1、1第八节 解三角形的综合应用课时作业练1.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC= . 答案 120( -1)m3解析 如图,ACD=30,ABD=75,AD=60 m,在 RtACD 中,CD= = =60 (m).在 RtABD 中,BD=ADtanACD60tan30 3= = =60(2- )(m),则 BC=CD-BD=60 -60(2- )=120( -1)(m).ADtanABD60tan75602+ 3 3 3 3 32.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A
2、处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上,则点 B 与电视塔的距离是 km. 答案 3 2解析 由题意知 AB=24 =6(km).在ABS 中,BAS=30,AB=6 km,ASB=75-30=45.由正弦定理知1560= ,则 BS= =3 (km).BSsin30ABsin45 ABsin30sin45 23.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则 tan = .
3、 答案 2315解析 由题意可知,在ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,2由余弦定理可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得 cos = ,所以 sin = ,所以 tan = = .516 23116 sincos 23154.为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求ACB=60,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为 . 答案 (2+ )米3解析 设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y
4、米,则 AB 的长度为(y-0.5)米.在ABC 中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即(y-0.5) 2=y2+x2-2yx ,12化简得 y(x-1)=x2- .14x1,x-10,y= ,即 y=(x-1)+ +2 +2,x2-14x-1 34(x-1) 3当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 时,上式取“=”,34(x-1) 32当 x=1+ 时,y 有最小值 2+ .32 35.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=4 ,c=5,且 B=2C,点 D 为边 BC 上一点,且 CD=3,则ADC5的面积为 . 答案 6解析 在ABC
5、 中,由正弦定理得 = ,又 B=2C,则 = ,又 sin C0,则 cos C= = ,又 C 为三角形的bsinB csinC b2sinCcosC csinC b2c255内角,则 sin C= = ,则ADC 的面积为 ACCDsin C= 4 3 =6.1-cos2C55 12 12 5 556.(2018 江苏南通摸底)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos C= ,bcos A+acos B=2,则ABC 的223外接圆面积为 . 答案 9解析 已知 bcos A+acos B=2,由正弦定理可得 2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2
6、(R 为ABC 的外接圆半径),则2Rsin(A+B)=2,则 2Rsin C=2.因为 cos C= ,所以 sin C= ,所以 R=3,故ABC 的外接圆面积为 9.223 137.(2019 泰州模拟)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20方向上,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40方向上,则灯塔 A 与 B 的距离为 km. 3答案 a3解析 由题图可知,ACB=120,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a 2+a2-2aa =3a2,解得 AB= a(km).(-12) 3
7、8.在锐角ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若 a= ,则3b2+c2的取值范围是 . 答案 (5,6解析 因为(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,所以由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,化简得 b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得 cos A= = ,所以ABC 的内角 A= .又 a= ,则 = = = =2,则b2+c2-a22bc 12 3 3 asinA bsinB csinC 332b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1-cos 2B)+2(1-c
8、os 2C)=4-2 cos 2B+cos 2 =4-2 cos 2B- sin 2B =4-(23-B) 12 322cos .又ABC 是锐角三角形,所以 解得 0,0,0a),则 a+b= . 答案 1解析 因为函数 f(x)=|2x-1|的函数值非负,所以 a0,则函数 f(x)=|2x-1|=2x-1 在a,b上递增,所以 f(a)=2a-1=a, f(b)=2b-1=b,即 a,b 是方程 2x-1=x 的两个非负根,由图象可得 a=0,b=1,所以 a+b=1.7.(2019 江苏徐州一中高三模拟)已知函数 f(x)=x|x2-3|,x0,m,其中 mR,当函数 f(x)的值域为
9、0,2时,实数 m 的取值范围是 . 答案 1,2解析 函数 f(x)=x|x2-3|= 作出函数 f(x)的图象(图略),可知当函数 f(x)的值域x3-3x,x 3,-x3+3x,0 x 3,为0,2时,1m2.8.(2018 江苏三校联考)已知 , ,且 sin(+2)= .(0, 2) 13(1)若 += ,求 sin 的值;23(2)若 sin = ,求 cos 的值.45解析 (1)+= ,sin(+2)= ,23 13sin = ,(23 + )13 , + ,(0, 2) 23 (23,76 )cos =- ,(23 + ) 223sin =sin =sin cos -cos sin = - =(23 + )-23 (23 + ) 23 (23 + ) 23 13 (-12)(-223) 32.26-16(2)sin = , ,cos = = ,45 (0, 2) 1-sin2 35sin 2=2sin cos = ,cos 2=2cos 2-1=- ,2425 7252 ,( 2, )又 sin(+2)= ,+2 ,所以 cos(+2)=- ,13 ( 2,32) 223所以 cos =cos(+2)-2=cos(+2)cos 2+sin(+2)sin 2=- + = .223 (-725)13 242524+142757
