1、17.5 绝对值不等式挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2017 浙江,15,17绝对值三角不等式的应用,含绝对值不等式的解法向量的模的最值,函数最值2016 浙江,8,20绝对值三角不等式的应用不等式命题的判断、数列不等式的证明含绝对值不等式的解法1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义,能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.理解|x|a 的解法与几何意义.掌握|x|a,|ax+b|c,|ax+b|c 型不等式的解法.3.掌握|x-a|+|x-b|c 和|x-a|+|x-b|c 型不等式的解法.2015 浙江,18绝对值三角不等式的
2、应用,含绝对值不等式的解法二次函数的最值分析解读 1.主要考查绝对值的几何意义和绝对值不等式的解法,利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2.绝对值不等式常与函数(例:2015 浙江,18)、导数、数列(例:2016 浙江,20)等知识联系在一起,难度较大,是近两年浙江高考命题的热点.3.预计 2020 年高考中,仍会对绝对值不等式进行考查.利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式,以及含绝对值不等式的解法仍是重点之一,复习时要足够重视.破考点【考点集训】考点 含绝对值不等式的解法1.(2018 浙江杭州高三教学质检,1)设集合 A=x|x+2|2,B=0,4,则 R(AB)=
3、( ) A.R B.02C.x|xR,x0 D.答案 C 2.(2018 浙江浙东北联盟期中,17)设 a,bR,a0)型的不等式的解法1.已知不等式|2x-1|-|x+1|-,故-0,此时无解.综上得-1 时,式化为 x2+x-40,从而 11,2,-11,-2,2.可得 f(x)0 的解集为x|-2x3.(2)f(x)1 等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当 x=2 时等号成立.故 f(x)1 等价于|a+2|4.由|a+2|4 可得 a-6 或 a2.所以 a 的取值范围是(-,-62,+).方法总结 解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或
4、数形结合法求解;求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.3.(2018 课标全国,23,10 分)选修 45:不等式选讲设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出 y=f(x)的图象;(2)当 x0,+)时, f(x)ax+b,求 a+b 的最小值.5解析 本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)=-3,1 时,等价于 a-1+a3,解得 a2.所以 a 的取值范围是2,+).(10 分)方法指导 (1)将 a=2 代入不等式,化简后去绝对值求解;(2)要使 f(x)+g(x)3 恒成立,只需 f(x)+g(x)的最小值3 即
5、可,利用|a|+|b|ab|可求最值.6.(2016 课标全国,24,10 分)已知函数 f(x)= + ,M 为不等式 f(x)1 的解集.解析 (1)f(x)= (4 分)-4,-1,3-2,-132, y=f(x)的图象如图所示.8(6 分)(2)解法一:由 f(x)的表达式及图象知,当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3;当 f(x)=-1 时,可得 x=或 x=5,(8 分)故 f(x)1 的解集为x|15所以|f(x)|1 的解集为 .(10 分)|5解法二:根据 y=f(x)的分段函数表达式,有:当 x-1 时,|f(x)|1 的解集为x|x-1;当-11 的解集为 ;|
6、-1-时,|f(x)|1 的解集为 x|x5.|321 的解集为 .|58.(2015 课标,24,10 分)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集;(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.解析 (1)解法一:当 a=1 时, f(x)1 化为|x+1|-2|x-1|-10.当 x-1 时,不等式化为 x-40,无解;当-10,解得0,解得 1x1 的解集为 .(5 分)|231. 画出 f(x)的图象 (如图所示),根据图象可得不等式 f(x)1 的解集为 .(5 分)|23. 所以函数
