1、12.1 函数及其表示【真题典例】挖命题【考情探究】5年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度函数的概念及其 表 示1.了解函数、映射的概念,会求一些简单的函数定义域和值域.2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2015浙江,7 函数的概念2018浙江,15分段函数及其应用函数的零点、不等式的解法2015浙江文,12分段函数及其应用函数的最值分段函数及其应 用了解简单的分段函数,并能简单应用.2014浙江,15分段函数及其应用复合函数2分析解读 1.考查重点仍为函数的表示法,分段函数等基本知识点,考查形式有两种,一种是给出分段函数表达式,求相应的函数值或相应的参数值(例
2、: 2014浙江15题);另一种是定义一种运算,给出函数关系式考查相关的数学知识(例: 2015浙江7题).2.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,能运用求值域的方法解决最值问题.3.函数值域和最值是高考考查的重点,常以本节内容为背景结合其他知识进行考查,如解析式与函数最值相结合(例:2015浙江7题).4.函数的零点也是常考的知识点,常常与不等式结合在一起考查(例:2018浙江15题).5.预计2020年高考试题中,考查分段函数及其应用、函数值域与最值的可能性很大,特别是对与不等式、函数单调性相结合的考查,复习时应重视.破考点【考点集训】考点一 函数的概念及其表示1.(201
3、7浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x+1)= +,则f(0)+f(2 017)的最大值为( )()- 2()A.1- B.1+ C. D.22 22答案 B 2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,17)已知a0,函数f(x)=|x 2+|x-a|-3|在区间-1,1上的最大值是2,则a= . 答案 3或考点二 分段函数及其应用1.(2017浙江宁波二模(5月),6)设f(x)= 则函数y=f(f(x)的零点之和为( )-,0,log2,0,A.0 B.1 C.2 D.4答案 C 32.(2018浙江台州高三期末质检,8)已知函数f(x)= 若函数g(x
4、)=f(x)-+1,0,-2+3,0,k(x+1)在(-,1上恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围是( )A.1,3) B.(1,3C.2,3) D.(3,+)答案 A 炼技法【方法集训】方法1 求函数定义域的方法1.(2015湖北,6,5分)函数f(x)= +lg 的定义域为 ( ) 4-|2-5+6-3A.(2,3) B.(2,4C.(2,3)(3,4 D.(-1,3)(3,6答案 C 2.已知函数f(x)的定义域为-8,1,则函数g(x)= 的定义域是( )(2+1)+2A.(-,-2)(-2,3 B.-8,-2)(-2,1C. (-2,0 D.-92,-2) -92,-2答案 C 方
5、法2 求函数解析式的方法(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R的函数f(x)满足f(f(x)+f(y)=2f(x)+4y-3,则当x0时,函数f(x)的取值范围是 . 答案 (-1,+)方法3 求函数值域的方法1.(2018浙江杭州重点中学第一学期期中,16)若函数f(x)=(-x 2-2x+3)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的值域为 . 4答案 (-,162.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义:maxa,b= 已知函数f(x)=max|2x-,0, 2,则b+c= ;方程f(x)=x的所有实根的和为 . 答案 6;-12.(20
6、18浙江新高考调研卷二(镇海中学),12)已知函数f(x)= 则f( )+f3(2-1)(|1),3(|1), 10= ,若f(x)=-1,则x= . (cos6004 )答案 ;-1或233过专题【五年高考】A组 自主命题浙江卷题组考点一 函数的概念及其表示(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意xR都有( ) A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|答案 D 考点二 分段函数及其应用1.(2018浙江,15,6分)已知R,函数f(x)= 当=2时,不等式f(x)1,f(x)的最小值是
7、 . 答案 -;2 -663.(2014浙江文,15,4分)设函数f(x)= 若f(f(a)=2,则a= . 2+2+2,0,-2,0. 答案 24.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)= 若f(f(a)2, 则实数a的取值范围是 2+,.(1)求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间0,6上的最大值M(a).解析 (1)由于a3,故当x1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,当x1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,
8、使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x 2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,32+ 2,-2+4-2,2+ 2.(ii)当0x2时,F(x)f(x)maxf(0), f(2)=2=F(2),当2x6时,F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)= 34-8,3-2,aR)有最大值,则f(x)B.2+1其中的真命
