1、1课时作业(二十四) 第 24讲 正弦定理和余弦定理的应用时间 / 45分钟 分值 / 100分基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转 280到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者( )A.北偏东 80的方向B.东偏北 80的方向C.北偏西 80的方向D.西偏北 80的方向2.如图 K24-1所示,在地平面上有一旗杆 OP(O在地面),为了测得它的高度 h,在地平面上取一基线 AB,测得其长为 20 m,在 A处测得 P点的仰角为 30,在 B处测得 P点的仰角为 45,又测得 AOB=30,则旗杆的高 h等于图 K24
2、-1( )A.10 mB.20 mC.10 m3D.20 m33.某船以每小时 15 km的速度向正东方向行驶,行驶到 A处时,测得一灯塔 B在 A的北偏2东 60的方向上,行驶 4小时后,船到达 C处,测得这个灯塔在 C的北偏东 15的方向上,这时船与灯塔的距离为 ( )A.60 km B.60 km2C.30 km D.30 km24.2018河南豫南豫北联考 线段的黄金分割点定义:若点 P在线段 MN上,且满足MP2=NPMN,则称点 P为线段 MN的黄金分割点 .在 ABC中, AB=AC,A=36,若角 B的平分线交边 AC于点 D,则点 D为边 AC的黄金分割点,利用上述结论,可以
3、求出 cos 36=( )2A. B.5-14 5+14C. D.5-12 5+125.2018上海徐汇区一模 某船在海平面 A处测得灯塔 B在北偏东 30的方向,与 A相距6.0海里,船由 A向正北方向航行 8.1海里到达 C处,这时灯塔 B与船相距 海里 .(精确到 0.1海里) 能力提升6.如图 K24-2所示,无人机在离地面高 200 m的 A处,观测到山顶 M处的仰角为 15、山脚C处的俯角为 45,已知 MCN=60,则山的高度 MN为 ( )图 K24-2A.300 mB.300 m3C.200 m3D.275 m7.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图 K24-3所示,要求
4、 ACB=60,BC的长度大于1米,且 AC比 AB长 米,为了稳固广告牌,要求 AC越短越好,则 AC最短为( )12图 K24-3A. 米(1+32)B.2米C.(1+ )米3D.(2+ )米38.从某船上开始看见灯塔 A时,灯塔 A在船的南偏东 30方向,后来船沿南偏东 60的方向航行 45 km后,看见灯塔 A在船的正西方向,则这时船与灯塔 A的距离是( )A.15 km B.30 km2C.15 km D.15 km339.2018南昌一模 已知台风中心位于城市 A的东偏北 ( 为锐角)方向的 150公里处,台风中心以 v公里 /时的速度沿正西方向快速移动, 小时后到达城市 A西偏北
5、 ( 为锐角)方52向的 200公里处,若 cos = cos ,则 v=( )34A.60 B.80C.100 D.12510.一艘游轮航行到 A处时,测得灯塔 B在 A的北偏东 75方向,距离为 12 海里,灯塔 C6在 A的北偏西 30方向,距离为 12 海里,该游轮由 A沿正北方向继续航行到 D处时,测得3灯塔 B在其南偏东 60方向,则此时灯塔 C位于游轮的 ( ) A.正西方向 B.南偏西 75方向C.南偏西 60方向 D.南偏西 45方向11.在一幢 10 m高的房屋顶部测得对面一塔顶的仰角为 60,塔基的俯角为 30,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为 . 12.某港
6、口停泊着两艘船,大船以每小时 40海里的速度从港口出发,沿北偏东 30方向行驶2.5小时后,小船开始以每小时 20海里的速度向正东方向行驶,小船出发 1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向行驶,期间,小船行进方向不变,从大船折向开始到与小船相遇,最少需要 小时 . 13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里 .里法三百步 .欲知为田几何 .”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为 13里,14 里,15 里,假设1里按 500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径
7、为 米 . 14.(10分)如图 K24-4所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在 A处测得山顶 P在北偏东 15( BAC=15)的方向,匀速向北航行 20分钟到达 B处,测得山顶 P位于北偏东 60的方向,此时测得山顶 P的仰角为 60,已知山高为 2 千米 .3(1)船的航行速度是每小时多少千米?(2)若该船继续航行 10分钟到达 D处,问此时山顶位于 D处的南偏东什么方向?4图 K24-415.(12分)如图 K24-5所示,某公园的三条观光大道 AB,BC,AC围成一个直角三角形,其中直角边 BC=200 m,斜边 AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB,BC,AC上嬉戏,
