1、19.4 双曲线及其性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2016 天津 ,61.双曲线的定义及其标准方程1.了解双曲线的定义,并会用双曲线的定义解题2.了解求双曲线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2015 天津 ,6双曲线的方程 渐近线 2018 天津 ,7双曲线的几何性质点到直线的距离公式2017 天津文 ,5双曲线的渐近线和离心率直线的斜率2.双曲线的几何性质1.知道双曲线的简单几何性质(如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等),并能用其解决一些简单的双曲线问题2.理解双曲线离心率的定义,并会求双曲线的离心率2
2、014 天津 ,5双曲线的几何性质直线的方程分析解读 从高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,离心率问题也是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为 5 分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点一 双曲线的定义及其标准方程21.(2015 天津文,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近x2a2y2b2线与圆(x-2) 2+y2=3 相切,则双曲线的方程为( )
3、A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x 2- =1x29y213 x213y29 x23 y23答案 D 2.(2017 课标,5,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭x2a2y2b2 52圆 + =1 有公共焦点,则 C 的方程为 ( )x212y23A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x28y210 x24y25 x25y24 x24y23答案 B 考点二 双曲线的几何性质3.(2011 北京,10,5 分)已知双曲线 x2- =1(b0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b= .y2b2答案 2
4、4.(2016 北京,13,5 分)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的x2a2y2b2直线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a= . 答案 2炼技法【方法集训】方法 1 求双曲线的标准方程的方法1.(2016 天津文,4,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线x2a2y2b2 5与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为( )A. -y2=1 B.x 2- =1 C. - =1 D. - =1x24 y24 3x2203y25 3x253y220答案 A 2.(2015 广
5、东,7,5 分)已知双曲线 C: - =1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线x2a2y2b2 54C 的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x24y23 x29y216 x216y29 x23y24答案 C 3方法 2 双曲线的渐近线与离心率的求法3.(2017 课标,9,5 分)若双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2) 2+y2=4 所截得x2a2y2b2的弦长为 2,则 C 的离心率为( )A.2 B. C. D.3 2233答案 A 4.(2018 北京文,12,5 分)若双曲线 - =1(a0)的离心
6、率为 ,则 a= . x2a2y24 52答案 45.(2014 北京,11,5 分)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 的方程y24为 ;渐近线方程为 . 答案 - =1;y=2xx23y212过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题组考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2016 天津,6,5 分)已知双曲线 - =1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长x24y2b2的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x
7、243y24 x244y23 x24y24 x24y212答案 D 2.(2015 天津,6,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线过点(2, ),且双曲线的x2a2y2b2 3一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上,则双曲线的方程为( )7A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x221y228 x228y221 x23y24 x24y23答案 D 考点二 双曲线的几何性质41.(2018 天津,7,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的x2a2y2b2直线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的
8、同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x24y212 x212y24 x23y29 x29y23答案 C 2.(2017 天津文,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点为 F,离心率为 .若经过 Fx2a2y2b2 2和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x24y24 x28y28 x24y28 x28y24答案 B 3.(2014 天津,5,5 分)已知双曲线 - =1(a0,
9、b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双x2a2y2b2曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x25y220 x220y25 3x2253y2100 3x21003y225答案 A B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2016 课标,5,5 分)已知方程 - =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为x2m2+n y23m2-n4,则 n 的取值范围是( )A.(-1,3) B.(-1, ) C.(0,3) D.(0, )3 3答案 A 2.(2016 江苏,3,5
10、分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 的焦距是 . x27y23答案 2 103.(2016 浙江文,13,4 分)设双曲线 x2- =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,y23且F 1PF2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF2|的取值范围是 . 答案 (2 ,8)74.(2015 北京文,12,5 分)已知(2,0)是双曲线 x2- =1(b0)的一个焦点,则 b= . y2b2答案 355.(2015 课标,16,5 分)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6y28).当APF 周长最小时,该三角形的面积为
11、 . 6答案 12 6考点二 双曲线的几何性质1.(2018 课标,5,5 分)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为( )x2a2y2b2 3A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x2 322 32答案 A 2.(2018 课标,11,5 分)已知双曲线 C: -y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线x23与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则|MN|=( )A. B.3 C.2 D.432 3答案 B 3.(2018 课标,11,5 分)设 F1,F2是双曲线 C: - =1(a0,b0)的左,右焦点
12、,O 是坐标原点.x2a2y2b2过 F2作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若|PF 1|= |OP|,则 C 的离心率为( )6A. B.2 C. D.5 3 2答案 C 4.(2018 浙江,2,4 分)双曲线 -y2=1 的焦点坐标是( )x23A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- ),(0, ) 2 2 2 2D.(0,-2),(0,2)答案 B 5.(2018 课标文,10,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则点(4,0)到 Cx2a2y2b2 2的渐近线的距离为( )A. B.2 C. D.22322 2答案 D