7、f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ,B(2a+1,0),(2-13 ,0)C(a,a+1),ABC 的面积为 (a+1) 2.由题设得 (a+1) 26,故 a2.所以 a 的取值范围为(2,+).(10 分)9.(2015 江苏,21D,10 分)解不等式 x+|2x+3|2.解析 原不等式可化为 或0).|+1|(1)证明:f(x)2;(2)若 f(3)0,得 f(x)= +|x-a| =+a2.|+1| |+1-(-)|所以 f(x)2.(2)f(3)= +|3-a|.|3+1|当 a3 时, f(3)=a+,由 f(3)1.(1)当 a=2 时,求不等式 f(x
8、)4-|x-4|的解集;(2)已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2 的解集为x|1x2,求 a 的值.解析 (1)当 a=2 时, f(x)+|x-4|= -2+6,2,2,2-1,且当 x 时, f(x)g(x),求 a 的取值范围.-2,12)解析 (1)当 a=-2 时,不等式 f(x)1. 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当 x 时, f(x)=1+a.-2,12)不等式 f(x)g(x)化为 1+ax+3.所以 xa-2 对 x 都成立.-2,12)故-a-2,即 a.从而 a 的取值范围是 .(-1
9、,43方法总结 (1)解含有绝对值符号的不等式的关键是去掉绝对值符号,可利用零点分段讨论法把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式,也可设出函数,利用函数图象解决.(2)对于不等式恒成立求参数问题,常分离参数,进而构造函数,转化为求最值问题.14.(2012 课标全国,24,10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|.12(1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)3 的解集;(2)若 f(x)|x-4|的解集包含1,2,求 a 的取值范围.解析 (1)当 a=-3 时,f(x)=-2+5, 2,1,23,2-5,3. 当 x2 时,由 f(x
10、)3 得-2x+53,解得 x1;当 2x3 时, f(x)3 无解;当 x3 时,由 f(x)3 得 2x-53,解得 x4,所以 f(x)3 的解集为x|x1x|x4.(2)f(x)|x-4|x-4|-|x-2|x+a|.当 x1,2时,|x-4|-|x-2|x+a|4-x-(2-x)|x+a| -2-ax2-a.由条件得-2-a1 且 2-a2,即-3a0.故满足条件的 a 的取值范围为-3,0.评析 本题考查了含绝对值不等式的解法,运用分类讨论解含绝对值的不等式,考查了学生的运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.(2019 届浙江嘉兴 9 月基础测试,
11、10)已知 mR,函数 f(x)= +m 在2,5上的最大|+3-1-|值是 5,则 m 的取值范围是( ) A. B.(-,72 (-,52C.2,5 D.2,+)答案 A 2.(2018 浙江稽阳联谊学校高三联考(4 月),1)已知集合 P=x|2x-1|1,Q=0,1,2,3,4,则 PQ=( ) A.2,3,4 B.(0,1)C.0,1 D.答案 D 133.(2018 浙江杭州高三教学质检,9)设函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR),记 M 为函数 y=|f(x)|在-1,1上的最大值,N 为|a|+|b|的最大值,下列正确的是( )A.若 M=,则 N=3 B.若 M=,则
12、N=3C.若 M=2,则 N=3 D.若 M=3,则 N=3答案 C 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 20 分)4.(2019 届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)已知 a,b 为实数,不等式|x 2+ax+b|x 2-7x+12|对一切实数 x 都成立,则 a+b= . 答案 55.(2019 届浙江高考模拟试卷(五),17)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,若对任意 x0,1都有|f(x)|M 恒成立,且不等式|a+b+2c|tM 恒成立,则 t 的最小值是 . 答案 26.(2018 浙江杭州第二次教学质量检测(4 月),16)设函数 f(x)(xR)满足|f(x)-x2|,|f(x)+1-x 2|,则 f(1)= . 答案 7.(2018 浙江 9+1 高中联盟期中,17)当 x 时,不等式|ax 2+bx+4a|2x 恒成立,则 6a+b32,4的最大值是 . 答案 68.(2018 浙江宁波模拟,16)已知实数 a,b,c 满足:a+b+c=-2,abc=-4,则|a|+|b|+|c|的最小值为 . 答案 6
