1、16.1 数列的概念与简单的表示法【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017 浙江,22数列的概念、递推公式数学归纳法、不等式证明2016 浙江,13数列的通项公式、递推公式、前 n项和数列的概念及表示方法1.了解数列的概念和几种表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊的函数.2015 浙江文,17数列的通项公式、前 n 项和分析解读 1.了解数列的表示方法(如通项公式),并会求已知递推数列的通项公式.几种基本类型的通项公式的求法在高考中常常出现.2.已知 Sn求 an,特别是讨论 n=1 和 n2(nN *)
2、的情形也是高考中重点考查的内容.3.对本节知识的考查往往和其他知识相联系,预计 2020 年高考中会有所涉及.2破考点【考点集训】考点 数列的概念及表示方法1.(2018 浙江名校协作体期初,4)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an-3(nN *),则 S6=( ) A.192 B.189 C.96 D.93答案 B 2.(2018 浙江萧山九中 12 月月考,13)在数列a n中,a 1=2,a2=10,且 an+2=an+1-an(nN *),则a4= ,数列a n的前 2 016 项和为 . 答案 -2;0炼技法【方法集训】方法 已知数列的递推公式求通项公式1.(2
3、018 浙江台州第一次调考,6)设数列a n,bn满足 an+bn=700,an+1= an+bn,nN *,若710a6=400,则( ) A.a4a3 B.b4b3 D.a40, +2an=4Sn+3.2(1)求a n的通项公式;(2)设 bn= ,求数列b n的前 n 项和.1+1解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.2 2+1可得 - +2(an+1-an)=4an+1,2+12即 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an).2+12由于 an0,可得 an+1-an=2.又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去)或
4、a1=3.21所以a n是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.(2)由 an=2n+1 可知bn= = = .1+1 1(2+1)(2+3) 12( 12+1- 12+3)设数列b n的前 n 项和为 Tn,则Tn=b1+b2+bn=12(13-15)+(15-17)+( 12+1- 12+3)= .3(2+3)C 组 教师专用题组考点 数列的概念及表示方法1.(2014 课标,16,5 分)数列a n满足 an+1= ,a8=2,则 a1= . 11-4答案 2.(2013 安徽,14,5 分)如图,互不相同的点 A1,A2,An,和 B1,B2,Bn,分别在角
5、O 的两条边上,所有 AnBn相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等.设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列a n的通项公式是 . 答案 a n= 3-23.(2016 课标全国,17,12 分)已知各项都为正数的数列a n满足 a1=1, -(2an+1-1)an-22an+1=0.(1)求 a2,a3;(2)求a n的通项公式.解析 (1)由题意得 a2=,a3=.(5 分)(2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0 得 2an+1(an+1)=an(an+1).2因为a n的各项都为正数,所以 =.+1故a n是首项为 1,公比为的等比数列,因此 a
6、n= .(12 分)12-1思路分析 (1)根据数列的递推公式,由 a1可求出 a2,由 a2求出 a3.(2)把递推公式因式分解得出a n是等比数列,求出其通项公式.4.(2014 大纲全国,17,10 分)数列a n满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设 bn=an+1-an,证明b n是等差数列;(2)求a n的通项公式.解析 (1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得,an+2-an+1=an+1-an+2,即 bn+1=bn+2.又 b1=a2-a1=1.所以b n是首项为 1,公差为 2 的等差数列.(2)由(1)得 bn=1+2(n-1),即
7、an+1-an=2n-1.5于是=1(+1-)=1(2-1),所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1.又 a1=1,所以a n的通项公式为 an=n2-2n+2.5.(2014 湖南,16,12 分)已知数列a n的前 n 项和 Sn= ,nN *.2+2(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn= +(-1)nan,求数列b n的前 2n 项和.2解析 (1)当 n=1 时,a 1=S1=1;当 n2 时,a n=Sn-Sn-1= - =n.2+2 (-1)2+(-1)2当 n=1 时,a 1=1 也适合上式,故数列a n的通项公式为 an=n(nN *).(2)由(1)知,
8、b n=2n+(-1)nn,记数列b n的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记 A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则 A= =22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.2(1-22)1-2故数列b n的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2.评析 本题考查数列的前 n 项和与通项的关系,数列求和等知识,含有(-1) n的数列求和要注意运用分组求和的方法.6.(2014 江西,17,12 分)已知数列a n的前 n 项和 Sn= ,nN *.32-2(1)求数列a n的通项公
9、式;(2)证明:对任意的 n1,都存在 mN *,使得 a1,an,am成等比数列.解析 (1)由 Sn= ,得 a1=S1=1,当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=3n-2.32-2经验证,a 1=1 符合 an=3n-2,所以数列a n的通项公式为 an=3n-2.(2)证明:要使 a1,an,am成等比数列,只需要 =a1am,26即(3n-2) 2=1(3m-2),即 m=3n2-4n+2,而此时 mN *,且 mn,所以对任意的 n1,都存在 mN *,使得 a1,an,am成等比数列.7.(2014 广东,19,14 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+
10、1-3n2-4n,nN *,且 S3=15.(1)求 a1,a2,a3的值;(2)求数列a n的通项公式.解析 (1)依题有 1=1=22-3-4,2=1+2=43-12-8,3=1+2+3=15, 解得 a1=3,a2=5,a3=7.(2)S n=2nan+1-3n2-4n,当 n2 时,S n-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得 an+1= (n2).(2-1)+6+12由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当 n=1 时,a 1=2+1=3,命题成立;当 n=2 时,a 2=22+1=5,命题成立;假设当 n=k 时,a k=2k+1 命题成立.
