1、1第五节 导数的综合应用(一)A组 基础题组1.(2018广东广州一模,12)设函数 f(x)在 R上存在导函数 f(x),对于任意的实数 x,都有 f(x)+f(-x)=2x2,当 x0,g(x)在1,2上单调递增,g(x)g(1)=e-20,g(x)在1,2上单调递增,解得 m-e 或 eme+1,m 的最大值为 e+1,无最小值,故选 D.m g(x)min=g(1)=e+1,m2-2 g(x)max=g(2)=e2-2,3.(2018课标全国文,21,12 分)已知函数 f(x)=aex-lnx-1.(1)设 x=2是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;(2)证明:当
2、 a 时,f(x)0.1e解析 (1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex- .由题设知,f(2)=0,所以 a= .1x 12e2从而 f(x)= ex-lnx-1,f(x)= ex- .12e2 12e2 1x当 02时,f(x)0.2所以 f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.(2)证明:当 a 时,f(x) -lnx-1.1e exe设 g(x)= -lnx-1,则 g(x)= - .exe exe1x当 01时,g(x)0.所以 x=1是 g(x)的最小值点.故当 x0时,g(x)g(1)=0.因此,当 a 时,f(x)0.1e4.(2018贵州适应性考试
3、)已知函数 f(x)=ax-ex(aR),g(x)= .lnxx(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)x0(0,+),使不等式 f(x)g(x)-e x成立,求 a的取值范围.解析 (1)f(x)=a-e x,xR.当 a0 时,f(x)0时,令 f(x)=0得 x=lna.由 f(x)0得 f(x)的单调递增区间为(-,lna);由 f(x)2(x-lnx).解析 (1)因为 f(x)= ,exx所以 f(x)= = ,f(2)= ,exx-exx2 ex(x-1)x2 e24又切点为 ,所以切线方程为 y- = (x-2),(2,e22) e22e24即 e2x-4y=0.(2)设函数
4、g(x)=f(x)-2(x-lnx)= -2x+2lnx,x(0,+),exx则 g(x)= -2+ = ,x(0,+).ex(x-1)x2 2x(ex-2x)(x-1)x2设 h(x)=ex-2x,x(0,+),则 h(x)=ex-2,令 h(x)=0,则 x=ln2.当 x(0,ln2)时,h(x)0.所以 h(x)min=h(ln2)=2-2ln20,故 h(x)=ex-2x0.令 g(x)= =0,则 x=1.(ex-2x)(x-1)x2当 x(0,1)时,g(x)0.所以 g(x)min=g(1)=e-20,故 g(x)=f(x)-2(x-lnx)0,从而有 f(x)2(x-lnx)
5、.2.(2019河南开封模拟)设函数 f(x)=x2-ax+b.(1)讨论函数 f(sinx)在 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;(-2,2)(2)记 f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sinx)-f 0(sinx)|在 上的最大值 D;-2,2(3)在(2)中,取 a0=b0=0,求 z=b- 满足条件 D1 时的最大值.a24解析 (1)f(sinx)=sin 2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b,- 0,-22sinx2.2 24a-2,bR 时,函数 f(sinx)单调递增,无极值.a2,bR 时,函数 f(sinx)单调递减,无极值.对于-2a2,
6、在 内存在唯一的 x0,(-2,2)使得 2sinx0=a.- xx 0时,函数 f(sinx)单调递减;2x0x 时,函数 f(sinx)单调递增.2因此,-2a2,bR 时,函数 f(sinx)在 x0处有极小值,f(sinx0)=f =b- .(a2) a24(2)- x 时,|f(sinx)-f 0(sinx)|=|(a0-a)sinx+b-b0|a-a 0|+|b-b0|,2 2当(a 0-a)(b-b0)0 时,取 x= ,等号成立,2当(a 0-a)(b-b0)0时,取 x=- ,等号成立.2由此可知,|f(sinx)-f 0(sinx)|在 上的最大值为 D=|a-a0|+|b-b0|.-2,2(3)D1 即为|a|+|b|1,此时 0a 21,-1b1,从而 z=b- 1.a24取 a=0,b=1,则|a|+|b|1,并且 z=b- =1.a24由此可知,z=b- 满足条件 D1 的最大值为 1.a24