8、所在位置分别记为点 D,E,F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m的速度从点 B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟 2分钟出发,当乙出发 1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;(2)若 CEF= , ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间的距离的 2倍,且 DEF= ,请(0,2) 3将甲、乙之间的距离 y表示为 的函数,并求甲、乙之间的最小距离 .图 K24-5难点突破16.(13分)如图 K24-6所示,某镇有一块三角形空地,记为 OAB,其中 OA=3 km,OB=3 km, 3 AOB=90.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,记为5OMN,其
9、中 M,N都在边 AB上,且 MON=30,挖出的泥土堆放在 OAM上形成假山,剩下的OBN开设儿童游乐场 .为了安全起见,需在 OAN的周围安装防护网 .(1)当 AM= km时,求防护网的总长度 .32(2)若要求挖人工湖用地 OMN的面积是堆假山用地 OAM的面积的 倍,试确定 AOM的3大小 .(3)为节省投入资金,人工湖 OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使 OMN的面积最小?最小面积是多少?图 K24-6课时作业(二十四)1.C 解析 注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形(图略),分析可得 C正确 .2.B 解析 由题意得 PAO=30, PBO=45,AO= h
10、,BO=h,又 AB=20 m,3在 ABO中,由余弦定理得 AB2=400=( h)2+h2-2 hhcos 30,解得 h=20(m).3 363.A 解析 画出图形如图所示,由题意知,在 ABC中, BAC=30,AC=415 =60 , B=45.2 2由正弦定理 = ,ACsinB BCsinBAC得 BC= = =60,ACsinBACsinB 602sin30sin45 此时船与灯塔的距离为 60 km.故选 A.4.B 解析 设 AB=AC=2,由黄金分割点的定义可得 AD2=CDAC,解得 AD= -1.在 ABC中,因5为 A=36,AB=AC,所以 ABC=72.又因为
11、BD为 ABC的平分线,所以 ABD= CBD=36,所以 BD=AD= -1.在 ABD中,由余弦定理得 cos A= ,即 cos 36=5AD2+AB2-BD22ADAB= .故选 B. (5-1)2+22-(5-1)22(5-1)2 5+145.4.2 解析 设此时灯塔 B与船相距 m海里,由余弦定理得, m=4 .2.8.12+62-268.1cos306.A 解析 AD BC, ACB= DAC=45,AC= AB=200 (m).2 2又 MCA=180-60-45=75, MAC=15+45=60, AMC=180- MCA- MAC=45,在 AMC中,由正弦定理 = ,得
12、MC= =200 (m),MCsinMACACsinAMC 2002sin60sin45 3MN=MC sin MCN=200 sin 60=300(m).故选 A.37.D 解析 设 BC的长度为 x米( x1),AC的长度为 y米,则 AB的长度为 y- 米 .12在 ABC中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,得 y- 2=y2+x2-2yx ,化简得12 12y(x-1)=x2- ,14x 1,x- 10,y= =(x-1)+ +2 +2,x2-14x-1 34(x-1) 3当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 时,取等号,34(x-1) 32y 的最小值为
13、2+ .故选 D.378.D 解析 设船开始的位置为 B,船航行 45 km后处于 C,如图所示,可得 DBC=60, ABD=30,BC=45 km, ABC=30, BAC=120.在 ABC中,利用正弦定理 = ,ACsinABCBCsinBAC可得 AC= = =15 (km).故选 D.BCsinABCsinBAC451232 39.C 解析 如图所示,由余弦定理得 =2002+1502+2200150cos(+ ) ,由正弦(52v)2定理得 = ,即 sin = sin . 又 cos = cos ,sin2+ cos2= 1,sin2+ cos2= 1,可150sin 200s
