1、第2课时 利用导数研究不等式恒成立问题,考点一 把参数看作常数利用分类讨论法解题,考点二 分离参数法求范围,考点突破,考点三 等价转化法求参数范围,把参数看作常数利用分类讨论法解题,考点突破,典例1 (2019湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=ln x-ax,aR. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若不等式f(x)+a0在x(1,+)上恒成立,求a的取值范围.,解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -a. 当a0时, f (x)0恒成立,则f(x)只有单调递增区间(0,+). 当a0时,由f (x)0,得0 , 所以f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
2、(2)f(x)+a0在x(1,+)上恒成立, 即ln x-a(x-1)0在x(1,+)上恒成立.,设g(x)=ln x-a(x-1),x0, 则g(x)= -a,且g(1)=0, 当a1时,g(x)0, 得0x ;,令g(x) . 所以g(x)在 上单调递增, 所以当x 时,g(x)g(1)=0, 即00,则g(x)在(1,+)上单调递增, 所以当x(1,+)时,g(x)g(1)=0, 即a0时不满足题意(舍去). 综上所述,实数a的取值范围是1,+).,规律总结 对于不适合分离参数的不等式,常常将参数看作常数直接构造函数,常 用分类讨论法,利用导数研究单调性、最值,从而得出参数范围.,分离参
3、数法求范围,典例2 已知函数f(x)= ,x(0,+). (1)求函数f(x)在m,m+1(m0)上的最小值; (2)x(0,+),不等式xf(x)-x2+x-1恒成立,求的取值范围.,解析 (1)f (x)= , 令f (x)0,得x1; 令f (x)0)上是增函数,所以f(x)min=f(m)= . 当0m1时,函数f(x)在m,1上是减函数; 在(1,m+1上是增函数,所以f(x)min=f(1)=e. (2)由题意得,x(0,+),不等式ex+x2+1x恒成立,即 +x+ 恒成 立, 令g(x)= +x+ , 则g(x)= , 由g(x)0得,x1; 由g(x)0得,0x1.,所以g(
4、x)min=g(1)=e+2, 所以e+2. 即的取值范围为(-,e+2).,规律总结 利用分离参数法来确定不等式f(x,)0(xD,为实参数)恒成立问题中 参数取值范围的基本步骤: (1)将参数与变量分离,化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式; (2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值; (3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min,得到的取值范围.,等价转化法求参数范围,典例3 设f(x)= +xln x,g(x)=x3-x2-3. (1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)-g(x2)M成立,求满足上述条件的最大 整数M; (2)如果对于任意的s,t
5、,都有f(s)g(t)成立,求实数a的取值范围.,又g(0)=-3,g(2)=1, 所以g(x)max=g(2)=1. 故g(x1)-g(x2)max=g(x)max-g(x)min= M, 则满足条件的最大整数M=4. (2)对于任意的s,t ,都有f(s)g(t)成立,等价于在区间 上,函数 f(x)ming(x)max, 由(1)可知在区间 上,g(x)的最大值为g(2)=1.,在区间 上, f(x)= +xln x1恒成立等价于ax-x2ln x恒成立. 设h(x)=x-x2ln x,则h(x)=1-2xln x-x,令m(x)=xln x,由m(x)=ln x+10得x . 即m(x)=xln x在 上是增函数, 可知h(x)在区间 上是减函数, 又h(1)=0, 所以当1x2时,h(x)0;,当 0. 即函数h(x)=x-x2ln x在区间 上单调递增,在区间(1,2)上单调递减, 所以h(x)max=h(1)=1, 所以a1, 即实数a的取值范围是1,+).,规律总结 (1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含 条件,进行等价转化. (2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法,解题过程中尽量采用分 离参数的方法,转化为求函数的最值问题.,
