1、1第二节 函数的单调性与最值A组 基础题组1.下列函数中,在区间(0,+)上存在最小值的是( )A.y=(x-1)2 B.y= C.y=2x D.y=log2x答案 A 当 x0时,y= 0,y=2x1,y=log2xR,故 B,C,D均不符合题意,而 y=(x-1)20,故选 A.2.下列函数中,满足“x 1,x2(0,+),且 x1x 2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)答案 A 依题意得 f(3)=f(1),因为-11,A.x0R,f(-x 0)-f(x 0) B.xR,f(-x)f(x)C.函数 f(x)在 上单调递增 D.
2、 f(x)的值域是-1,1-2,2答案 D 结合函数的图象(图象略),由于图象关于原点对称,故 f(x)是奇函数,因此 A,B选项错误;观察图象可知函数在-3,-1上递减,在(-1,1上递增,在(1,3上递减,且值域为-1,1,故 C错误,D 正确.故选 D.26.(2018北京石景山期末,6)给定函数y= ,y=lo (x+1),y=|x-1|,y=2 x+1,其中在区间(0,1)上单调递12 g12减的函数是( )A. B. C. D.答案 C 本题主要考查函数的单调性.由幂函数的性质可得,y= 在定义域内单调递增,故错误;x12由对数函数的性质可知,y=lo (x+1)在定义域内单调递减
3、,故正确;g12由函数的图象及性质可得,y=|x-1|在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故正确;由指数函数的性质可得,y=2 x+1在定义域内递增,故错误.故选 C.7.(2016北京朝阳二模,7)已知函数 f(x)= (a0,且 a1)的最大值为 1,则 a的取值范围是( )x-1,x2,2+logax,x2A. B.(0,1) C. D.(1,+)12,1) (0,12答案 A 当 x2 时, f(x)=x-1 单调递增,f(x) max=f(2)=1,由题意知,当 x2时, f(x)=2+log ax必为减函数, 解得a0,x1+20,x2+20,1-2a,即实数 a的取值
4、范围是 .(12,+ )9.已知函数 f(x)= - (a0,x0).(1)求证:f(x)在(0,+)上是增函数;3(2)若 f(x)在 上的值域是 ,求 a的值.12,2 12,2解析 (1)证明:任取 x1,x2(0,+),且 x2x1,则 x2-x10,x1x20,f(x 2)-f(x1)= - = - = 0,(1a-1x2)(1a-1x1) 1x11x2x2-x1x1x2f(x 2)f(x1),f(x)在(0, +)上是增函数.(2)f(x)在 上的值域是 ,12,2 12,2且 f(x)在 上单调递增,12,2f =,f(2)=2,a=.(12)B组 提升题组10.(2018北京东
5、城期末,5)已知函数 f(x)= ,则 f(x)的( )4x+12xA.图象关于原点对称,且在0,+)上是增函数B.图象关于 y轴对称,且在0,+)上是增函数C.图象关于原点对称,且在0,+)上是减函数D.图象关于 y轴对称,且在0,+)上是减函数答案 B f(x)= , f(-x)= = =f(x),4x+12x 4-x+12-x 1+4x2xf(x)的图象关于 y轴对称.任取 x1,x20,+),且 x10, - f(x1),12x1+x2 2x12x2f(x)在0,+)上单调递增,故选 B.11.(2018北京东城二模,7)已知函数 f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在 x1
6、,x2 ,使得 f(x1)=g(x2),则实数 a12,2的取值范围是 ( )A.-5,0 B.(-,-50,+) C.(-5,0) D.(-,-5)(0,+)4答案 A 由 f(x)=log2x,x ,得 f(x)-1,1.12,2若存在 x1,x2 ,使得 f(x1)=g(x2),12,2则 g(x)max=g(2)=4+a-1,解得 a-5,g(x)min=g =1+a1,解得 a0.(12)综上,-5a0,故选 A.解题思路 易知函数 f(x)=log2x的值域为-1,1,根据题意可得 g(x)的值域是-1,1的子集.抓住这一点本题便可轻松得解.12.(2017北京东城一模)如果函数
7、y=f(x)在定义域内存在区间a,b,使 f(x)在a,b上的值域是2a,2b,那么称 f(x)为“倍增函数”.若函数 f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”,则实数 m的取值范围是( )A. B. C.(-1,0) D.(-14,+ ) ( -12,0) ( -14,0)答案 D 函数 f(x)=ln(ex+m)为“倍增函数”,存在区间a,b,使得 f(x)在a,b上的值域是2a,2b.f(x)在a,b上是增函数, 即(+)=2,(+)=2, =2-,=2-.方程 e2x-ex-m=0有两个不等实根,令 t=ex,则 t0,方程 t2-t-m=0有两个不等实根,且两根都大于 0. 解得-0
8、,-0,故选 D.13.(2017北京朝阳期中)已知函数 f(x)= 在(-,+)上具有单调性,则实数 m的取值范2+1,0,(2-1)2,1 时,要使 f(x)在(-,+)上具有单调性,则要满足 m2-11,解得- m ,2 2故 10,所以, f(x)在 R上不具有单调性,不符合题意.当 00,且 a1).2-,1,1(1)若 a=,则函数 f(x)的值域为 ; (2)若 f(x)在 R上是增函数,则 a的取值范围是 . 答案 (1) (2)2,+)(-32,+ )解析 (1)当 a=时,若 x1,则 f(x)=2x-,其值域为 ,(-32,12若 x1,则 f(x)=lo x,其值域为(0,+),32综上所述,函数 f(x)的值域为 .(-32,+ )(2)f(x)在 R上是增函数,a1,当 x1 时, f(x)=2 x-a的最大值为 2-a,又 f(x)=logax0(x1),2-a0,解得 a2,故 a的取值范围为2,+).1
