1、1第 4 讲 函数的概念及其表示1.函数与映射的概念函数 映射两集合A,B设 A,B 是两个 设 A,B 是两个 对应关系f:A B按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个数 x,在集合 B 中都有 的数f(x)与之对应 按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个元素 x,在集合 B 中都有 的元素 y 与之对应 名称称 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 为从集合 A 到集合B 的一个映射 记法 y=f(x),x A 对应 f:A B2.函数的三要素函数由 、 和对应关系三个要素构成 .在函数 y=f(x),x A 中, x 叫作自变量, x 的取值范围
2、A 叫作函数的 .与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值,函数值的集合f(x)|x A叫作函数的 . 3.函数的表示法函数的常用表示方法: 、 、 . 4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数 .分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数 . 常用结论1.常见函数的定义域2(1)分式函数中分母不等于 0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.(3)一次函数、二次函数的定义域为 R.(4)零次幂的底数不能为 0.(5)y=ax(a0 且 a1), y=sin x,y=cos x 的定义域均为 R.(6)y=logax(a0,a
3、1)的定义域为 x|x0.(7)y=tan x 的定义域为 x x k + ,kZ . 22.抽象函数的定义域(1)若 f(x)的定义域为 m,n,则在 fg(x)中, m g(x) n,从而解得 x 的范围,即为 fg(x)的定义域 .(2)若 fg(x)的定义域为 m,n,则由 m x n 确定 g(x)的范围,即为 f(x)的定义域 .3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k0)的值域是 R.(2)y=ax2+bx+c(a0)的值域:当 a0 时,值域为 ,+ ;当 a0 且 a1)的值域是(0, + ).(5)y=logax(a0 且 a1)的值域是 R.题组一 常识题1.教材改编
4、 以下属于函数的有 .(填序号) y= ;y 2=x-1;y= + ;y=x 2-2(xN) .x x-2 1-x2.教材改编 已知函数 f(x)= 则 f(-2)= ,ff(-2)= . x+1,x 0,x2,x0,总结反思 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值 .微点 3 分段函数与不等式问题例 6 (1)2018惠州二模 设函数 f(x)= 若 f(x0)1,则 x0的取值范围2-x-1,x 0,x12,x0, 是 ( )A.(-1,1)B.(-1,+ )C.(- ,-2)(
5、0, + )D.(- ,-1)(1, + )(2)2018全国卷 设函数 f(x)= 则满足 f(x+1)0, ( )A.(- ,-1 B.(0,+ )C.(-1,0) D.(- ,0)总结反思 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解 .应用演练1.【微点 1】若函数 f(x)= 则 f(1)+f(-1)=( )2x+1,x0,A. B.12 18C. 或 D.12 18 1163.【微点 3】已知函数 f(x)= 则不等式 f(x)5 的解集为 ( )
6、3+log2x,x0,x2-x-1,x 0,A.-1,1B.-2,4 C.(- ,-2(0,4)D.(- ,-20,44.【微点 3】2018湖北咸宁联考 已知函数 f(x)= 则不等式 f(x) xx2-2x,x 0,1x,x0,得 x1 或 x0, x 0,x -3,例 2 思路点拨 (1)由 f(x)的定义域得 f(2x)的定义域,再结合 ln x0 求解;(2)由x -1,1,求得 x2+1 的范围是1,2,再由 1lg x2 即可得函数 f(lg x)的定义域 .(1)D (2)C 解析 (1) f (x)的定义域为0,2, 要使 f(2x)有意义,则有02 x2, 0 x1, 要使
7、 g(x)有意义,应有 00两种情况讨论求解 .(1)D (2)0 或 1 解析 (1)根据题意可知 f(1)=loga1=0,所以 ff(1)=f(0)=(3+a)0+a=a=3,即 a=3,故选 D.(2)f (x)= f (0)=20=1.2x,x 0,x-lnx,x0,当 a0 时, f(a)=a-ln a,则有 1+a-ln a=2,解得 a=1;当 a0 时, f(a)=2a,则有 1+2a=2,解得 a=0.例 6 思路点拨 (1)分 x00 和 x00 两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件 .(1)D (2)D 解析
8、(1)当 x00 时,由 f(x0)= -11,即 2,解得 x00 时,由 f(x0)= 1,解得 x01.x120x 0的取值范围是( - ,-1)(1, + ).(2)f(x)的图像如图所示 .当 即 x -1 时,若满足 f(x+1)2x,即x+1 0,2x 0, x0,2x0, 所以 或 所以 a= ,故选 B.a=12,a 0 a=18,a0, 183.B 解析 由于 f(x)=3+log2x,x0,x2-x-1,x 0,所以当 x0 时,3 +log2x5,即 log2x2 =log24,得 0 ,可得 3 -b=4,解得 b= 0 x2B.例 2 配合例 4 使用 2018柳州
9、高级中学三模 已知函数 f(x)=则 f(-2018)=( )x2+sin2x,x 1,-f(x+3),x0),则实数 a 的值1x-1,x1,x+1,x 1,为 . 答案 1解析 a 0, 1-a1, 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a= ,即 a2-2a+1=0,a= 1.1a例 4 补充使用 2018武邑中学模拟 若函数 f(x)= 的值域为 R,则 ax+a,x 2,log4x,x2的取值范围是 . 答案 a -32解析 f (x)=log4x 在 x2 时的值域为 ,(12,+ )f (x)=x+a 在 x2 时的最大值必须大于等于 ,12即满足 2+a ,解得 a - .12 3213故答案为 a - .32
