1、1第三节 导数与函数的单调性A组 基础题组1.函数 f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是( ) A.增函数 B.减函数C.先增后减 D.先减后增答案 A 在(0,2)上有 f(x)=1-cosx0恒成立,所以 f(x)在(0,2)上单调递增.2.函数 f(x)=3+xlnx的单调递减区间是( )A. B.(1e,e) (0,1e)C. D.(- ,1e) (1e,+ )答案 B 因为函数 f(x)的定义域为(0,+),且 f(x)=lnx+x =lnx+1,令 f(x)1时,xf(x)0,所以 f(x)0,函数 f(x)递增.2所以当 x=1时,函数 f(x)取得极小值.当 x
2、0,函数 f(x)递增,当-10,所以 f(x)- 时,1xa(x+1a)x 1af(x)0,所以 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .1a (0,-1a) (-1a,+ )7.函数 f(x)=lnx- 为 函数(填“增”或“减”). x1+2x答案 增解析 由已知得 f(x)的定义域为(0,+).f(x)=lnx- ,x1+2xf(x)= - = .1x1+2x-2x(1+2x)2 4x2+3x+1x(1+2x)2x0,4x 2+3x+10,x(1+2x)20.当 x0时,f(x)0.f(x)在(0,+)上是增函数.8.若 f(x)=xsinx+cosx,则 f(-3),f ,f(
3、2)的大小关系是 . (2)答案 f(-3)f(2)f(3)=f(-3).(2)9.已知函数 f(x)=lnx+ x2-(a+1)x.若曲线 y=f(x)在 x=1处的切线方程为 y=-2,求 f(x)的单调区间.a2解析 由已知得 f(x)= +ax-(a+1),则 f(1)=0.1x而 f(1)=ln1+ -(a+1)=- -1,a2 a2曲线 y=f(x)在 x=1处的切线方程为 y=- -1.a2- -1=-2,解得 a=2.a2f(x)=lnx+x 2-3x,f(x)= +2x-3.1x由 f(x)= +2x-3= 0,1x 2x2-3x+1x得 01,12由 f(x)= +2x-3
4、0都有 2f(x)+xf(x)0成立,则( ) A.4f(-2)9f(3)C.2f(3)3f(-2) D.3f(-3)0时,g(x)0,所以 g(x)在(0,+)上是增函数,易得 g(x)是偶函数,则 4f(-2)=g(-2)=g(2)0,解得 a-3,所以实数 a的取值范围是(-3,0)(0,+).3.已知函数 f(x)=x2+alnx.4(1)当 a=-2时,求函数 f(x)的单调递减区间;(2)若函数 g(x)=f(x)+ 在1,+)上单调,求实数 a的取值范围.2x解析 (1)由题意知,函数的定义域为(0,+),当 a=-2时,f(x)=2x- = ,2x2(x+1)(x-1)x由 f(x)1时,g(x)0.解析 (1)f(x)=2ax- = (x0).1x2ax2-1x当 a0 时,f(x)0时,由 f(x)=0得 x= .12a当 x 时,f(x)0,f(x)单调递增.(12a,+ )(2)证明:令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1.当 x1时,s(x)0,所以 s(x)在(1,+)内为增函数,所以 s(x)s(1),即 ex-1x,5从而 g(x)= - 0.1x 1ex-1
