1、1第 16讲 定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数 f(x)在区间 a,b上连续,用分点 a=x00)上的连续的偶函数,则 f(x)dx=2 f(x)dx;如果 f(x)a-a a0 是区间 -a,a(a0)上的连续的奇函数,则 f(x)dx=0.a-a 题组一 常识题21.教材改编 dx= . 21 (ex-2x)2.教材改编 sin xdx= . 30 3.教材改编 已知 f(x)dx=8,则 f(x)dx+ f(x)dx= . 41 21 42 4.教材改编 直线 y=x-4、曲线 y= 及 x轴所围成的封闭图形的面积是 . 2x题组二 常错题索引:误解积分变量致错;定积分的值
2、不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域; f(x),g(x)的图像与直线 x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错 .5.定积分 (t2+1)dx= . 2-1 6.曲线 y=-x2(x -1,1)与 x轴所围成的封闭图形的面积为 . 7.计算 dx= . -1-2 1x8.直线 x=0,x= 与曲线 y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积 S的定积分表达式是 .2探究点一 定积分的计算例 1 (1)已知函数 f(x)= 则 f(x)dx=( )sinx,x - ,0,1-x2,x (0,1, 1- A.2+ B.2C.-2+ D. -22 4(2)2018湖北咸
3、宁重点高中联考 若 (ex-2ax)dx=e,则 a= . 10 总结反思 (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法 .(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数 .变式题 (1)2018曲靖一中月考 已知 sin(x- )dx= ,则 sin 2= ( )20 74A. B. C.- D.-34 916 34 343(2)2018莱芜模拟 dx的值为 . 21 (2x+1x)探究点二 利用定积分求曲边梯形的面积例 2 (1)2018贵阳模拟 若函数 f(x)=Asin x- (A0, 0)的部分图像如图 2-16-61所示,则图中阴
4、影部分的面积为 ( )图 2-16-1A.12B.14C.2- 34D.2- 32(2)2018江西临川一中月考 已知曲线 y= ,y=2-x与 x轴所围成的封闭图形的面积为xS,则 S= . 总结反思 (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分 .(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系 .变式题 (1)如图 2-16-2所示的阴影部分的面积为 ( )图 2-16-2A.4 B.22 2C. D.2224(2)2018安徽江南十校联考 直线 l过抛物线 E:y2=8x的焦点且与 x轴垂直,则直线 l与 E所围成的
5、封闭图形的面积为 ( )A.13 B. C. D.113 323 283探究点三 定积分在物理中的应用例 3 两点之间相距 112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是 v=t+1(v的单位:m/s, t的单位:s) .(1)计算该质点在前 10 s所走的路程;(2)计算该质点在第 5 s到第 10 s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度 .总结反思 (1)做变速直线运动的物体在时间段 a,b内所经过的路程 S等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间 a,b上的定积分,即 S= v(t)dt.ba (2
6、)一物体在变力 F=F(x)的作用下,在位移区间 a,b内所做的功 W是函数 F=F(x)在区间a,b上的定积分,即 W= F(x)dx.ba 变式题 一物体在变力 F(x)= (单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从 x=8 m处运动36x2到 x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功 .5第 16讲 定积分与微积分基本定理考试说明 1 .了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念 .2.了解微积分基本定理的含义 .【课前双基巩固】知识聚焦1.常数 f( i) 被积 下 上limnni=1b-an2.a b 03.k f(x)dx f(x)dx g(x)dx f(
7、x)dx+ f(x)dxba ba ba ca bc 4.F(b)-F(a)对点演练1.e2-2ln 2-e 解析 dx=(ex-2ln x) =e2-2ln 2-e.21 (ex-2x) 212.2 解析 sin xdx=-cos x =2. 30 303.8 解析 f(x)dx+ f(x)dx= f(x)dx=8.21 42 41 4. 解析 画出图形(图略)可知,所求的面积 S= dx+ dx- (x-4)dx=403 40 2x 84 2x 84 + - (x-4)2 = .223x32 40223x32 8412 844035.3t2+3 解析 (t2+1)dx=(t2+1)x =2
8、(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.2-1 2-16. 解析 所求面积 S=- (-x2)dx=2 x2dx= .23 1-1 10 237.-ln 2 解析 根据 dx的几何意义,可得 dx=- dx=-ln x =-ln 2.-1-2 1x -1-2 1x 21 1x 21本题若做成 dx=ln x 则是错误的 .-1-2 1x -1-28.S= |sin x-cos x|dx20 【课堂考点探究】例 1 思路点拨 (1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2) a是常量,确定原函数,建立关于 a的方程求解 .6(1)D (2)-1 解析 (1) f(x)dx=
