1、1第 22讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式 S2 :sin 2= . (2)公式 C2 :cos 2= = = . (3)公式 T2 :tan 2= . 2.常用的部分三角公式 (1)1-cos = ,1+cos = .(升幂公式) (2)1sin = .(升幂公式) (3)sin2= ,cos2= , tan2= .(降幂公式) (4)sin = ,cos = ,tan = .(万能公式) 2tan21+tan22(5)asin +b cos = ,其中 sin = ,cos = .(辅ba2+b2 aa2+b2助角公式) 3.三角恒等变换的基本技
2、巧(1)变换函数名称:使用诱导公式 .(2)升幂、降幂:使用倍角公式 .(3)常数代换:如 1=sin2+ cos2= tan .4(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式 .常用结论半角公式:sin = ,cos = ,tan = = = .2 1-cos2 2 1+cos2 2 1-cos1+cos 1-cossin sin1+cos题组一 常识题21.教材改编 sin 15 - cos 15的值是 . 32.教材改编 已知 f(x)=sin2x- (xR),则 f(x)的最小正周期是 . 123.教材改编 已知 cos(+ )= ,cos(- )= ,则 tan tan 的值为
3、. 13 154.教材改编 已知 sin = , 为第二象限角,则 sin 2 的值为 . 35题组二 常错题索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误; asin +b cos = sin(+ )中 值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据a2+b2求解目标的符号确定) .5.已知 sin = ,则 cos = . (6- )13 (3-2 )6.已知 , 均为锐角,且 tan = 7,tan = ,则 += . 437.sin - cos = sin(+ )中的 = . 28.已知 sin 2= ,2 ,则 sin - cos = . 34 (0,2)探究
4、点一 三角函数式的化简例 1 2018东莞考前冲刺 化简:cos 2 x- +sin2 x+ = ( )12 12A.1+ cos 2x B.1+ sin 2x12 12C.1+cos 2x D.1+sin 2x(2)化简:tan + =( )1tan(4+2)A.cos B.sin C. D.1cos 1sin3总结反思 (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等 .(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用 .变式题 + = ( )1+sin61-sin6A.2sin 3 B.-2sin 3C.2cos 3 D.-2c
5、os 3探究点二 三角函数式的求值角度 1 给值求值例 2 (1)已知 sin(- )cos - cos(- )sin = ,则 cos 2 的值为 ( )35A. B.7251825C.- D.-725 1825(2)2018厦门外国语学校月考 已知 tan + =4,则 cos2 =( )1tan ( +4)A. B.15 14C. D.13 12总结反思 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来 .变式题 (1)2018菏泽模拟 已知 ,sin = ,则 tan( +2 )= ( )(32,
6、2 ) (2+ )13A. B.427 225C. D.427 225(2)2018广州七校联考 若 sin - = ,则 cos 的值为 ( )6 13 (23+2 )4A.- B.-13 79C. D.13 79角度 2 给角求值例 3 2019重庆南州中学月考 -tan 20=( )2cos10sin70A.1 B.3-12C. D.332总结反思 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值 .变式题 tan 70cos 10( tan 20-1)= ( )3A.1 B.2C.-1 D.-2角度 3 给值求
7、角例 4 若 sin 2= ,sin(- )= ,且 , ,则 + 的值是 ( )55 1010 4, ,32A. B.74 94C. 或 D. 或54 74 54 94总结反思 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则: 已知正切函数值,则选正切函数 . 已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数 .若角的范围是 0, ,则选正、余弦皆可;若2角的范围是(0,),则选余弦较好;若角的范围为 - , ,则选正弦较好 .22变式题 已知 , (0,),且 tan(- )= ,tan =- ,则 2- 的值为 . 12 175探究点三 三角恒等变换的综合应用例 5 已知函数 f(x)=
8、4cos xsin +a的最大值为 3.(x-6)(1)求 a的值及 f(x)的单调递减区间;(2)若 ,f = ,求 cos 的值 .(0,2) (2)115总结反思 (1)求三角函数解析式 y=Asin(x+ )(A0, 0)时要注意 的取值范围 .(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号 .变式题 设函数 f(x)=sin x+ cos x+1.3(1)求函数 f(x)的值域和单调递增区间;(2)当 f( )= ,且 0, 00,2tan1-tan2 2131-(13)234 0cos 30cos 32,cba. 故选 C.例 4 配合例 4使用 已知 , 均为锐角,且 sin = ,cos = ,则 - 的值为 55 1010. 答案 -4解析 , 均为锐角,sin = ,cos = ,55 1010 cos = = ,sin = = ,1-sin2255 1-cos2 31010 sin(- )=sin cos - cos sin = - =- .55 1010255 31010 22又 - - ,-=- .2 2 4
