的距离为 ，故 ，- 12 -令 ，则 ，因为 ，故 综上， AOB 面积 S 的最小值为 154S