9、sin xdx+ dx,又 sin 1- 0- 10 1-x2 0- xdx=-cos x =-2, dx的几何意义是以原点为圆心,1 为半径的圆的面积 0- 10 1-x2的 ,故 dx= , f(x)dx= -2,故选 D.14 10 1-x2 14 1- 4(2) (ex-2ax)dx=(ex-ax2) =e-a-1=e,10 10-a- 1=0,a=- 1.变式题 (1)B (2)3+ln 2 解析 (1)根据微积分基本定理,得 sin(x- )dx=-cos(x-20 ) ,即 -cos +cos(- )=cos - sin = ,两边平方,得 1-sin 2= ,所以 20 (2-
10、 ) 74 716sin 2= 1- = ,故选 B.716916(2) dx=(x2+ln x) =4+ln 2-1-0=3+ln 2.21 (2x+1x) 21例 2 思路点拨 (1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积 .(1)C (2) 解析 (1)由图像可知, A=1, = - = ,即 T=,所以 = 2,所以 f(x)76 T23(-6)2=sin .(2x-6)所以图中阴影部分的面积 S=- sin dx= cos = cos -cos120 (2x-6) 12 (2x-6) 12012
11、 (6-6)= = ,故选 C.(-6) 12(1- 32)2- 34(2)由题意得,曲线 y= ,y=2-x与 x轴所围成的封闭图形的面积 S= dx+ (2-x)x 10 x 21 dx= + = +2- = .23x32 10(2x-12x2) 2123 3276变式题 (1)B (2)C 解析 (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S= (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x) =2 ,故选 B. 544 544 2(2)由题意得,直线 l的方程为 x=2,将 y2=8x化为 y=2 .2x由定积分的几何意义得,所求面积 S=2 (2 )20 2xdx=4
12、dx=4 =4 2 = .220 x12 2 (23x32) 20 2 23 23237例 3 思路点拨 第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在0, x上的定积分,再求使得这个定积分等于 112时的 x值, x的值即为质点的运动时间 .解:(1)该质点在前 10 s所走的路程 S1= (t+1)dt= t2 +t =60(m).100 12 100 100(2)该质点在第 5 s到第 10 s所经过的路程 S2= (t+1)dt= t2 +t =42.5(m).105 12 105 105(3)设质点到达另一点所需要的时间为 x,显然 x0,则根据题意
13、有 (t+1)dt=112,即x0 =112,即 x2+x=112,即 x2+2x=224,得 x=14,则该质点到达另一点所需要的时间(12t2+t) x0 12是 14 s,整个运动过程中的平均速度是 =8(m/s).11214变式题 解:由题意得,变力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在8,18上的定积分,即 F(x)dx=-36x-1 =(-3618-1)-(-368-1)=(-2)- = .188 188 (-92)52从而可得变力 F(x)在这一过程中所做的功为 J.52【备选理由】 例 1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合
14、性;例 2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例 3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查 .例 1 配合例 1使用 2019深圳外国语学校月考 给出下列函数: f (x)=xsin x;f (x)=ex+x;f (x)=ln( -x).存在 a0,使得 f(x)dx=0的函数是 ( )1+x2 a-a A. B.C. D.解析 B 对于 ,f(x)=xsin x是偶函数,当 x(0,)时, f(x)0,当 x(,2)时, f(x)0(a0),即不存在满足题意的 a;对于 ,f(x)=ln( -x)是奇函数,所以对于任意1+x2a0, f(x)dx
15、=0都成立 .综上可知, 中的函数满足题意 .故选 B.a-a 例 2 配合例 1使用 已知函数 y=f(x)的图像为如图所示的折线 ABC,则 (x+1)f(x)1-1 dx=( )A.2 B.-2C.1 D.-1解析 D 由图易知 f(x)=-x-1,-1 x 0,x-1,0x 1, 所以 (x+1)f(x)dx= (x+1)(-x-1)dx+ (x+1)(x-1)dx= (-x2-2x-1)1-1 0-1 10 0-1 dx+ (x2-1)dx= + =- - =-1,故选 D.10 (-13x3-x2-x) 0-1(13x3-x) 10 1323例 3 配合例 2使用 在直线 x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线 x=0,y=e+1,y=ex+1围成的区域内的概率为 . 答案 1e+1解析 由题意,直线 x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为 e+1,宽为 1的矩形,所以其面积 S=1(e+1)=e+1.由 解得y=e+1,y=ex+1, x=1,y=e+1,所以由曲线 x=0,y=e+1,y=ex+1所围成的区域的面积 S1= (e+1-ex-1)dx= (e-ex)10 10 dx=(ex-ex) =1, 10故所求概率 P= = .S1S 1e+1