13、 6.(2017 课标文,5,5 分)若 a1,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是( )x2a2A.( ,+) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2)2 2 2答案 C 67.(2017 课标文,5,5 分)已知 F 是双曲线 C:x2- =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴y23垂直,点 A 的坐标是(1,3),则APF 的面积为( )A. B. C. D.13 12 23 32答案 D 8.(2015 重庆,9,5 分)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,A2,过x2a2y2b2F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B,
14、C 两点.若 A1BA 2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A. B. C.1 D.12 22 2答案 C 9.(2017 课标文,14,5 分)双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为 y= x,则 a= . x2a2y29 35答案 510.(2017 课标,15,5 分)已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半x2a2y2b2径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若MAN=60,则 C 的离心率为 .答案 233C 组 教师专用题组考点一 双曲线的定义及其标准方程1.(2015 安徽,4,5 分)下列双曲线中,焦点在
15、 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是( )A.x2- =1 B. -y2=1 C. -x2=1 D.y 2- =1y24 x24 y24 x24答案 C 2.(2014 北京文,10,5 分)设双曲线 C 的两个焦点为(- ,0),( ,0),一个顶点是(1,0),2 2则 C 的方程为 . 答案 x 2-y2=13.(2012 天津文,11,5 分)已知双曲线 C1: - =1(a0,b0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近x2a2y2b2 x24y216线,且 C1的右焦点为 F( ,0),则 a= ,b= . 5答案 1;2考点二 双曲线的几何性质71.(2015 四川,5,5
16、 分)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐y23近线于 A,B 两点,则|AB|=( )A. B.2 C.6 D.4433 3 3答案 D 2.(2014 广东,4,5 分)若实数 k 满足 0b0,椭圆 C1的方程为 + =1,双曲线 C2的方程为 - =1,C1与x2a2y2b2 x2a2y2b2C2的离心率之积为 ,则 C2的渐近线方程为( )32A.x y=0 B. xy=0 C.x2y=0 D.2xy=02 2答案 A 4.(2014 重庆,8,5 分)设 F1、F 2分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在x2a2y2b2
17、一点 P 使得|PF 1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( )94A. B. C. D.343 53 94答案 B 5.(2016 山东,13,5 分)已知双曲线 E: - =1(a0,b0).若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,x2a2y2b2AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是 . 答案 26.(2015 湖南,13,5 分)设 F 是双曲线 C: - =1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中x2a2y2b2点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 . 答案 57.(2014 浙江
18、,16,4 分)设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线 - =1(a0,b0)的两条渐近线分别x2a2y2b2交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 52【三年模拟】选择题(每小题 5 分,共 60 分)81.(2018 天津和平一模,6)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,过右焦点 F 作渐近线的x2a2y2b2 32垂线,垂足为 M,O 为坐标原点,若FOM 的面积为 ,则双曲线的方程为( )5A.x2- =1 B. - =1 C. - =1 D. - =14y25 x222y25 x24y25 x216y220答案 C 2.
19、(2018 天津南开一模,6)设双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为 F(c,0)(c0),且离心率x2a2y2b2等于 .若该双曲线的一条渐近线被圆 x2+y2-2cx=0 截得的弦长为 2 ,则该双曲线的标准5 5方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x220y25 x225y2100 x25y220 x2100y225答案 C 3.(2018 天津河东一模,6)设双曲线的焦点在 x 轴上,两条渐近线的方程为 y= x,则该双曲13线的离心率 e=( )A.10 B. C. D.10102 103答案 D 4.(2018 天津河北一模,6)已知双曲
20、线 - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且它的x2a2y2b2 3一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1x227y29 x236y2108 x29y227 x2108y236答案 C 5.(2018 天津红桥一模,7)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 -y2=1(a0)交于 A,B 两点,点x2a2F 为抛物线的焦点,若FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.2 3 5 6答案 D 6.(2018 天津塘沽一中模拟,5)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一
21、条渐近线与圆(x-2) 2+y2=6x2a2y2b2相交于 A,B 两点,且|AB|=4,则此双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D.533 355 2答案 D 97.(2018 天津九校联考,5)设双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,以 F1为圆x2a2y2b2心,|F 1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内分别交于 A、B 两点,若|F 1B|=3|F2A|,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.254 43 32答案 C 8.(2018 天津河西二模,6)已知双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2,点 P 在x2a2
22、y2b2双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF2|=2,且双曲线的一条渐近线与直线 x+2y+1=0 垂直,则双曲线的方程为( )A. -y2=1 B.x 2-4y2=1 C.x 2- =1 D.4x 2-y2=1x24 y24答案 C 9.(2018 天津一中 3 月月考,5)设 F1、F 2分别是双曲线 - =1(a0,b0)的左、右焦点,若双x2a2y2b2曲线右支上存在一点 P,使得( + ) =0,其中 O 为坐标原点,且| |=2| |,则该双OPOF2 F2P PF1 PF2曲线的离心率为( )A. B. +1 C. D.233 3 52 5答案 D 10.(2018 天津南开中
23、学第四次月考,7)已知 O 为直角坐标系的坐标原点,双曲线 C: -x2a2=1(ba0)上有一点 P( ,m)(m0),点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点,过点y2b2 5P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为 A,B,若平行四边形 PAOB 的面积为 1,则双曲线的标准方程是( )A.x2- =1 B. - =1 C.x 2- =1 D. - =1y24 x22y23 y26 x232y272答案 A 11.(2017 天津和平一模,6)已知 A、B 分别为双曲线 - =1(a0,b0)的左、右顶点,P 为双x2a2y2b2曲线上一点,且ABP 为等腰三角形,若双曲线的离心率为 ,则ABP 的度数为( )2A.30 B.60 C.120 D.30或 120答案 D 1012.(2017 天津南开一模,6)双曲线 - =1(a0,b0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,x2a2y2b2两焦点为 F1,F2.若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,则双曲线的离心率是( )A. -1 B. C. D. +153+ 52 5+12 3答案 C