14、in 43 34得 sin = ,cos = ,sin = ,cos = ,故 cos(+ )= - =0,代入 解得 v=100.故选35 45 45 35 12251225C.10.C 解析 如图所示, AB=12 ,AC=12 ,6 3在 ABD中, B=45,由正弦定理有 = = =24 ,所以 AD=24.ADsin45ABsin6012632 2在 ACD中,由余弦定理得 CD2=AC2+AD2-2ACADcos 30,因为 AC=12 ,AD=24,所以 CD=12,3由正弦定理得 = ,所以 sin CDA= ,故 CDA=60或 CDA=120.CDsin30 ACsinCD
15、A 32因为 ADAC,故 CDA为锐角,所以 CDA=60.故选 C.11.40 m 解析 如图所示,过房屋顶部 C作塔 AB的垂线 CE,垂足为 E,则CD=10, ACE=60, BCE=30,8BE=CD= 10,BC=2CD=20,EC=BD= =10 .BC2-CD2 3 ACE=60, AEC=90,AC= 2CE=20 ,3AE= =30,AC2-CE2AB=AE+BE= 30+10=40,故塔的高度为 40 m.12.3.5 解析 如图所示,设港口为 O,小船行驶 1.5小时到达 B,此时大船行驶到 A,大船折向按 AC方向行驶,大船与小船同时到达 C点时,用时最少 .设从
16、A到 C,大船行驶时间为 t,则 OA=40(2.5+1.5)=160,AC=40t,OC=201.5+20t.由余弦定理得 OA2+OC2-2OCOAcos 60=AC2,即 12t2+20t-217=0, (2t-7)(6t+31)=0,解得 t=3.5,即最少需要 3.5小时 .13.4062.5 解析 设在 ABC中, AB=13里 =6500米, BC=14里 =7000米, AC=15里 =7500米,由余弦定理知,cos B= = ,所以 sin B= = .设 ABC外接圆的半径为AB2+BC2-AC22ABBC 513 1-cos2B1213R,则由正弦定理得, =2R,所以
17、 R= = =4062.5(米) .ACsinB AC2sinB 75002121314.解:(1)在 BCP中,由 tan PBC= ,得 BC= =2,PCBC PCtanPBC在 ABC中,由正弦定理得 = ,即 = ,BCsinBACABsinBCA 2sin15ABsin45所以 AB=2( +1),3故船的航行速度是每小时 6( +1)千米 .3(2)在 BCD中, BD= +1,BC=2, CBD=60,则由余弦定理得 cos CBD= ,解得3BC2+BD2-CD22BCBDCD= ,6由正弦定理 = ,得 sin CDB= ,因为 0 CDB120,所以 CDB=45,CDs
18、inDBCBCsinCDB 229所以山顶位于 D处南偏东 45的方向 .15.解:(1)依题意得,当乙出发 1分钟后, BD=300,BE=100,在 ABC中,cos B= = ,又 B ,B= .BCAB12 (0,2) 3在 BDE中,由余弦定理得 DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-2300100 =70 12000,DE= 100 ,即此时甲、乙两人相距 100 m.7 7(2)由题意得 EF=2DE=2y, CEF= ,则 BDE= - ABC- DEB= - - - =.23 3在直角三角形 CEF中, CE=EFcos CEF=2ycos ,在
19、BDE中,由正弦定理 = ,得 = ,BEsinBDEDEsinDBE200-2ycossin ysin60y= = ,0 ,10033cos +sin 503sin( +3) 2 当 = 时, y有最小值 50 ,即甲、乙之间的最小距离为 50 m.6 3 316.解:(1) 在 OAB中, OA=3,OB=3 , AOB=90, OAB=60.3在 AOM中, OA=3,AM= , OAM=60,32由余弦定理 OM2=OA2+AM2-2OAAMcos OAM,得 OM= ,332OM 2+AM2=OA2,即 OM AN, AOM=30, AON= AOM+ MON=60, OAN为正三角
20、形, OAN的周长为 9,即防护网的总长度为 9 km.(2)设 AOM= (0 60),S OMN= S OAM,3 ONOMsin 30= OAOMsin ,即 ON=6 sin . 12 3 12 3在 OAN中,由 = = ,得 ON= ,ONsin60 OAsin180-( +60+30)3cos 332cos从而 6 sin = ,即 sin 2= ,由 02 120,3332cos 12得 2= 30,= 15,即 AOM=15.(3)设 AOM= (0 60),由(2)知, ON= ,332cos又在 AOM中,由 = ,得 OM= ,OMsin60 OAsin(180- -60) 332sin( +60)S OMN= OMONsin 30= = = ,12 2716sin( +60)cos 278(12sin2 + 32cos2 + 32) 278sin(2 +60)+43 当且仅当 2+ 60=90,即 = 15时,1 OMN的面积取得最小值,此时, S OMN= , OMN的最小面积为 km2.27(2- 3)4 27(2- 3)4