11、则当 n=k+1 时,a k+1=(2-1)+6+12=(2-1)(2+1)+6+12=2k+3=2(k+1)+1,即当 n=k+1 时,结论成立.综上,nN *,an=2n+1.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.(2019 届浙江“超级全能生”9 月联考,10)已知数列a n满足 a1=2,an+1= (nN *),设12(+1)bn= ,则 b100=( ) -1+1A.3-198 B. C. D.3-298 3-299 3-2100答案 C 72.(2018 浙江镇海中学阶段测试,8)已知数列a n满足 a1=,an+1= -an+1(nN *),则2m= + +
12、 的整数部分是( )111212 013A.1 B.2 C.3 D.4答案 B 3.(2018 浙江宁波模拟,5)记 Sn为数列a n的前 n 项和.对“任意正整数 n,均有 an0”是“Sn为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 22 分)4.(2019 届浙江温州普通高中适应性测试,16)已知数列a n满足 an+1=an+kan-1(nN *,n2),且 2a1=a2=-2a4=2,则 an的最大值为 . 答案 25.(2018 浙江新高考调研卷三(杭州二中),13)已知数列a
13、n满足:a 1=3,an+1= -2an+2,则 a3= 2;an= . 答案 17; +122-16.(2018 浙江新高考调研卷二(镇海中学),14)有一个著名的猜想叫“3X+1 猜想”,它是说:任给一个正整数,如果它是偶数,就将它减半;如果它是奇数,则将它乘 3 加 1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 5,按照上述变换规则,我们得到一个数列:5,16,8,4,2,1,.那么,当初始正整数为 2 时,按照上述规则进行变换(注:1 可以多次出现),第 8 项为 ; 如果对正整数 n(首项)按照上述规则进行变换(注:1 可以多次出现)后的第 8 项为 1,则
14、 n 的所有可能值的集合为 . 答案 1;2,3,16,20,21,1287.(2018 浙江温州二模(3 月),14)若递增数列a n满足:a 1=a,a2=2-a,an+2=2an,则实数 a 的取值范围为 ,记数列a n的前 n 项和为 Sn,则 S2n= . 8答案 0 = ,+1 +1a n= a1= 1=n.-1-1-2-2-321 -1 -1-2 -2-3故数列a n的通项公式为 an=n.(2)证明:b n=n+,故不等式 + + +ln n 等价于 + + + +ln n.11121 112+1 222+1 332+1 2+1设 Tn= + + + -ln n,则112+12
15、22+1332+12+1Tn+1= + + + + -ln(n+1).112+1222+1332+12+1+1(+1)2+1所以 Tn+1-Tn= +ln n-ln(n+1)= -ln .+1(+1)2+1+1(+1)2+1 (1+1)又当 x0 时,有不等式 ln(1+x)x- ,令 x=,有 ln - ,22 (1+1) 122所以 Tn+1-Tn= -ln -+1(+1)2+1 (1+1)+1(+1)2+1122=- 0.2+2-222(+1)2+19因此 TnTn-1T1= -ln 1=0,故不等式 + + + +ln n 成立,所以11+1 112+1 222+1 332+1 2+1+ + +ln n.11121
