1、11.2 排列与组合,-2-,知识梳理,考点自诊,1.排列与组合的概念,一定的顺序,2.排列数与组合数的概念,排列,组合,-3-,知识梳理,考点自诊,3.排列数、组合数的公式及性质,1,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2018河南商丘二模)高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有
2、且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( ),D,-7-,知识梳理,考点自诊,3.(2018安徽马鞍山二模)从3名男生、2名女生中选3人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动的概率为( ),D,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2019届西太原三模)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有 种(用数字作答).,120,-9-,考点1,考点2,考点3,排列问题 例13名女生和5名男生排成一排. (1)若女生全排在一起,有多少种排法? (2)若女生都不相邻,有多少种排法? (3)若女生不站两端,有多
3、少种排法? (4)其中甲必须排在乙左边(可不邻),有多少种排法? (5)其中甲不站最左边,乙不站最右边,有多少种排法?,-10-,考点1,考点2,考点3,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,思考解决排列问题的主要方法有哪些? 解题心得解决排列问题的主要方法有:,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)(2018北京朝阳区一模)某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有1人值班,每人至少安排一天,且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为( ) A.18 B.24 C.48 D.96 (2)(201
4、8四川成都三诊)已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲、乙两人均在领导丙的同侧,则不同的排法共有( ) A.240种 B.360种 C.480种 D.600种,B,C,-15-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)甲连续2天上班,共有(周一,周二),(周二,周三),(周三,周四),(周四,周五)4种情况,剩下三个人进行全排列,有 A 3 3 =6种排法,因此共有46=24种排法,故选B. (2)方法一:用分类讨论的方法解决.如图中的6个位置, 当领导丙在位置1时,不同的排法有 A 5 5 =120种; 当领导丙在位置2时,不同的排法有 C 3 1 A 4 4 =72种; 当领导丙在位
5、置3时,不同的排法有 A 2 2 A 3 3 + A 3 2 A 3 3 =48种; 当领导丙在位置4时,不同的排法有 A 2 2 A 3 3 + A 3 2 A 3 3 =48种; 当领导丙在位置5时,不同的排法有 C 3 1 A 4 4 =72种; 当领导丙在位置6时,不同的排法有 A 5 5 =120种. 由分类加法计数原理可得不同的排法共有480种.故选C. 方法二:先确定其他3个人的排法有 A 6 3 =120种,剩余3个位置,排甲、乙及领导丙,有2 A 2 2 =4种不同的排法,所以不同的排法共有1204=480种.,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点
6、3,-18-,考点1,考点2,考点3,组合问题 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,思考解决组合问题的一般思路是什么?常用方法有哪些? 解题心得1.解组合问题的一般思路:首先分清问题是不是组合问题
7、;其次要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,再局部分步,将复杂问题通过两个原理化归为简单问题. 2.含有附加条件的组合问题的常用方法:通常用直接法或间接法,对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题,既可考虑反面情形间接求解,也可以分类研究进行直接求解.,-21-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)(2018辽宁朝阳一模)从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议,规定男女同学至少各有1人参加,下面是不同的选法种数的三个算式:则其中正确算式的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2018河南一模)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班
8、、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( ) A.18种 B.24种 C.48种 D.36种,C,B,-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点1,考点2,考点3,分组分配问题 例3(1)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 (2)为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空
9、题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( ) A.150 B.180 C.200 D.280,D,A,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,思考求解分组、分配问题的一般思路是什么? 解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配. (1)分组问题属于“组合”问题. 对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘; 对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!; 对于不等分组,只需先分组,后排列. (2)分配问题属于“排列”问题. 相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“挡板法”
10、; 不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放; 限制条件的分配问题常采用分类法求解.,-26-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018吉林长春质量监测一)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为( ) A.6 B.12 C.24 D.36 (2)(2018江西南昌二轮测试)为庆祝中国人民解放军建军90周年,南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色旅游活动,旅游点选取了八一南昌起义纪念馆、南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景点.若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点,每个景点至多
11、有两个班级游览,则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法种数为( ) A.3 600 B.1 080 C.1 440 D.2 520,B,C,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑: (1)以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; (2)以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减不符合要求的排列数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧. (1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题要先
12、选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化. 3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.,-29-,考点1,考点2,考点3,1.解决受条件限制的排列、组合题,通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏. 2.解组合应用题时,应注意“至少”“至多”“恰好”等词语的含义. 3.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.,-30-,易错警示排列、组合问题计数重复、遗漏致误典例有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从这20个零件中任意取3个,则至少有1个一等品的不同取法有 种.,-31-,反思提升1.排列、组合问题由于其思想方法独特,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则,先取后排原则,正难则反原则等.解答时必须心思细腻,考虑周全,才能做到不重不漏. 2.“至少、至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解,多采用分类加法计数原理求解或转化为它的对立事件求解.,