9、题有 .(写出所有真命题的序号) 答案 考点二 分段函数及其应用1.(2018课标全国文,12,5分)设函数f(x)= 则满足f(x+1)0, ( )A.(-,-1 B.(0,+)C.(-1,0) D.(-,0)答案 D 2.(2017山东文,9,5分)设f(x)= 若f(a)=f(a+1),则f =( ),00,0,=0,-1,1),则( )A.sgng(x)=sgn x B.sgng(x)=-sgn xC.sgng(x)=sgnf(x) D.sgng(x)=-sgnf(x)答案 B 4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上,f(x)
10、=则f(f(15)的值为 . cos2,00, 1的x的取值范围是 . (-12)答案 (-14,+)C组 教师专用题组考点一 函数的概念及其表示(2014江西,2,5分)函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.0,1C.(-,0)(1,+) D.(-,01,+)答案 C 考点二 分段函数及其应用1.(2015课标,5,5分)设函数f(x)= 则f(-2)+f(log 212)=( )1+2(2-),0,cos,0,A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为-1,+)答案 D 【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分
11、)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,7)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意的xD,存在yD,使得f(x)=-f(y)成立,则称函数f(x)为“H函数”.下列为“H函数”的是( ) A.y=sin xcos x+cos2x B.y=ln x+exC.y=2x D.y=x2-2x答案 B 2.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知函数f(x)= 且f =0,则不等式f2+1,0,12,0, (-12)(x)m的解集为( )A. B.(0, 22) (0, 24)C. D.(-1,+)(-1, 24)答案 C 3.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),8)已知函数f(x)=
12、 +bcosx+x,且满足f(1-1-)=3,则f(1+ )=( )2 2A.2 B.-3 C.-4 D.-1答案 D 104.(2018浙江宁波模拟,9)已知a为正常数, f(x)= 若存在 ,满足f(sin )=f(cos 2-+1,2-3+22+1,2. x)0,2-+2,0 +1,则实数a的取值范围为 . 答案 -2-2 -1,127.(2018浙江诸暨高三上学期期末,17)已知a,bR,f(x)=|2 +ax+b|,若对于任意的x0,4, f(x)恒成立,则a+2b= . 答案 -2三、解答题(共30分)8.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数f(x)=-2,0,1,- 55(
13、-1),1,3.(1)求f 及x2,3时函数f(x)的解析式;(52)(2)若f(x)对任意的x(0,3恒成立,求实数k的最小值.解析 (1)f =- f =f = .(52) 55 (32) (12) 120当x2,3时,x-20,1,所以f(x)= (x-2)-(x-2) 2= (x-2)(3-x).(2)要使f(x),x(0,3恒成立,只需kxf(x) max,x(0,3即可.当x(0,1时,f(x)=x-x 2,则对任意的x(0,1,xf(x)=x 2-x3.令h(x)=x 2-x3,则h(x) max=h = ;(23) 42711当x(1,2时,xf(x)=- x(x-1)-(x-
14、1)2= x(x-1)(x-2)0;55 55当x(2,3时,xf(x)= x(x-2)-(x-2) 2,令x-2=t,则t(0,1,记g(t)= (t+2)(t-t 2),t(0,1.则g(t)=- (3t 2+2t-2),令g(t)=0,得t 0= (负值舍去),-1+ 73故存在t 0= 使得函数g(t) 在t=t 0处取得最大值,为 .-1+ 73 147-20135又 ,所以当k 时, f(x)对任意的x(0,3恒成立,427147-20135 427故实数k的最小值为 .4279.(2018浙江镇海中学阶段性测试,20)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x 2+bx+c(b,c
15、R),对任意的xR恒有f(x)g(x)成立.(1)求证:g(x)0恒成立;(2)设b=0时,记h(x)= (x2,+),求函数h(x)的值域;()()(3)若对满足条件的任意实数b,c,不等式g(c)-g(b)M(c 2-b2)恒成立,求M的最小值.解析 (1)证明:f(x)g(x)恒成立,即x 2+(b-2) x+c-b0,=(b-2) 2-4(c-b)0,b 2-4c+40,b 2-4c-40恒成立.(2)b=0,h(x)= ,由 (1)知c1.12(+)当1c4时,h(x)在2,+)上为增函数,h(x)的值域为 ;1+4,+)当c4时,h(x)在2, 上为减函数 ,在 ,+)上为增函数 , h(x)的值域为 ,+).综上,1c4时,h(x)的值域为 ,c4时,h(x)的值域为 ,+).1+4,+) (3)由(1)推得b 2-4c+40,4c-4bb 2-4b+4=(b-2)20,c-b0,同理,c+b0,又g(c)-g(b)M(c 2-b2),即(c+2b)(c-b)M(c 2-b2),当c 2=b2时,(c+2b)(c-b)=0或-2b 2,MR;当c-b0且c+b0时,M =1+ 恒成立,+2+ +12只需求当cb0时,的最大值即可,而 = ,+ + 1+11, ,+M,即M的最小值为.
